1、 专题03 二次函数与面积有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。特别是 在压轴题中，二次函数和几何综合出现的题型，才是最大的区分度。 与面积有关的问题，更是常见。本节介绍二次函数考试题型种，与面积问题的常用解法。 同学们，只要熟练运用解法，炉火纯青，在考试答题的时候，能够轻松答题。【知识点梳理】类型一：面积等量关系类型二：面积平分方法一：利用割补将图形割（补）成三角形或梯形面积的和差，其中需使三角形的底边在坐标轴上或平行于坐标轴；（例如以下4、5两图中，连结BD解法不简便。）方法二： 铅锤法（1）求 A、B 两点水平距离，即水平
2、宽； （2）过点 C 作 x 轴垂线与 AB 交于点 D，可得点 D 横坐标同点 C； （3）求直线 AB 解析式并代入点 D 横坐标，得点 D 纵坐标； （4）根据 C、D 坐标求得铅垂高（5）方法三 ：其他面积方法如图1，同底等高三角形的面积相等平行线间的距离处处相等如图2，同底三角形的面积比等于高的比如图3，同高三角形的面积比等于底的比 如图1 如图2 如图3【典例分析】【类型一：面积等量关系】【典例21】（2022盘锦）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4）点P在抛物线上，连接BC，BP（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，
3、若点P在第四象限，点D在线段BC上，连接PD并延长交x轴于点E，连接CE，记DCE的面积为S1，DBP的面积为S2，当S1S2时，求点P的坐标；【变式1】（2022泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax2+x+c经过A（2，0），B（0，4）两点，直线x3与x轴交于点C（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x3交于点D，E，且BDO与OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由【类型
4、二：面积平分】【典例2】（2022沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx3经过点B（6，0）和点D（4，3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD（1）求抛物线的函数表达式；直接写出直线AD的函数表达式；（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，BDF的面积记为S1，DEF的面积记为S2，当S12S2时，求点E的坐标；【变式2】（2022内江）如图，抛物线yax2+bx+c与x轴交于A（4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点
5、D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标【典例3】（深圳）如图抛物线yax2+bx+c经过点A（1，0），点C（0，3），且OBOC（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标【变式3】（2021秋合川区）如图，抛物线yax2+bx+6（a0）与x轴交于A（1，0），B（6，0），与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D，交x轴于点E，连接PB（1）求该抛物线的解析式
6、；（2）当PBD与BDE的面积之比为1：2时，求点P的坐标； 专题03 二次函数与面积有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。特别是 在压轴题中，二次函数和几何综合出现的题型，才是最大的区分度。 与面积有关的问题，更是常见。本节介绍二次函数考试题型种，与面积问题的常用解法。 同学们，只要熟练运用解法，炉火纯青，在考试答题的时候，能够轻松答题。【知识点梳理】类型一：面积等量关系类型二：面积平分方法一：利用割补将图形割（补）成三角形或梯形面积的和差，其中需使三角形的底边在坐标轴上或平行于坐标轴；（例如以下4、5两图中，连结BD解法不简
7、便。）方法二： 铅锤法（1）求 A、B 两点水平距离，即水平宽； （2）过点 C 作 x 轴垂线与 AB 交于点 D，可得点 D 横坐标同点 C； （3）求直线 AB 解析式并代入点 D 横坐标，得点 D 纵坐标； （4）根据 C、D 坐标求得铅垂高（5）方法三 ：其他面积方法如图1，同底等高三角形的面积相等平行线间的距离处处相等如图2，同底三角形的面积比等于高的比如图3，同高三角形的面积比等于底的比 如图1 如图2 如图3【典例分析】【类型一：面积等量关系】【典例21】（2022盘锦）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4）点P在抛
8、物线上，连接BC，BP（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P在第四象限，点D在线段BC上，连接PD并延长交x轴于点E，连接CE，记DCE的面积为S1，DBP的面积为S2，当S1S2时，求点P的坐标；【解答】解：（1）将B（4，0）、C（0，4）两点代入yx2+bx+c得，解得：，抛物线的解析式为：yx23x4；（2）方法一：由yx23x4可得，A（1，0），设点P（m，m23m4），则，SBCES1+SBDE，SBPES2+SBDE，S1S2，SBCESBPE，解得：m13，m20（舍去），P（3，4）；方法二：S1S2，SPBESCBE，PCx轴，点P与C关于对称轴x对称，P（3，4）
9、；【变式1】（2022泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax2+x+c经过A（2，0），B（0，4）两点，直线x3与x轴交于点C（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x3交于点D，E，且BDO与OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）把A（2，0），B（0，4）两点代入抛物线yax2+x+c中得：解得：；（2）由（1）知：抛物线解析式为：yx2+x+4，设直线A
10、B的解析式为：ykx+b，则，解得：，AB的解析式为：y2x+4，设直线DE的解析式为：ymx，2x+4mx，x，当x3时，y3m，E（3，3m），BDO与OCE的面积相等，CEOC，3（3m）4，9m218m160，（3m+2）（3m8）0，m1，m2（舍），直线DE的解析式为：yx；【类型二：面积平分】【典例2】（2022沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx3经过点B（6，0）和点D（4，3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD（1）求抛物线的函数表达式；直接写出直线AD的函数表达式；（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，D
11、E，BDF的面积记为S1，DEF的面积记为S2，当S12S2时，求点E的坐标；【解答】解：（1）抛物线yax2+bx3经过点B（6，0）和点D（4，3），解得：，抛物线的函数表达式为yx2x3；由得yx2x3，当y0时，x2x30，解得：x16，x22，A（2，0），设直线AD的函数表达式为ykx+d，则，解得：，直线AD的函数表达式为yx1；（2）设点E（t，t2t3），F（x，y），过点E作EMx轴于点M，过点F作FNx轴于点N，如图1，S12S2，即2，2，EMx轴，FNx轴，EMFN，BFNBEM，BM6t，EM（t2t3）t2+t+3，BN（6t），FN（t2+t+3），xOBBN6
12、（6t）2+t，y（t2+t+3）t2t2，F（2+t，t2t2），点F在直线AD上，t2t2（2+t）1，解得：t10，t22，E（0，3）或（2，4）；【变式2】（2022内江）如图，抛物线yax2+bx+c与x轴交于A（4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+c与x轴交于A（4，0），B（2，0），与y轴交
13、于点C（0，2），解得：，抛物线的解析式为yx2x+2；（2）过点D作DHAB于H，交直线AC于点G，过点D作DEAC于E，如图设直线AC的解析式为ykx+t，则，解得：，直线AC的解析式为yx+2设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，DHm2m+2，GHm+2DGm2m+2m2m2m，DEAC，DHAB，EDG+DGEAGH+CAO90，DGEAGH，EDGCAO，cosEDGcosCAO，DEDG（m2m）（m2+4m）（m+2）2+，当m2时，点D到直线AC的距离取得最大值此时yD（2）2（2）+22，即点D的坐标为（2，2）；（3）如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CB
14、PA的面积分为1：5两部分，又SPCB：SPCAEB（yCyP）：AE（yCyP）BE：AE，则BE：AE1：5或5：1则AE5或1，即点E的坐标为（1，0）或（3，0），将点E的坐标代入直线CP的表达式：ynx+2，解得：n2或，故直线CP的表达式为：y2x+2或yx+2，联立方程组或，解得：x6或，故点P的坐标为（6，10）或（，）【典例3】（深圳）如图抛物线yax2+bx+c经过点A（1，0），点C（0，3），且OBOC（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标【答案】（1） yx2+2x+3 ；x1
15、（2）P的坐标为（4，5）或（8，45）【解答】解：（1）OBOC，点B（3，0），则抛物线的表达式为：ya（x+1）（x3）a（x22x3）ax22ax3a，故3a3，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx2+2x+3，函数的对称轴为：x1；（2）如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，又SPCB：SPCAEB（yCyP）：AE（yCyP）BE：AE，则BE：AE3：5或5：3，则AE或，即：点E的坐标为（，0）或（，0），将点E的坐标代入直线CP的表达式：ykx+3，解得：k6或2，故直线CP的表达式为：y2x+3或y6x+3联立并解得：x4或8（不合题
16、意值已舍去），故点P的坐标为（4，5）或（8，45）【变式3】（2021秋合川区）如图，抛物线yax2+bx+6（a0）与x轴交于A（1，0），B（6，0），与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D，交x轴于点E，连接PB（1）求该抛物线的解析式；（2）当PBD与BDE的面积之比为1：2时，求点P的坐标；【答案】（1） yx2+5x+6 （2）P（，）【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+6（a0）与x轴交于A（1，0），B（6，0），抛物线的解析式为yx2+5x+6；（2）抛物线yx2+5x+6过点C，C（0，6），设直线BC的解析式为ykx+n，直线BC的解析式为yx+6，设P（m，m2+5m+6），则D（m，m+6），PEm2+5m+6，DEm+6，PBD与BDE的面积之比为1：2，PD：DE1：2，PE：DE3：2，3（m+6）2（m2+5m+6），解得，m26（舍去），P（，）；
