1、第4节 万有引力理论的成就学习目标 核心提炼 1.了解万有引力定律在天文学上的应用。2个应用测天体质量、发现未知天体 1个基本思路万有引力提供向心力2个重要关系 2.会用万有引力定律计算天体的质量和密度。3.掌握综合运用万有引力定律和圆周运动学知识分析具体问题的方法。GMmR2 mgGMmr2 mv2r m2rm4 2T2 r一、天体质量的计算 阅读教材第4142页“科学真是迷人”及“计算天体的质量”部分，知道利用g、R和G计算地球质量的方法，知道利用T、r和G计算太阳质量的方法。1.地球质量的计算(1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力。(2)关系式：
2、mg_。(3)结果：M_，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量。GMmR2gR2G2.太阳质量的计算(1)思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力提供向心力。(2)关系式：G_。(3)结论：M_，只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r就可以计算出太阳的质量。(4)推广：若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r，可计算行星的质量M，公式是M_。Mmr2m4 2T2 r4 2r3GT24 2r3GT2思维拓展 如图1所示是卡文迪许测量引力常量的示意图。卡文迪许在实验室里测量几个铅球之间的作用力，测出了引力常量G的值，从而“称量”出了地球的质量。图1(1
3、)卡文迪许测出G后，他是怎样“称量”地球的质量的呢？(2)已知地面附近的重力加速度g9.8 m/s2，地球半径R6.4106 m，引力常量G6.671011 Nm2/kg2，试估算地球的质量。答案(1)在地球表面，物体受到的重力近似等于地球对物体的万有引力，即 mgGmMR2，解得地球的质量 MgR2G，只要测出 G、g、R 来，便可“称量”地球的质量。(2)MgR2G 9.8（6.4106）26.671011kg 6.01024 kg。二、发现未知天体 阅读教材第4243页“发现未知天体”部分，知道发现未知天体的几个史实及所用到的理论依据。1.海王星的发现：英国剑桥大学的学生_和法国年轻的天
4、文学家_根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的_在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星_。2.其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了_、阋神星等几个较大的天体。亚当斯勒维耶伽勒海王星冥王星思考判断 1.天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的。()2.海王星的发现确立了万有引力定律的地位。()3.牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道。()要点归纳天体质量和密度的计算1.天体质量的计算“自力更生法”“借助外援法”情景 已知天体(如地球)的半径R和天体(如地球)表面的重力加速度g 行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运
5、动 思路物体的重力近似等于天体(如地球)与物体间的万有引力：mgGMmR2行星或卫星受到的万有引力充当向心力：GMmr2 mv2r或 GMmr2 m2r或 GMmr2 m2T2r结果天体(如地球)质量：MgR2G中心天体质量：Mrv2G或 Mr3 2G或 M4 2r3GT22.天体密度的计算(1)一般思路：若天体半径为 R，则天体的密度 M43 R3，将质量代入可求得密度。(2)特殊情况卫星绕天体做半径为 r 的圆周运动，若天体的半径为 R，则天体的密度 M43 R3，将 M4 2r3GT2 代入得：3 r3GT2R3。当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径 r 等于天体半径 R，则 3GT2。
6、已知天体表面的重力加速度为 g，则 M43 R3gR2G43 R33g4 RG。精典示例例1 我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某星球表面。宇航员从距该星球表面高度为h处，沿水平方向以初速度v抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平距离为L，已知该星球的半径为R，引力常量为G。求：(1)该星球表面的重力加速度。(2)该星球的平均密度。解析(1)小球在星球表面做平抛运动，有 Lvt，h12gt2，解得 g2hv2L2。(2)在星球表面满足GMmR2 mg 又 M43R3，解得 3hv22GRL2。答案(1)2hv2L2 (2)3hv22 GRL2【误区警示】求解天体质量的注意事项(1)计算
7、天体质量的方法：MgR2G 和 M42r3GT2。不仅适用于计算地球和太阳的质量，也适用于其他中心星体。(2)注意R、r的区分。R指中心天体的球体半径，r指行星或卫星的轨道半径。若行星或卫星绕近中心天体轨道运行，则有Rr。针对训练1 过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的。该中心恒星与太阳的质量比约为()120A.110B.1C.5 D.10 解析 根据 GMmr2 m42T2 r 得 Mr3T2，代入数据得恒星与太阳的质量比约
8、为 1.04，所以 B 项正确。答案 B要点归纳天体运动的分析与计算1.解决天体运动问题的基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立基本关系式：G ma，式中a是向心加速度。MmR22.常用的关系式(1)GMmr2 mv2r m2rm4 2T2 r。(2)mgGMmR2 即 gR2GM，该公式通常被称为黄金代换式。3.四个重要结论：设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。(1)由 GMmr2 mv2r 得 vGMr，r 越大，v 越小。(2)由 GMmr2 m2r 得 GMr3，r 越大，越小。
9、(3)由 GMmr2 m2T2r 得 T2r3GM，r 越大，T 越大。(4)由 GMmr2 man 得 anGMr2，r 越大，an 越小。以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”。精典示例例2 国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，具轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2 060 km。1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度
10、为a3，则a1、a2、a3的大小关系为()图2 A.a2a1a3B.a3a2a1 C.a3a1a2D.a1a2a3解析 东方红二号和地球赤道上随地球自转的物体的角速度相同，东方红二号的轨道半径大于地球赤道上随地球自转的物体的半径，由a2r得a2a3，东方红一号和东方红二号由万有引力提供向心力：G ma，结合二者离地面的高度可得a1a2，选D。Mmr2答案 D针对训练2(多选)如图3所示，a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等，且小于c的质量，则()图3 A.b所需向心力最小 B.b、c的周期相同且大于a的周期 C.b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度 D
11、.b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度解析 因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供，而b 所受的引力最小，故 A 正确；由GMmr2man 得，anGMr2，即卫星的向心加速度与轨道半径的平方成反比，所以 b、c 的向心加速度大小相等且小于 a 的向心加速度，C 错误；由GMmr242mrT2得，T2r3GM，即卫星运动的周期与其轨道半径三次方的平方根成正比，所以 b、c 的周期相等且大于 a 的周期，B 正确；由 GMmr2 mv2r 得，vGMr，即地球卫星的线速度与其轨道半径的平方根成反比，所以 b、c 的线速度大小相等且小于 a 的线速度，D 正确。答案 ABD1.(万有引力
12、提供向心力)(2017郑州高一检测)若太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视为半径为r的圆。已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足()A.GM4 2r3T2B.GM4 2r2T2C.GM4 2r2T3D.GM4 r3T2解析 行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供向心力，有 GMmr2 m42T2 r，所以 GM42r3T2，选项 A 正确。答案 A2.(重力加速度的估算)(2017宁波高一检测)若某黑洞的半径R约45 km，质量M和半径R的关系满足(其中c为光速，G为引力常量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为()MR c22GA.108 m/s2B.101
13、0 m/s2 C.1012 m/s2D.1014 m/s2解析 黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，对黑洞表面的某一质量为 m 的物体有：F 万GMmR2 mg，又有MR c22G，联立解得 g c22R，代入数据得重力加速度 g1012 m/s2，C 项正确。答案 C3.(星球表面重力加速度的计算)(2017济宁高一检测)火星的质量和半径分别约为地球的 110和12，地球表面的重力加速度为 g，则火星表面的重力加速度约为()A.0.2gB.0.4gC.2.5gD.5g解析 由星球表面的物体所受的重力近似等于万有引力知，对火星上的物体，m1g 火GM火
14、m1R2火 对地球上的物体，m2gGMm2R2 联立式得g火g M火R2MR2火 1221010.4，则 g 火0.4 g。答案 B4.(天体密度的计算)(2017石家庄高一检测)假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为()A.3（g0g）GT2g0B.3 g0GT2（g0g）C.3GT2D.3 g0GT2g解析 在地球两极处，GMmR2 mg0；在赤道处，GMmR2 mgm42T2 R，故 R（g0g）T242，则 M43R3R2g0G43R3 3g04RG3g0GT2（g0g），B 正确。答
15、案 B5.(天体质量和密度的计算)假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星。若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知万有引力常量为G。求：(1)该天体的密度；(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，该天体密度的另一表达式。解析(1)设卫星的质量为 m，天体的质量为 M，卫星贴近天体表面运动时有 GMmR2 m42T21 R，M42R3GT21，根据数学知识可知天体的体积为 V43R3故该天体的密度为 MV42R3GT2143R33GT21(2)卫星距天体表面距离为 h 时，忽略自转有 GMm（Rh）2m42T22(Rh)M42（Rh）3GT22 MV42（Rh）3GT2243R3 3（Rh）3GT22R3答案(1)3GT21(2)3（Rh）3GT22R3
