1、专题02 全等模型-半角模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1.半角模型【模型解读】过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。【常见模型及证法】常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转证全等得到相关结论.1（2022湖北十堰中考真题）【阅读材料】如
2、图，四边形中，点，分别在，上，若，则【解决问题】如图，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形已知，道路，上分别有景点，且，若在，之间修一条直路，则路线的长比路线的长少_（结果取整数，参考数据：） 2（2022河北邢台九年级期末）学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：“如图1，在正方形ABCD中，EAF45，求证：EFBEDF”小明同学的思路：四边形ABCD是正方形，ABAD，BADC90把ABE绕点A逆时针旋转到的位置，然后证明，从而可得，从而使问题得证(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2，在四边形ABCD中，ABAD，BD90，直接写出EF，BE，DF之间的数量
3、关系(2)【应用】如图3，在四边形ABCD中，ABAD，BD180，求证：EFBEDF(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC是的内接四边形，BC是直径，ABAC，请直接写出PBPC与AP的关系3（2022福建龙岩九年级期中）（1）【发现证明】如图1，在正方形中，点，分别是，边上的动点，且，求证：小明发现，当把绕点顺时针旋转90至，使与重合时能够证明，请你给出证明过程（2）【类比引申】如图2，在正方形中，如果点，分别是，延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出，之间的数量关系_（不要求证明）如图3，如果点，分别是，延长线上的动点，且，则，之间的数量关系是_（不要求证明）.
4、（3）【联想拓展】如图1，若正方形的边长为6，求的长4（2022山东省青岛第二十六中学九年级期中）【模型引入】当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”【模型探究】（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且EDF45，探究图中线段EF，AE，FC之间的数量关系【模型应用】（2）如图2，如果四边形ABCD中，ABAD，BADBCD90，EAF45，且BC7，DC13，CF5，求BE的长【拓展提高】（3）如图3，在四边形ABCD中，ABAD，ABC与ADC互补，点E、F分别在射线CB、DC上，且EAFBAD当BC4，DC7，CF1时，
5、CEF的周长等于 （4）如图4，正方形ABCD中，AMN的顶点M、N分别在BC、CD边上，AHMN，且AHAB，连接BD分别交AM、AN于点E、F，若MH2，NH3，DF2，求EF的长（5）如图5，已知菱形ABCD中，B=60，点E、F分别是边BC，CD上的动点（不与端点重合），且EAF=60连接BD分别与边AE、AF交于M、N，当DAF15时，求证：MN2+DN2=BM2课后专项训练：1（2022重庆市育才中学二模）回答问题（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，B=ADC=90，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中BAE、FAD、EAF之间的数量关系
6、小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE连接AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是_；（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD中，ABC+ADC=180，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出EAF与DAB的数量关系2（2022江西九江一模）如图（1），在四边形ABCD中，以点A为顶点作，且，连接EF(1)观察猜想如图（2），当
7、时，四边形ABCD是_（填特殊四边形的名称）；BE，DF，EF之间的数量关系为_(2)类比探究如图（1），线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由(3)解决问题如图（3），在中，点D，E均在边BC上，且，若，求DE的长3（2022山东聊城九年级期末）（1）如图，点，分别在正方形的边，上，连接，求证：，试说明理由（2）类比引申：如图，四边形中，点，分别在边，上，EAF=45，若、都不是直角，则当与满足等量关系_时，仍有，试说明理由 （3）联想拓展：如图，在中，点，均在边上，且DAE=45，若，求的长4（2022黑龙江九年级阶段练习）已知：正方形AB
8、CD中，MAN=45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N当MAN绕点A旋转到BM=DN时，（如图1），易证BM+DN=MN(1)当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；(2)当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想5（2022重庆南川九年级期中）如图，正方形中，绕点顺时针旋转，它的两边分别交、或它们的延长线于点、(1)当绕点旋转到时如图，证明：；(2)绕点旋转到时如图，求证：；(3)当绕点旋转到如图位置时，线段、和之间有怎样的数量
9、关系？请写出你的猜想并证明6（2022江西景德镇九年级期中）（1）【特例探究】如图1，在四边形中，猜想并写出线段，之间的数量关系，证明你的猜想；（2）【迁移推广】如图2，在四边形中，请写出线段，之间的数量关系，并证明；（3）【拓展应用】如图3，在海上军事演习时，舰艇在指挥中心（处）北偏东20的处舰艇乙在指挥中心南偏西50的处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75请直接写出此时两舰艇之间的距离7（20
10、22上海九年级专题练习）小明遇到这样一个问题：如图1，在RtABC中，BAC90，ABAC，点D，E在边BC上，DAE45若BD3，CE1，求DE的长小明发现，将ABD绕点A按逆时针方向旋转90，得到ACF，联结EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及DAE45，可证FAEDAE，得FEDE解FCE，可求得FE（即DE）的长(1)请回答：在图2中，FCE的度数是 ，DE的长为 参考小明思考问题的方法，解决问题：(2)如图3，在四边形ABCD中，ABAD，BD180E，F分别是边BC，CD上的点，且EAFBAD猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由8（2022黑龙江哈
11、尔滨市九年级阶段练习）已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于M，N(1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN(2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系 (3)如图3，直线AN与BC交于P点，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的长9（2022浙江九年级阶段练习）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF（1）猜想
12、BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）在图1中，过点A作AMEF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；（3）如图2，将RtABC沿斜边AC翻折得到RtADC，E，F分别是BC，CD边上的点，EAF=BAD，连接EF，过点A作AMEF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系并证明你的猜想10（2022北京四中九年级期中）如图，在ABC中，ACB=90，CA=CB，点P在线段AB上，作射线CP（0ACP45)，射线CP绕点C逆时针旋转45，得到射线CQ，过点A作ADCP于点D，交CQ于点E，连接BE(1)依题意补全图形；(2)用等式表示线段AD，DE，BE之间的数量关系，并证明
