1、 专题02 将军饮马最值问题（专项训练）1.（黑龙江二模）如图，抛物线yx2+bx2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（1，0）（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值【解答】解：（1）点A（1，0）在抛物线yx2+bx2上，（1）2+b（1）20，解得：b，抛物线的解析式为：yx2x2yx2x2（ x23x4 ），顶点D的坐标为 （，）（2）设点C关于x轴的对称点为C，直线CD的解析式为ykx+n，则，解得：yx+2当y0时，x+20，解得：xm2（2022宁远县模拟）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两
2、点，其中点A的坐标为（3，0），与y轴交于点C，点D（2，3）在抛物线上（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；【解答】解：（1）二次函数yx2+bx+c的图象经过A（3，0），D（2，3），解得：二次函数解析式为yx2+2x3；（2）抛物线yx2+2x3的对称轴x1，D（2，3），C（0，3），C、D关于抛物线的对称轴x1对称，连接AC与对称轴的交点就是点P，此时PA+PDPA+PCAC3PA+PD的最小值为3；3（2022乐业县二模）如图，抛物线yax2+bx3与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标
3、是2（1）求抛物线的函数表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得PBC的周长最小，并求出点P的坐标；【解答】解：（1）抛物线yax2+bx3与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，解得：，抛物线的函数表达式为yx22x3；（2）yx22x3（x1）24，抛物线的对称轴为x1，A、B关于直线x1对称，所以AC与对称轴的交点为点P，此时CPBCPB+PC+BCAC+BC，此时BPC的周长最短，点C的横坐标是2，yC222233，C（2，3），设直线AC的解析式为ymx+n（m0），解得：，直线AC的解析式为yx1，当x1时，y112，P（1，2）；4（2022江阴市校级一模）如图1，在平面
4、直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+c与x轴分别相交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；【解答】解：（1）抛物线过点A（1，0），B（3，0），C（0，3），设抛物线解析式为ya（x+1）（x3），将C（0，3）代入，得：3a（0+1）（03），解得：a1，y（x+1）（x3）x2+2x+3（x1）2+4，该抛物线解析式为yx2+2x+3，顶点坐标为M（1，4）（2）如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C（0，2），连接BC交抛
5、物线对称轴x1于点Q，过点C作CPBC，交对称轴于点P，连接AQ，A、B关于直线x1对称，AQBQ，CPBC，PQCC，四边形CCQP是平行四边形，CPCQ，QPCC1，在RtBOC中，BC，AQ+QP+PCBQ+CQ+QPBC+QP+1，此时，C、Q、B三点共线，BQ+CQ的值最小，AQ+QP+PC的最小值为 +15（2022秋黄冈月考）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，y与轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D已知A（1，0），C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得|MBMC|的值最大，求此点M的坐标；【解答】解：（1）将A（1，0），C
6、（0，3）代入yx2+bx+c，解得，yx2+2x+3；（2）yx2+2x+3（x1）2+4，抛物线的对称轴为直线x1，A、B关于对称轴对称，|MBMC|MAMC|AC，当A、C、M三点共线时，|MBMC|有最大值，设直线AC的解析式为ykx+m，解得，y3x+3，M（1，6）；6（2022常德）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x2，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限（1）求此抛物线的解析式；（2）当OAB的面积为15时，求B的坐标；（3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PAPB的值最大时，求P的坐标以及PAPB的最大值【解答】解：（1）抛物线过
7、点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x2，抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），设抛物线解析式为yax（x4），把A（5，5）代入，得5a5，解得：a1，yx（x4）x24x，故此抛物线的解析式为yx24x；（2）点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，设B（2，m）（m0），设直线OA的解析式为ykx，则5k5，解得：k1，直线OA的解析式为yx，设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2），BHm2，SOAB15，（m2）515，解得：t8，点B的坐标为（2，8）；（3）设直线AB的解析式为ycx+d，把A（5，5），B（2，8）代入得：，解得：，直线AB的解析式为y
8、x+10，当PAPB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，P是抛物线上的动点，解得：，（舍去），P（2，12），此时，PAPBAB37（2022春良庆区校级期末）如图，已知抛物线的解析式为yx2x+3，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交点于点C（1）请分别求出点A、B、C的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接AC、BC，将ABC绕点B顺时针旋转90，点A、C的对应点分别为M、N，求点M、N的坐标；（3）若点P为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使|NPBP|最大时点P的坐标，并请直接写出|NPBP|的最大值【解答】解：（1）yx2x+3（x+4）（x1）（x+）2+，A（4，0），B（1
9、，0），C（0，3），对称轴为直线x；（2）如图所示：过N作NQx轴于点Q，由旋转性质得MBx轴，CBN90，BMAB5，BNBC，M（1，5），OBC+QBN90，OBC+BCO90，BCOQBN，又BOCNQB90，BNBC，OBCQNB（AAS），BQOC3，NQOB1，OQ1+34，N（4，1）；（3）设直线NB的解析式为ykx+bB（1，0）、N（4，1）在直线NB上，解得：，直线NB的解析式为：yx，当点P，N，B在同一直线上时|NPBP|NB，当点P，N，B不在同一条直线上时|NPBP|NB，当P，N，B在同一直线上时，|NPBP|的值最大，即点P为直线NB与抛物线的交点解方程组：，解得：或，当P的坐标为（1，0）或（，）时，|NPBP|的值最大，此时最大值为
