1、专题02 函数的奇偶性与单调性【方法点拨】1. 若函数f(x)为偶函数，则f(x)f(|x|)，其作用是将“变量化正”，从而避免分类讨论2. 以具体的函数为依托，而将奇偶性、单调性内隐于函数解析式去求解参数的取值范围，是函数的奇偶性、单调性的综合题的一种重要命题方式，考查学生运用知识解决问题的能力，综合性强，体现能力立意，具有一定难度.【典型题示例】例1 （2022江苏新高考基地高三第一次联考19改编）已知函数为奇函数，且存在m1，1，使得不等式成立，则x的取值范围是 【答案】2,2【解析】求得a=2，且f(x)为R上的增函数，可化为f(x2)x22mxf(mx2)由f(x)为奇函数，得2mx
2、f(mx2)= 2mxf(2mx)令F(x)=f(x)x，则F(x2)F(2mx)，故有x22mx，即x2mx20令G(x)= x2mx2因为存在m1，1，使G(x)= x2mx20故G(1)= x2x20或G(1)= x2x20解之得2x2.例2 已知函数f(x)x32xex，其中e是自然对数的底数，在f(a1)f(2a2)0，则实数a的取值范围是_.【答案】 【分析】直接发现函数的单调性、奇偶性，将移项，运用奇偶性再将负号移入函数内，逆用单调性脱“f”【解析】f(x)(x)32xexexf(x)且xR，f(x)是奇函数函数f(x)x32xex，f(x)3x22ex3x2220(当且仅当x0
3、时取等号)，f(x)在R上单调递增.，由f(a1)f(2a2)0，得f(2a2)f(1a).所以2a21a，解之得1a.所以实数a的取值范围是.例3 已知函数（为自然对数的底数），若，则实数 的取值范围为 【答案】 【分析】本题是例2的进一步的延拓，其要点是需对已知函数适当变形，构造出一个具有奇偶性、单调性的函数,其思维能力要求的更高，难度更大.【解析】令，易知是奇函数且在上单调递增由得即由是奇函数得，故由在上单调递增，得，即，解得，故实数的取值范围为.例4 已知函数若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是_【答案】【分析】令，判断函数的奇偶性与单调性，从而将不等式转化为，分离参数可得，令，利
4、用对勾函数的单调性可得，结合题意即可求解的取值范围【解析】函数，若存在使得不等式成立，令，所以，为奇函数不等式，即，即，所以，因为在上为增函数，在上为增函数，所以在上为增函数，由奇函数的性质可得在上为增函数，所以不等式等价于，分离参数可得，令，由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，（1），（4），所以，所以由题意可得，即实数的取值范围是故答案为：例5 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】函数，故关于直线对称，且在，上单减，函数的图象如下： ，且恒成立，即，当时，不等式化为：，即，解得，即；当时，不等式化为：，即，解得或，即或；综上，时，实数的取值范围是，故
5、选：例6 已知函数，则t的取值范围是 【答案】【分析】将已知按照“左右形式相当，一边一个变量”的原则，移项变形为，易知是奇函数，故进一步变为（#），故下一步需构造函数，转化为研究的单调性，而单增，故（#）可化为，即，解之得.例7 (2022江苏南通期末8)已知函数，,则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【分析】分析可知函数在上为增函数，推导出函数的图象关于直线对称，则函数在上为减函数，可得出，利用函数在上的单调性可得出、的大小关系.【解析】令，其中，则，因为函数、均为上的增函数，故函数也为上的增函数，当时，此时，故函数在上为增函数，因为故函数的图象关于直线对称，则函数在上为减函数，所以，
6、则，即，则，则，即，因此，.故选：B.【巩固训练】1若函数为偶函数，则实数= 2.设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）ABCD3.已知函数，则满足的实数x的取值范围是 4. 已知函数，若，则实数的取值范围_.5.已知函数，若，则实数的取值范围是_.6.已知函数，若，则、的大小关系为（ ）ABCD7. （多选题）关于函数下列结论正确的是（ ）A图像关于轴对称B图像关于原点对称C在上单调递增D恒大于08.已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）.ABCD9.已知函数.若存在m(1,4)使得不等式成立，则实数的取值范围是A. B. C. D. 10. 已知函数，则关于x不等式的解集为（ ）A. B.
7、 C. D. 11. 已知，若恒成立，则实数的取值范围_12.已知，若恒成立，则实数的取值范围_ _13. 已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD14.已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（ ）ABCD【答案或提示】1【答案】1【解析】奇函数，.2. 【答案】B【解析】偶函数，且在单增，转化为，解得或.3.【答案】（2,3）【解析】奇函数，且单减，转化为，解得.4. 【答案】【解析】设，则奇函数，且单增，而，由得即，故，解之得.5.【答案】【解析】在上单调递增，在上单调递增，且，在R上单调递增，因此由得，故答案为：6. 【答案】A【解析】，该函数的定义域为，所以
8、，函数为偶函数，当时，任取，则，所以，即，所以，函数在上单调递增，则，即.故选：A.7. 【答案】ACD8. 【答案】C【解析】构造函数，由于，所以，所以的定义域为.，所以为奇函数， .当时，都为增函数，所以当时，递增，所以在上为增函数. 由，得，即，所以，解得.所以不等式的解集为.故选：C9. 【答案】C【解析】设，则为定义在的奇函数所以关于点对称又所以当时，在上单增故在上也单增因为可化为所以因为为的奇函数，所以又因为存在m(1,4)使得不等式成立，分参得易得，所以，故选C.10.【答案】A【分析】根据题意可判断函数为奇函数且在上单调递增，进而根据奇偶性与单调性解不等式即可.【解析】函数的定
9、义域为，所以函数为奇函数，因为，所以函数在上单调递增，所以，所以，即，解得 所以不等式的解集为故选：A11.【答案】【分析】先分析的奇偶性和单调性，则等价于，所以，可转化为，即，求即得解【解析】因为，所以是上的奇函数，所以是上的增函数，等价于，所以，所以，令，则，因为且定义域为，所以是上的偶函数，所以只需求在上的最大值即可.当时，则当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，可得：，即.故答案为：.12.【答案】【分析】先分析的奇偶性和单调性，则等价于，所以，可转化为，即，求即得解【解析】因为，所以是上的奇函数，所以是上的增函数，等价于，所以，所以，令，则，因为且定义域为，所以是上的偶函数
10、，所以只需求在上的最大值即可.当时，则当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，可得：，即.故答案为：.13.【答案】D【分析】构造函数，判断函数的奇偶性与单调性，将所求不等式转化为，即，再利用函数单调性解不等式即可.【解析】，令，则，可得是奇函数，又，又利用基本不等式知当且仅当，即时等号成立；当且仅当，即时等号成立；故，可得是单调增函数，由得，即，即对恒成立.当时显然成立；当时，需，得，综上可得，故选：D.14.【答案】A【分析】由题设，构造，易证为奇函数，利用导数可证为增函数，结合题设不等式可得，即对任意均成立，即可求的范围.【解析】由题设，令，为奇函数，又，即为增函数，即，则，对任意均成立，又，当且仅当时等号成立，即.故选：A
