1、专题03 平面与平面所成角（二面角）（含探索性问题）(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍1二、典型题型2题型一：求二面角2题型二：已知二面角求参数4题型三：求二面角最值（范围）7三、专项训练9一、必备秘籍1、二面角的平面角定义：从二面角棱上任取一点，在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线、,则称为二面角的平面角.2、二面角的范围：3、向量法求二面角平面角（1）如图，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小（2）如图，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足：；（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）二、典型题型题
2、型一：求二面角1（2223下河南模拟预测）如图，直四棱柱的底面是正方形，E，F分别为BC，的中点.(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值.2（2023江西南昌模拟预测）如图，直三棱柱的体积为，的面积为(1)求到平面的距离；(2)设为的中点，平面平面，求二面角的大小3（2023浙江模拟预测）如图，在矩形中，为边上的点，且.将沿翻折，使得点到，满足平面平面，连接.(1)求证：平面平面；(2)求二面角的正弦值的大小.4（2023河北沧州三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成.在同一平面内，且.(1)证明：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值.5（
3、2023海南省直辖县级单位三模）如图所示，为等边三角形，平面，为线段上一动点(1)若为线段的中点，证明：(2)若，求二面角的余弦值题型二：已知二面角求参数1（2023四川南充三模）如图，在四棱台中，底面是菱形，平面.(1)证明：BDCC1；(2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.2（2023吉林长春一模）长方形中，点为中点（如图1），将点绕旋转至点处，使平面平面（如图2）(1)求证：；(2)点在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积3（2023福建宁德一模）如图在平行四边形中，将沿折起，使平面平面，得到图所示几何体(1)若为的中点，求四棱锥的体积
4、；(2)在线段上，是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由4（2023江西九江一模）如图，直角梯形中，将沿翻折至的位置，使得，为的中点(1)求证：平面平面；(2)为线段上一点（端点除外），若二面角的余弦值为，求线段的长5（2023四川成都模拟预测）如图，四棱锥中，底面是矩形，侧面底面，侧面底面，点F是PB的中点，动点E在边BC上移动，且.(1)证明：垂直于底面.(2)当点E在BC边上移动，使二面角为时，求二面角的余弦值.题型三：求二面角最值（范围）1（2324高二上山东阶段练习）如图，在正四棱柱中，点是线段上的点，点是线段上的点，且.(1)证
5、明：直线平面：(2)求平面与平面夹角的余弦值的取值范围.2（2324高二上四川遂宁阶段练习）如图，在正四棱柱中，.点、分别在棱、上，.(1)证明：四点共面(2)当点在棱上运动时（包括端点），求平面与平面夹角余弦值的的取值范围.3（2324高二上湖北恩施阶段练习）如图（1），在矩形中，为线段的中点，将沿直线AE折起，使得，如图（2）.(1)求证：平面平面；(2)已知点H在线段AB上移动，设平面ADE与平面DHC所成的角为，求的取值范围.4（2324高二上四川遂宁阶段练习）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，在菱形中，平面平面，分别是线段的中点.(1)求证：平面；(2)若点为线段上的动点
6、（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.三、专项训练1（2324高二上北京房山阶段练习）已知长方体中，则平面与平面所成锐二面角的正切值为（）ABCD2（2324高二上山东济南阶段练习）如图所示，是棱长为6的正方体，分别是棱上的动点，且，当四点共面时，平面与平面所成夹角的余弦值为（）ABCD3（2324高二上陕西宝鸡阶段练习）如图，在直四棱柱中，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（）ABCD4（2122高二全国单元测试）如图，在四棱锥中，平面ABCD，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范
7、围是（）ABCD5（2021高一下湖北阶段练习）在正三棱柱中，点D为棱的中点，点E为上的点，且满足，当二面角的正切值为时，实数m的值为（）AB1C2D3二、填空题6（2122高二上福建期末）已知在一个二面角的棱上有两点，线段分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，则这个二面角的大小为 .7（2324高二上山东德州阶段练习）如图，已知菱形所在的平面与所在的平面互相垂直，且则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 8（2223高二上广东佛山阶段练习）如图，在三棱柱中，两两互相垂直，分别是侧棱，上的点，平面与平面所成的（锐）二面角为，则当最小时 9（2324高二上全国单元测试）如图，四棱锥中，底面是
8、矩形，平面，且，点是线段上一点，当二面角的平面角的大小为时， 三、解答题10（2324高三上四川成都开学考试）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，平面底面，(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值11（2023新疆三模）如图，在圆柱体中，劣弧的长为，AB为圆O的直径(1)在弧上是否存在点C（C，在平面同侧），使，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；(2)求二面角的余弦值12（2023福建泉州模拟预测）如图，三棱锥中，平面平面.(1)求三棱锥的体积的最大值；(2)求二面角的正弦值的最小值.13（2023辽宁模拟预测）已知直角梯形形状如下，其中，(1)在线段CD上找出点F，
9、将四边形沿翻折，形成几何体若无论二面角多大，都能够使得几何体为棱台，请指出点F的具体位置（无需给出证明过程）(2)在（1）的条件下，若二面角为直二面角，求棱台的体积，并求出此时二面角的余弦值14（2223高一上吉林阶段练习）如图所示，长方形中，点是边的中点，将沿翻折到，连接，得到图的四棱锥(1)求四棱锥的体积的最大值；(2)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值15（2223下信阳阶段练习）如图，在等腰梯形中，四边形为矩形，且平面，.(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的平面角为，且满足.若不存在，请说明理由；若存在，求出的长度.16（2324上山东开学考试）如图，在四棱锥中，底面，点E在平面上运动(1)试确定一点E，使得平面，并说明点E的位置；(2)若四棱锥的体积为6，在侧棱上是否存在一点F，使得二面角的余弦值为若存在，求的长，若不存在，请说明理由17（2324上湖北开学考试）如图所示，在三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，；侧面为矩形，且平面平面.(1)求证：；(2)设是线段上的动点，试确定点的位置，使二面角的余弦值为.
