1、中点模型巩固练习（基础）1.如图所示，在ABC中，ABAC5，BC6，M为BC的中点，MNAC于点N，则MN等于（ ）A. B. C. D. 【解答】C【解析】如图，连接AM.ABAC，M是BC的中点，AMBC，AC5，CMBC3，AM4，在RtAMC中，AMCMACMN，即435MN，解得MN.2.如图，O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若ABC30，则弦AB的长为（ ）A. B. 5C. D. 【解答】D【解析】如图，连接OA、OC，OC交AB于点D.点C是的中点，OCAB且平分AB，即ADAB，ABC30，AOC60，在RtAOD中，ADAO，AB2AD.3.如图，在ABC中，ACB
2、60，AC1，D是AB的中点，E是BC上一点，若DE平分ABC的周长，则DE的长为 .【解答】【解析】如图，过点A作AMDE交BC的延长线于点M，过点C作CNAM，垂足为N.D是AB的中点，E为BM的中点，即BEEM，又DE平分ABC的周长，AC+CEBE，MC+CEAC+CE，MCAC，CNAM，ACB60，CAN60，在RtCAN中，ANACsin60，AM2AN，DEAM.4.如图，过矩形ABCD的顶点A作一直线，交BC的延长线于点E，F是AE的中点，连接FC、FD.求证：FDCFCD.【解答】见解析【解析】证明：如图，连接BF.四边形ABCD是矩形，ABC90，又F是AE的中点，FBF
3、A，FBAFAB，在矩形ABCD中，ABCBAD90，FADFBC，又ADBC，ADFBCF（SAS），DFCF，FDCFCD.5.已知：在ABC中，AD为中线，且BAD90，DAC45，求证：AB2AD.【解答】见解析【解析】证明：如图，延长AD至点E，使得EDDA，连接BE、CE.BDCD，ADDE，四边形ABEC是平行四边形，ACBE，AE2AD，AEBCAD45，BAD90，ABE是等腰直角三角形，ABAE，AE2AD，AB2AD.6.已知，如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，直线EGAD于点F，且交AB于点E，交AC于点G，求证：.【解答】见解析【解析】如图，分别过点B、C作BM
4、AD，交AD的延长线于点M，作CNAD于点N.EGAD于点F，EGBMCN，MBDNCD，在BDM和CDN中，BDMCDN，DMDN由得.7.如图，在ABC中，BC22，BDAC于点D，CEAB于E，F、G分别是BC、DE的中点，若ED10，求FG的长.【解答】【解析】如图，连接EH、DH.由题意可得EH、DH分别为RtBEC、RtBDC斜边上的中线，DHEHBC11，点G为ED的中点，DGEG5，又HGDE，在RtHGD中，HG.8.在ABC中，D为BC的中点，延长AD至点E，延长AB交CE的延长线于点P，若AD2DE，求证：AP3AB.【解答】见解析【解析】如图，过点D作DFAP交PC于点
5、F.点D为BC的中点，DF为PBC的中位线，PB2FD，又DFAP，DFEAPE，AD2DE，AE3DE，AP3DF，ABAPBP3DF-2DFDF，AP3AB.9.如图，AD是ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求的值.【解答】【解析】如图，过点D作DHAC交BF于点H，则EAFEDH.E是AD的中点，AEFDEH，AEFDEH（ASA），DHAF，在BCF中，D为BC的中点，且DHAC，DHFC，AFFC，.10.如图，以ABC的BC边上一点O为圆心的圆经过A、C两点，且与BC边交于点E，D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若ABBF.（1）求证：AB
6、是圆O的切线；（2）若CF4，DF，求圆O的半径及sinB的值.【解答】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：如图，连接OA、OD.D为CE的下半圆弧的中点，ODBC，EOD90，ABBF，OAOD，BAFBFA，OADODA，又BFAOFD，OADBAFODAOFD90，即OAB90，OAAB，AB是圆O的切线；（2）由题意可得OFCFOC4r，ODr，DF，在RtDOF中，即，解得（舍），OA3，OF1，BOBFFOAB1，在RtAOB中，AB4，OB5，.11如图，在四边形ABCD中，ABCADC90，M、N分别是AC、BD的中点，（1）不添加其它的已知条件，找出图中的所有等腰三角形；
7、（2）求证：MNBD；（3）若DAC62，BAC58，求DMB【解答】（1）见解析；（2）120【解析】（1）解：ADM，DMC，AMB，BCM都是等腰三角形理由：ABCADC90，M是AC的中点，DM=12ACAMCM，BM=12ACAMMC，ADM，DMC，AMB，BCM都是等腰三角形（2）证明：DM=12AC，BM=12AC，DMBM，DNBN，MNBD（3）解：DMMAMB，MADMDA62，MABMBA58，AMD18026256，AMB18025864，DMBAMD+AMB12012如图，以ABC的边AB为直径作O，交BC于D点，交AC于E点，BDDE（1）求证：ABC是等腰三角形
8、；（2）若E是AC的中点，O的半径为2，连接BE，求阴影部分的面积【解答】（1）见解析；（2）23【解析】（1）证明：BDDE，BODDOEBAC=12BOE，BOEBODDOEOAOE，BACOEAOEADOEACODCODBABCODE，CABCABC是等腰三角形（2）根据扇形面积公式得：604360=2313已知：如图，在ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AFDC，连接CF（1）求证：D是BC的中点；（2）如果ABAC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论【解答】（1）见解析；（2）矩形，理由见解析【解析】（1）证明：E是AD的中点，AEDEAFBC，FAEBDE，AFEDBE在AFE和DBE中，FAE=BDEAFE=DBEAE=DE，AFEDBE（AAS）AFBDAFDC，BDDC即：D是BC的中点（2）四边形ADCF是矩形；证明：AFDC，AFDC，四边形ADCF是平行四边形ABAC，BDDC，ADBC即ADC90平行四边形ADCF是矩形
