1、1.(2013昆明模拟)如图，已知四棱锥PABCD，底面ABCD是正方形，PA平面ABCD，点M是CD的中点，点N是PB的中点，连接AM，AN，MN.(1)求证：MN平面PAD；(2)若MN5，AD3，求二面角NAMB的余弦值解：(1)取AB的中点E，连接NE，ME.点M是CD的中点，点N是PB的中点，MEAD，NEPA.AD平面PAD，ME平面PAD，ME平面PAD.PA平面PAD，NE平面PAD，NE平面PAD.MENEE，NE平面MEN，ME平面MEN，平面MEN平面PAD.MN平面MEN，MN平面PAD.(2)NEPA，PA平面ABCD，NE平面ABCD.在RtNEM中，MN5，MEA
2、D3，得NE4.以点A为原点，AD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，M，E，N.，.设平面AMN的法向量为n(x，y，z)，由n0，n0，得令x1，得y2，z.n是平面AMN的一个法向量又(0,0,4)是平面AMB的一个法向量，cosn，.二面角NAMB的余弦值为.2.(2013沈阳模拟)如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，点O，E分别是A1C1，AA1的中点，AO平面A1B1C1.已知BCA90，AA1ACBC2.(1)证明：OE平面AB1C1；(2)求异面直线AB1与A1C所成的角；(3)求A1C1与平面AA1B1所
3、成角的正弦值解：法一：(1)证明：点O，E分别是A1C1，AA1的中点，OEAC1，又EO平面AB1C1，AC1平面AB1C1，OE平面AB1C1.(2)AO平面A1B1C1，AOB1C1.又A1C1B1C1，且A1C1AOO，B1C1平面A1C1CA，A1CB1C1.又AA1AC，四边形A1C1CA为菱形，A1CAC1.B1C1AC1C1，A1C平面AB1C1，AB1A1C，即异面直线AB1与A1C所成的角为90.(3)设点C1到平面AA1B1的距离为d，VAA1B1C1VC1AA1B1，即A1C1B1C1AOSAA1B1d.又在AA1B1中，A1B1AB12，SAA1B1.d，A1C1与平
4、面AA1B1所成角的正弦值为.法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0，)，A1(0，1,0)，E，C1(0,1,0)，B1(2,1,0)，C(0,2, )(1)证明：，(0,1，)，即OEAC1，又OE平面AB1C1，AC1平面AB1C1，OE平面AB1C1.(2)(2,1，)，(0,3，)，0，即AB1A1C，异面直线AB1与A1C所成的角为90. (3)设A1C1与平面AA1B1所成角为，(0,2,0)，(2,2,0)，(0,1，)，设平面AA1B1的法向量为n(x，y，z)，则即不妨令x1，可得n.sin |cos，n|，A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值为.3.(2013
5、天津高考)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E为棱AA1的中点(1)证明：B1C1CE；(2)求二面角B1CEC1的正弦值；(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长解：法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B (0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0，2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)(1)易得,(1,0，1)，,(1,1，1)，于是,0，所以B1C1CE.(2) ,(1，2，1)设平面B1CE的法向量m(x，y，z)，则即
6、消去x，得y2z0，不妨令z1，可得一个法向量为m(3，2,1)由(1)知，B1C1CE，又CC1B1C1，可得B1C1平面CEC1，故,(1,0，1)为平面CEC1的一个法向量于是cosm，,，从而sinm，,.所以二面角B1CEC1的正弦值为.(3),(0,1,0)，,(1,1,1)设,(，)，01，有,(，1，)可取,(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量设为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则sin |cos,，,|.于是，解得，所以AM.法二：(1)证明：因为侧棱CC1底面A1B1C1D1，B1C1平面A1B1C1D1，所以CC1B1C1.经计算可得B1E，B1C1，EC1，
7、从而B1E2B1CEC，所以在B1EC1中，B1C1C1E.又CC1，C1E平面CC1E，CC1C1EC1，所以B1C1平面CC1E.又CE平面CC1E，故B1C1CE.(2)过B1作B1GCE于点G，连接C1G.由(1)知，B1C1CE，故CE平面B1C1G，得CEC1G，所以B1GC1为二面角B1CEC1的平面角在CC1E中，由CEC1E，CC12，可得C1G.在RtB1C1G中，B1G，所以sinB1GC1，即二面角B1CEC1的正弦值为.(3)连接D1E，过点M作MHED1于点H，可得MH平面ADD1A1，连接AH，AM，则MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角设AMx，从而在Rt
8、AHM中，有MHx，AHx.在RtC1D1E中，C1D11，ED1，得EHMHx.在AEH中，AEH135，AE1，由AH2AE2EH22AEEHcos 135，得x21x2x，整理得5x22x60，解得x.所以线段AM的长为.4如图，在三棱锥SABC中，SAABACBCSBSC，O为BC的中点(1)求证：SO平面ABC；(2)在线段AB上是否存在一点E，使二面角BSCE的平面角的余弦值为？若存在，确定E点位置；若不存在，试说明理由解：(1)证明：如图，连接AO，O为BC中点且SBSC，SOBC.设SBa，则SOa，AOa.又SAa，SO2OA2SA2，SOOA.又BCOAO，SO平面ABC.(2)如图，以O为原点，以OC所在射线为x轴正半轴，以OA所在射线为y轴正半轴，以OS所在射线为z轴正半轴建立空间直角坐标系则有O(0,0,0)，S，C，A，B，,，.假设存在E满足条件，设, (01)，则E，则,.设平面SCE的法向量为n(x，y，z)，则即取n.OA平面SBC，可取向量m(0,1,0)为平面SBC的法向量cosm，n，解得.当E为AB中点时，二面角BSCE的余弦值为.高考资源网版权所有！投稿可联系QQ：1084591801
