1、2.10函数的综合应用典例精析题型一抽象函数的计算或证明【例1】已知函数 f (x)对于任何实数x，y都有 f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且f(0)0.求证： f(x)是偶函数.【证明】因为对于任何实数x、y都有 f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，令xy0，则f(0)f(0)2f(0)f(0)，所以2f(0)2f(0)f(0)，因为f(0)0，所以f(0)1，令x0，yx，则f(0x)f(0x)2f(0)f (x)，所以f(x)f(x)2f(x)，所以f(x)f(x)，故f(x)是偶函数.【点拨】对于判断抽象函数的奇偶性问题常常采用“赋值法”探索求解途径；判断或证明抽象函数的奇
2、偶性单调性时，既要扣紧函数奇偶性单调性的定义，又要灵活多变，以创造条件满足定义的要求.【变式训练1】已知函数f(x)对任意的x，y有f(xy)f(x)f(y)，且f(x)的定义域为R，请判定f(x)的奇偶性.【解析】取xy0，得f(0)0.取yx，得f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数.题型二函数与导数的综合应用【例2】已知函数f(x)x32x2ax1.(1)若函数f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为4，求实数a的值；(2)若函数g(x)f(x)在区间(1,1)上存在零点，求实数a的取值范围.【解析】由题意得g(x)f(x)3x24xa.(1)f(1)34a4，所以a3.(2)方法一：当
3、g(1)a10，即a1时，g(x)f(x)的零点x(1,1)；当g(1)7a0，即a7时，f(x)的零点x(1,1)，不合题意；当g(1)g(1)0时，1a7；当时，a1.综上所述，a，7).方法二：g(x)f(x)在区间(1,1)上存在零点，等价于3x24xa在区间(1,1)上有解，也等价于直线ya与曲线y3x24x，x(1,1)有公共点，作图可得a，7).方法三：等价于当x(1,1)时，求值域：a3x24x3(x)2，7).【变式训练2】二次函数yax2bxc(a0)的图象与坐标轴交于(1,0)和(0，1)，且其顶点在第四象限，则abc的取值范围为.【解析】由已知c1，abc0，所以abc
4、2a2.又0a1，所以abc(2,0).题型三化归求函数的最大值和最小值问题【例3】某个体经营者把开始6个月试销售A、B两种商品的逐月投资与所获得的纯利润列成下表：投资A商品(万元)123456获纯利(万元)0.651.391.8521.841.40投资B商品(万元)123456获纯利(万元)0.250.490.7611.261.51该经营者下月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A、B两种商品各多少才能获得最大的利润，请你帮助制定一个资金投入方案，使该经营者能获得最大利润，并根据你的方案求出经营者下个月可能获得的最大利润(结果保留两个有效数字).【解析】以投资金额为横坐标，纯利润为纵坐标，
5、可以在直角坐标系中画出图象.据此可以考虑用下列函数描述上述两组数据之间的对应关系ya(x4)22 (a0)，ybx，把x1，y0.65代入得a0.15，故前6个月所获得的纯利润关于投资A商品的金额函数关系式可近似的用y0.15(x4)22表示，再把x4，y1代入可得b0.25，故前6个月所获得的纯利润关于投资B商品的金额函数关系式可近似的用y0.25x表示，设下个月投资A商品x万元，则投资B商品(12x)万元，则可获得纯利润为y0.15(x4)220.25(12x)0.15x20.95x2.6，可得当x3.2时，y取最大值4.1万元.故下个月分别投资A、B两种商品3.2万元和8.8万元可获得最
6、大利润4.1万元.【点拨】本题可以用两个函数近似地表示两种投资方案，是估计思想的体现.根据表中所列数据，把近似函数的解析式求出来，由此求得最大利润.解决此类问题的关键在于根据列出的散点图来选取适当的函数模型，然后求出待定系数便可求得函数解析式，再由解析式求最优解.【变式训练3】求函数y的值域.【解析】x0时，y0；x0时，y，所以0y1；x0时，y，所以y0.综上，y1.总结提高1.函数把数学各个分支紧紧地连在一起，函数与方程、不等式、数列、几何、三角函数彼此渗透、互相融合，构成了函数应用的广泛性、解法的多样性、思维的创造性.解这类综合问题应注意如下几点： (1)在解题时有些函数的性质并不明显
7、，深入挖掘这些隐含条件，将获得简捷解法； (2)应坚持“定义域优先”的原则，先弄清自变量的取值范围； (3)函数思想处处存在，要重视对函数思想的研究和应用，在解题时，要有意识地引进变量，建立相关函数关系，利用有关函数知识解决问题.2.解函数应用题的基本步骤：(1)阅读理解，审清题意.读题要逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所表达的实际背景，在此基础上分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)引进数学符号，建立数学模型.一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引进其他相关辅助变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后再根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识和其他相关知识建立关系式，在此基础上，将实际问题转化为函数问题，实现问题数学化，即建立数学模型；(3)利用数学方法将得到的常规函数问题予以解答，求出结果；(4)将所得结果转译成具体问题的解答.
