1、专题03 圆中的相似问题知 识 回 放割线与切线形成的A字型相似如图，PA为圆O的切线，PC为过圆心的直线，则PABPCA， ，可得：割线与割线形成的A字型相似如图，割线PD、PC交于点P，则PABPCD， ，可得：弦与弦形成的8字型相似（蝴蝶）如图，弦AC、BD交于点E，则ABEDCE， ，可得：圆中的双垂直（射影定理）如图，BC为圆O的直径，ADBC，则ABDCADCBA，可得：、真 题 解 析典例1.（2022辽宁朝阳中考真题）如图，AC是O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，DAFB(1)求证：AF是O的切线；(2)若O的半径为5，AD是AEF的中线，且AD6，求AE的
2、长【答案】(1)见解析；(2) 【解析】（1）证明：AC是直径，ADC=90，ACD+DAC=90，ACD=B，B=DAF，DAF=ACD，DAF+DAC=90，AC是直径，AF是O的切线；（2）解：作于点H，O的半径为5，AC=10，AHD=ADC=90，DAH=CAD，ADHACD，AD6，AD是AEF的中线，EAF=90，AD=ED，典例2.（2022湖南株洲中考真题）如图所示，三角形的顶点、在上，顶点在外，边与相交于点，连接、，已知(1)求证：直线是的切线；(2)若线段与线段相交于点，连接求证：；若，求的半径的长度【答案】(1)见解析；(2)见解析；【解析】(1)证明：BAC=45，B
3、OD=2BAC=90，ODOB，ODBC，CBOB，OB为半径，直线BC是O的切线；(2)解：BAC=45，BOD=2BAC=90，OB=OD，ODB=45，BAC=ODB，ABD=DBE，； ，或（舍去）即O的半径的长为典例3.（2022湖北黄石中考真题）如图是直径，A是上异于C，D的一点，点B是延长线上一点，连接、，且(1)求证：直线是的切线；(2)若，求的值；(3)在（2）的条件下，作的平分线交于P，交于E，连接、，若，求的值【答案】(1)见解析；(2) ；(3)【解析】（1）解：如图所示，连接OA，是直径，又，即，又OA为半径，直线是的切线；（2）解：，由知，半径，则，在中，在中，即（
4、3）在（2）的条件下，在中，解得，平分，又，典例4.（2022贵州遵义中考真题）探究与实践“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆该小组继续利用上述结论进行探究提出问题：如图1，在线段同侧有两点，连接，如果，那么，四点在同一个圆上探究展示：如图2，作经过点，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1） 点，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）点，在点，所确定的上（依据2）点，四点在同一个圆上(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1：_；依据2：_(2)图3，在四边形中，则的度数为_(3)拓展探究：如
5、图4，已知是等腰三角形，点在上（不与的中点重合），连接作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，求证：，四点共圆；若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由【答案】(1)圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等(2)45；(3)见解析；不发生变化，值为8【解析】（1）答案为：圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等（2）在线段同侧有两点， 四点共圆，故答案为：（3），点与点关于对称，四点共圆；，理由如下，四点共圆，关于对称，又，典例5.（2022广西梧州中考真题）如图，以AB为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上，过点C作，且连接AD，分别交于点E
6、，F，与圆O交于点G，若(1)求证：； CD是圆O的切线(2)求的值【答案】(1)证明过程见解析；见解析；(2) 【解析】(1)证明：，D=A，且对顶角CFD=BFA，；OB=CO，OCB=ABC=45，COB=180-OCB-ABC=90，OCD=180-COB=90，CD是圆O的切线(2)解：连接DB，连接BG交CD于M点，如下图所示：且CD=BO，四边形COBD为平行四边形，COB=90，CO=BO，四边形COBD为正方形，由（1）知：，CEDB，即E为CO的中点，AB是半圆的直径，AGB=BGD=90，GBD+BDG=90=BDC=BDG+EDC，GBD=EDC，且BD=CD，BDM=
7、DCE=90，BDMDCE（ASA），DM=CE，即M为CD的中点，设CM=x，则DB=CD=2x，由勾股定理知：，在RtMBD中：，解得，在RtDGB中由勾股定理可知：，又且其相似比为，在RtBFG中由勾股定理可知：，真 题 演 练1.（2022湖北鄂州中考真题）如图，ABC内接于O，P是O的直径AB延长线上一点，PCB=OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D(1)试判断PC与O的位置关系，并说明理由；(2)若PC4，tanA，求OCD的面积【答案】(1)PC与O相切，理由见解析；(2)9【解析】（1）解：PC与O相切，理由如下：AB是圆O的直径，ACB=90，OCB+OCA=90
8、，OA=OC，OCA=OAC，PCB=OAC，PCB=OCA，PCB+OCB=OCA+OCB=90，即PCO=90，PC与O相切；（2）解：ACB=90，PCB=OAC，P=P，PBCPCA，AB=6，PBCPOD，即，CD=6，2.（2022辽宁大连中考真题）是O的直径，C是O上一点，垂足为D，过点A作O的切线，与的延长线相交于点E(1)如图1，求证；(2)如图2，连接，若O的半径为2，求的长【答案】(1)见解析；(2) 【解析】（1）解： ，AE是O的切线，在和中，（2）解：如图，连接AC O的半径为2， 在和中，即，在中，由勾股定理得：， ，经过O的圆心，AB是O的直径，在中，由勾股定理
9、得：在中，由勾股定理得：3.（2022湖南岳阳中考真题）如图，在O中，为直径，为弦，过点的切线与的延长线交于点，为线段上一点（不与点重合），且（1）若，则弧AD的长为_（结果保留）；（2）若，则_【答案】（1）；（2）【详解】解：（1），弧AD的长；故答案为：；（2）连接，是切线，是直径，是直径，故答案为：4.（2022湖北十堰中考真题）如图，三角形中，为上一点，以为直径的O与相切于点，交于点，垂足为(1)求证：是O的切线；(2)若，求的长【答案】(1)见解析；(2)【解析】（1）如图，连接，则，设，为O的直径，即，为O的半径，是O的切线；（2）如图，连接OE，是O的切线，则，又，四边形是矩形
10、，四边形是正方形，在中，由（1）可得，解得 5.（2022辽宁鞍山中考真题）如图，O是三角形的外接圆，为O的直径，点为O上一点，交的延长线于点，与交于点，连接，若(1)求证：是O的切线(2)若，求O的半径【答案】(1)过程见解析；(2)3【解析】（1）证明：连接OE，ABC=BOE，OED=BCDEFAC，FEC=ACE，OED+FEC=BCD+ACE，即FEO=ACBAB是直径，ACB=90，FEO=90，EO是O的半径，EF是O的切线（2），BF=2，设O的半径为r，OF=2+r，BC=，解得，O的半径是36.（2022湖北江汉中考真题）如图，正方形内接于O，点E为的中点，连接交于点F，延
11、长交O于点G，连接(1)求证：；(2)若求和的长【答案】(1)见详解；(2)FB=【解析】（1）证明：正方形内接于O，AD=BC，ABD=CGB，又EFB=BFG，BFEGFB，即；（2）解：点E为AB中点，AE=BE=3，四边形ABCD为正方形，CD=AB=AD=6，BD=，CE=，CDFEBF，DF=2BF，CF=2EF，3BF=BD=，3EF=，BF=，EF=，由（1）得FG=7.（2022贵州铜仁中考真题）如图，D是以AB为直径的O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BCDE交AD的延长线于点C，垂足为点F(1)求证：AB=CB；(2)若AB=18，sinA=，求EF的长【答案】(1)见解析；(2)EF【解析】（1）证明：连接OD，DE是O的切线，ODDEBCDE，ODBCODA=COA=OD，ODA=AA=CAB=BC；（2）解：连接BD，则ADB=90，在RtABD中，sinA=，AB=18，BD=6OB=OD，ODB=OBDOBD+A=FDB+ODB=90，A=FDBsinA=sinFDB在RtBDF中，sinBDF=，BF=2由（1）知：ODBF，EBFEOD=即：=解得：BE=EF=
