1、2013届全国各地高考押题数学（文科）精选试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题 （2013新课标高考压轴卷（一）文科数学）已知椭圆方程,双曲线的焦点是椭圆的顶点,顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为（）ABC2D3【答案】C【解析】由题意知双曲线的焦点在轴上.椭圆的一个焦点为,椭圆实轴上的一个顶点为,所以设双曲线方程为,则,所以双曲线的离心率为,选C （2013届四川省高考压轴卷数学文试题）已知双曲线的方程为,则离心率的范围是（）ABCD【答案】B （2013届广东省高考压轴卷数学文试题）已知直线,其中成等比数列,且直线经过抛物线的焦点,则（）AB0C1D4【答案】A成等比数列,直线经过抛物线的
2、焦点,由联立解得或(舍去),. （2013届福建省高考压轴卷数学文试题）角的终边经过点A,且点A在抛物线的准线上,则（）ABCD【答案】B （2013届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（一）若双曲线(m0)的焦距为8,则它的离心率为（）AB2CD【答案】A （2013届新课标高考压轴卷（二）文科数学）已知双曲线的方程为,过左焦点作斜率为的直线交双曲线的右支于点P,且y轴平分线段,则双曲线的离心率为（）ABCD【答案】A （2013届北京市高考压轴卷文科数学）已知抛物线的焦点F与双曲的右焦点重合,抛物线的准 线与x轴的交点为K,点A在抛物线上且,则A点的横坐标为（）AB3CD4 第二部分 (非选择
3、题 共110分)【答案】B【解析】抛物线的焦点为,准线为.双曲线的右焦点为,所以,即,即.过F做准线的垂线,垂足为M,则,即,设,则代入,解得.选B （2013届江西省高考压轴卷数学文试题）已知有相同两焦点F1、F2的椭圆+ y2=1和双曲线- y2=1,P是它们的一个交点,则F1PF2的面积是ks5u（）A2B3C1D4【答案】C （2013届湖北省高考压轴卷 数学（文）试题）已知双曲线右支上的一点到左焦点与到右焦点的距离之差为8,且到两渐近线的距离之积为,则双曲线的离心率为 【答案】 【解析】:因为双曲线右支上的一点到左焦点的距离与到右焦点的距离之差为8,所以,又因为点到两条渐近线的距离之
4、积为,双曲线的两渐近线方程分别为和,所以根据距离公式得,所以,即,又因为,所以,离心率.故选. （2013届安徽省高考压轴卷数学文试题）设是双曲线是上下焦点,若在双曲线的上支上,存在点满足,且到直线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率是（）ABCD【答案】B【解析】 过作与点,因为 所以即解得即,选B （2013新课标高考压轴卷（一）文科数学）若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线的离心率是（）ABC或D【答案】C 【解析】因为是2和8的等比中项,所以,所以,当时,圆锥曲线为椭圆,离心率为,当时,圆锥曲线为双曲线,离心率为,所以综上选C （2013届湖南省高考压轴卷数学（文）试题）过抛物线y2 =
5、2px(p0)的焦点F且倾斜角为60o的直l与抛物线在第一、四象限分别交于（）AB两点,则（）A5B4C3D2【答案】C （2013届海南省高考压轴卷文科数学）设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是（）A(0,2)B0,2C(2,+)D2,+)【答案】答案:C 考点:抛物线的简单性质. 分析:由条件|FM|4,由抛物线的定义|FM|可由y0表达,由此可求y0的取值范围 解答:解:由条件|FM|4,由抛物线的定义|FM|=y0+24,所以y02 (13)=1 (14)16(15)mb0), 因为离
6、心率为,所以=,解得=,即a2=2b2. 又ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=4a,所以4a=16,a=4,所以b=2,所以椭圆方程为+=1. （2013届湖南省高考压轴卷数学（文）试题）已知双曲线C:与抛物线y2=8x有公共的焦点F,它们在第一象限内的交点为M.若双曲线C的离心率为2,则|MF|=_.【答案】 5 （2013届海南省高考压轴卷文科数学）已知双曲线和椭圆有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为_【答案】考点:圆锥曲线的综合
7、;椭圆的简单性质. 分析:先利用双曲线和椭圆有相同的焦点求出c=,再利用双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,求出a=2,即可求双曲线的方程. 解答:解:由题得,双曲线的焦点坐标为(,0),(,0),c=: 且双曲线的离心率为2=a=2.b2=c2a2=3, 双曲线的方程为=1. 故答案为:=1. （2013届陕西省高考压轴卷数学（文）试题）已知双曲线的一个焦点与抛线线的焦点重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的方程为_.【答案】【解析】抛线线的焦点. （2013届辽宁省高考压轴卷数学文试题）已知双曲线的一条渐近线方程是,它的一个焦点与抛物线的焦点相同.则双曲线的方程为_ .【答案】 【解析】本
8、题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程,属于容易题. 由渐近线方程可知 因为抛物线的焦点为(4,0),所以c=4 又 联立,解得,所以双曲线的方程为 （2013届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（二）设椭圆 (.为常数且),和轴正方向交于点,和轴正方向交于点,为第一象限内椭圆上的点,则四边形面积在最大值为_.【答案】 （2013届新课标高考压轴卷（二）文科数学）过点M(2,0)的直线m与椭圆两点,线段的中点为P,设直线m的斜率为,直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为_【答案】 -1/2 （2013届福建省高考压轴卷数学文试题）焦点在轴上,渐近线方程为的双曲线的离心率为_.【答案
9、】 三、解答题（2013届福建省高考压轴卷数学文试题）已知抛物线的焦点为F2,点F1与F2关于坐标原点对称,直线m垂直于轴(垂足为T),与抛物线交于不同的两点P.Q,且.()求点T的横坐标;()若椭圆C以F1,F2为焦点,且F1,F2及椭圆短轴的一个端点围成的三角形面积为1. 求椭圆C的标准方程; 过点F2作直线l与椭圆C交于A,B两点,设,若的取值范围.【答案】解:()由题意得,设, 则,. 由, 得即, 又在抛物线上,则, 联立.易得 ()()设椭圆的半焦距为,由题意得, 设椭圆的标准方程为, 由,解得 从而 故椭圆的标准方程为 ()方法一: 容易验证直线的斜率不为0,设直线的方程为 将直
10、线的方程代入中得: 设,则由根与系数的关系, 可得: 因为,所以,且. 将式平方除以式,得: 由 所以 因为,所以, 又,所以, 故 , 令,因为 所以,即, 所以. 而,所以. 所以 方法二: 【D】1)当直线的斜率不存在时,即时, 又,所以 【D】2)当直线的斜率存在时,即时,设直线的方程为 由得 设,显然,则由根与系数的关系, 可得:, 因为,所以,且. 将式平方除以式得: 由得即 故,解得 因为,所以, 又, 故 令,因为 所以,即, 所以. 所以 综上所述: （2013届天津市高考压轴卷文科数学）设分别是椭圆:的左、右焦点,过倾斜角为的直线与该椭圆相交于P,两点,且.()求该椭圆的离
11、心率;()设点满足,求该椭圆的方程.【答案】解:()直线斜率为1,设直线的方程为,其中 设,则两点坐标满足方程组 化简得, 则, 因为,所以 得,故, 所以椭圆的离心率 ()设的中点为,由(1)知 由得 即,得,从而.故椭圆的方程为 （2013届新课标高考压轴卷（二）文科数学）已知椭圆C:的离心率为,以原点O为圆心,椭圆的短半轴长 为半径的圆与直线相切()求椭圆C的标准方程()若直线L:与椭圆C相交于A、B两点,且求证:的面积为定值在椭圆上是否存在一点P,使为平行四边形,若存在,求出的取值范围,若不存在说明理由.请考生在第22,23,24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时
12、请写清题号.【答案】()解:由题意得 椭圆的方程为. ()设,则A,B的坐标满足 消去y化简得 , ,得 =. ,即 即 = . O到直线的距离 = = 为定值. ()若存在平行四边形OAPB使P在椭圆上,则 设,则 由于P在椭圆上,所以 从而化简得 化简得 (1) 由知 (2) 解(1)(2)知无解 不存在P在椭圆上的平行四边形. （2013届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（二）已知曲线上任意一点到直线的距离与它到点的距离之比是.(I)求曲线的方程;(II)设为曲线与轴负半轴的交点,问:是否存在方向向量为的直线,与曲线相交于两点,使,且与夹角为?若存在,求出值,并写出直线的方程;若不存在,请
13、说明理由.【答案】解:()设为曲线上任意一点,依题意 化简:,为椭圆,其方程为 ()设直线, 由 消去得: 设,中点, 则, (1) 依题意:,与夹角为,为等边三角形, ,即,(2) 由(2)代入(1):, 又为等边三角形,到距离, 即, 解得:即,经检验方程有解, 所以直线的方程为: （2013届重庆省高考压轴卷数学文试题）已知点,是抛物线上相异两点,且满足.()若的中垂线经过点,求直线的方程;()若的中垂线交轴于点,求的面积的最大值及此时直线的方程.【答案】解:(I)当垂直于轴时,显然不符合题意, 所以可设直线的方程为,代入方程得: ks5u 得: 直线的方程为 中点的横坐标为1,中点的坐
14、标为 的中垂线方程为 的中垂线经过点,故,得 直线的方程为 ()由(I)可知的中垂线方程为,点的坐标为 因为直线的方程为 到直线的距离 由 得, , 设,则, ,由,得 在上递增,在上递减,当时,有最大值 得:时,直线方程 （2013届江西省高考压轴卷数学文试题）如图,在矩形中,分别为四边的中点,且都在坐标轴上,设,.()求直线与的交点的轨迹的方程;()过圆上一点作圆的切线与轨迹交于两点,若,试求出的值.【答案】解:(I)设,由已知得, 则直线的方程为,直线的方程为, 消去即得的轨迹的方程为 (II)方法一:由已知得,又,则, 设直线代入得, 设, 则 由得, 即, 则, 又到直线的距离为,故
15、. 经检验当直线的斜率不存在时也满足 方法二:设,则,且可得直线的方程为 代入得, 由得,即, 则,故 （2013届山东省高考压轴卷文科数学）已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,一个顶点为,且其右焦点到直线的距离为3.()求椭圆方程;()设直线过定点,与椭圆交于两个不同的点,且满足.求直线的方程.【答案】【解析】(1)设椭圆方程为, 则 令右焦点, 则由条件得,得 那么,椭圆方程为 (2)若直线斜率不存在时,直线即为轴,此时为椭圆的上下顶点, ,不满足条件; 故可设直线:,与椭圆联立, 消去得: 由,得 由韦达定理得 而 设的中点,则 由,则有. 可求得 检验 所以直线方程为或 （2013新课标
16、高考压轴卷（一）文科数学）给定抛物线,是抛物线的焦点,过点的直线与相交于、两点,为坐标原点.()设的斜率为1,求以为直径的圆的方程;()设,求直线的方程.【答案】()解:又直线的斜率为1,直线的方程为:,代入,得:,由根与系数的关系得:,易得中点即圆心的坐标为,又, 所求的圆的方程为:. ()而,直线的斜率存在,设直线的斜率为,则直线的方程为: ,代入,得:,由根与系数的关系得: ,或, 直线的方程为: （2013届广东省高考压轴卷数学文试题）在平面直角坐标系中,已知圆心在轴上,半径为4的圆位于轴右侧,且与轴相切.(1)求圆的方程;(2)若椭圆的离心率为,且左右焦点为.试探究在圆上是否存在点,
17、使得为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).【答案】解:(1)依题意,设圆的方程为 圆与轴相切, 圆的方程为 (2)椭圆的离心率为 解得 , 恰为圆心 (i)过作轴的垂线,交圆,则,符合题意; (ii)过可作圆的两条切线,分别与圆相切于点, 连接,则,符合题意 综上,圆上存在4个点,使得为直角三角形 （2013届浙江省高考压轴卷数学文试题）设抛物线C:的焦点为F,经过点F的直线与抛物线交于A、B两点.(1) 若直线AB的斜率为2,当焦点为时,求的面积;(2) 若M是抛物线C准线上的点,求证:直线的斜率成等差数列.【答案】【解析】设抛物线C:的焦点为
18、F,经过点F的直线与抛物线交于A、B两点. (1)若,求线段中点M的轨迹方程; (2) 若直线AB的方向向量为,当焦点为时,求的面积; (3) 若M是抛物线C准线上的点,求证:直线的斜率成等差数列. 解:(1) ,直线, 由得, , (2)显然直线的斜率都存在,分别设为. 点的坐标为. 设直线AB:,代入抛物线得, 所以, 又, 因而, 因而 而,故. （2013届陕西省高考压轴卷数学（文）试题）已知椭圆的离心率为,且椭圆上一点与两个焦点构成的三角形的周长为. (I)求椭圆的方程;(II)设过椭圆右焦点的动直线与椭圆交于两点,试问:在轴上是否存在定点,使成立?若存在,求出点的坐标;若不存在,请
19、说明理由.【答案】【解析】(I)由题意知:,且, 解得, 椭圆的方程为. (II)易求得右焦点,假设在轴上存在点(为常数),使. 当直线的斜率不存在时,则,此时, ,解得或. 当直线的斜率存在时,设, 联立方程组,消去整理得, 设,则 当即时,为定值: 由可知,在轴上存在定点,使成立. （2013届辽宁省高考压轴卷数学文试题）已知抛物线上的点到焦点的距离为,()求的值;()如图,已知动线段(在右边)在直线上,且,现过 作的切线,取左边的切点,过作的切线,取右边的切点为,当,求点的横坐标的值.xyABMN辽宁省高考压轴卷 数学(文)试【答案】解答:()抛物线即,准线方程为: xyABMN , 点
20、到焦点的距离为, 抛物线的方程为 ()设, 切线的方程为:,即, 同理可得切线的方程为: 由于动线段(在右边)在直线上,且, 故可设, 将代入切线的方程得,即, 同理可得, ,当时,得 , , 得或(舍去) （2013届海南省高考压轴卷文科数学）在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆.如图所示,斜率为k(k0)且不过原点的直线l交椭圆C于A,B两点,线段AB的中点为E,射线OE交椭圆C于点G,交直线x=3于点D(3,m).()求m2+k2的最小值;()若|OG|2=|OD|OE|,求证:直线l过定点;2013海南省高考压轴卷数学【答案】解:()设y=kx+t(k0), 由题意,t0,由方程组,得(
21、3k2+1)x2+6ktx+3t23=0, 由题意0, 所以3k2+1t2,设A(x1,y1),B(x2,y2), x1+x2=,所以y1+y2=, 线段AB的中点为E,xE=,yE=, 此时kOE=. 所以OE所在直线方程为y=x, 又由题设知D(3,m). 令x=3,得m=,即mk=1, 所以m2+k22mk=2, ()(i)证明:由()知OD所在直线方程为y=x, 将其代入椭圆C的方程,并由k0,解得G(,), 又E(,),D(3,), 由距离公式和t0,得 |OG|2=()2+()2=, |OD|=, |OE|=. 由|OG|2=|OD|OE|, 得t=k, 因此直线l的方程为y=k(
22、x+1),所以直线l恒过定点(1,0) （2013届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（一）已知椭圆的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.()求椭圆的方程;()已知动直线与椭圆相交于.两点,若线段中点的横坐标为,求斜率的值.【答案】解:()因为满足 , , 解得,则椭圆方程为 ()将代入中得 , 因为中点的横坐标为,所以,解得 （2013届北京市高考压轴卷文科数学）已知椭圆C:的离心率为,其中左焦点. ()求出椭圆C的方程;() 若直线与曲线C交于不同的A、B两点,且线段AB的中点M在圆上,求m的值.【答案】解:(1)由题意得, 解得: 所以椭圆C的方程为: (2)设点A,
23、B的坐标分别为,线段AB的中点为M, 由,消去y得 点 M在圆上, （2013届安徽省高考压轴卷数学文试题）( )已知椭圆的焦点坐标是,过点垂直与长轴的直线交椭圆与两点,且.(1)求椭圆的方程(2)过的直线与椭圆交与不同的两点,则的内切圆面积是否存在最大值?若存在,则求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.【答案】【解析】(1)设椭圆的方程是, 由交点的坐标得:,- 由,可得- 解得- 故椭圆的方程是- (2)设,不妨设 设的内切圆半径是,则的周长是, , 因此最大,就最大- 由题知,直线的斜率不为0,可设直线的方程为, 由得,- 解得 则- 令则 则- 令 当时,在上单调递增,
24、 有, 即当时,所以, 此时所求内切圆面积的最大值是 故直线,内切圆的面积最大值是- （2013届上海市高考压轴卷数学（文）试题）本题共3小题,第()小题4分,第()小题6分,第()小题6分. 已知椭圆的左,右两个顶点分别为、,曲线是以、两点为顶点,焦距为的双曲线.设点在第一象限且在曲线上,直线与椭圆相交于另一点.()求曲线的方程;()设、两点的横坐标分别为、,求证为一定值;()设与(其中为坐标原点)的面积分别为与,且,求 的取值范围.【答案】解:()依题意可得, 双曲线的焦距为, 双曲线的方程为 ()证明:设点、(,),直线的斜率为(), 则直线的方程为 联立方程组 整理,得 解得或 同理方
25、程组可得: 为一定值 ()设点、(,), 则,. ,即 点在双曲线上,则,所以,即 又点是双曲线在第一象限内的一点,所以 , 由(2)知,即,设,则, ,在上单调递减,在上单调递增 当,即时, 当,即时, 的取值范围为 ks5u（2013届湖北省高考压轴卷 数学（文）试题）已知椭圆的中心在坐标原点,离心率,且其中一个焦点与抛物线的焦点重合.(1)求椭圆的方程;(2)过点的动直线交椭圆于两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点,使得无论如何转动,以为直径的圆恒过点?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)依题意可设椭圆的方程为, 离心率, 又抛物线的焦点为, 所以, 椭圆的方程
26、是. (2)若直线与轴重合,则以为直径的圆是,若直线垂直于轴,则以为直径的圆是. 由解得 即两圆相切于点. 因此所求的点如果存在,只能是. 事实上,点就是所求的点.证明如下: 当直线垂直于轴时,以为直径的圆过点. 当直线不垂直于轴时,可设直线. 由消去得. 设,则 又因为, ,即以为直径的圆恒过点. 故在坐标平面上存在一个定点满足条件. （2013届湖南省高考压轴卷数学（文）试题）设椭圆的左、右顶点分别为A、B,点p在椭圆上且异于A、B两点,O为坐标原点.(1)若直线AP与BP的斜率之积为,求椭圆的离心率;(2)对于由(1)得到的椭圆C,过点P的直线l交X轴于点Q(-1,0),交x轴于点M, 若,求直线l的斜率【答案】+,所以, 即, , d=,(n,) ()当k=n时,显然成立 当k0,y20,tanACF=1,当且仅当y1=p时取等号, 此时ACF取最大值,ACB=2ACF取最大值, 并且A(,p),B(,-p),|AB|=2p. ks5u
