1、甘肃省兰州市2015届高三实战考试数学(文)试题【试卷综述】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能.【题文】第I卷【题文】一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。【题文】1已知全集U=1,2,3,4,5,6,7),A=1,3,5,6,则A.1,3,5,6) B.2,
2、3,7 C.2,4,7 D.2,5,7【知识点】补集的运算A1【答案】【解析】C 解析:因为全集U=1,2,3,4,5,6,7),A=1,3,5,6,则2,4,7,故选C.【思路点拨】直接使用补集的定义即可。【题文】2iz=1一i(i为虚数单位),则|z|= A2 BC1 D【知识点】复数代数形式的乘除运算L4【答案】【解析】B 解析:由iz=1+i,得,故选B.【思路点拨】由iz=1-i,两边除以i,按照复数除法运算法则化简计算【题文】3已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若则C=ABCD【知识点】余弦定理C8【答案】【解析】D 解析:因为在ABC中,有,结合已知条件,两式相
3、减可得,则,故选D.【思路点拨】直接利用余弦定理与已知条件联立可解得。【题文】4已知命题;命题则下面结论正确的是 Apq是真命题 Bpq是假命题 Cq是真命题 Dp是假命题【知识点】复合命题的真假A2【答案】【解析】A 解析:对于p:取=,则cos()=cos,因此正确;对于命题,正确由上可得:pq是真命题故选:A【思路点拨】p:取=,则cos()=cos,即可判断出真假;命题q:利用实数的性质可得q的真假再利用复合命题真假的判定方法即可得出【题文】5已知实数x,y满足axay(0a0)个单位长度后,所得图象关于y轴对称,则m的最小值是ABCD【知识点】函数y=Asin(x+)的图象变换C4【
4、答案】【解析】A 解析:将函数f(x)=cosxsinx=2cos(x+)的图象向左平移m(m0)个单位长度后,所得图象对应的函数的解析式为y=2cos(x+m+)再根据所得图象关于y轴对称,可得m+=k,即m=k,kz,则m的最小值是,故选:A【思路点拨】由条件利用三角恒等变换、y=Asin(x+)的图象变换规律,可得y=2cos(x+m+)图象关于y轴对称,可得m+=k,kz,由此求得m的最小值【题文】11已知椭圆C的中心为O,两焦点为F1,F2,M椭圆C上的一点,且满足,则椭圆C的离心率e=ABCD【知识点】椭圆的简单性质H5【答案】【解析】D 解析:延长MO与椭圆交于N,MN与F1F2
5、互相平分,四边形MF1NF2是平行四边形,平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和,MN2+F1F22=MF12+MF22+NF12+NF22,MF1+MF2=2MF2+MF2=3MF2=2a,NF1=MF2=a,NF2=MF1=a,F1F2=2c,(a)2+(2c)2=(a)2+(a)2+(a)2+(a)2,=,e=故选:C【思路点拨】延长MO与椭圆交于N,由已知条件能推导出四边形MF1NF2是平行四边形,再由平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和,结合椭圆的性质求出椭圆的离心率.【题文】12已知函数,且,则当时,的取值范围是ABCD【知识点】函数的单调性、奇偶性;简单的线性规划B4
6、E5【答案】【解析】D 解析:因为,且,所以函数为奇函数,且在R上是增函数,所以由得,即,即,其表示圆及其内部,表示满足的点P与定点A(-1,0)连线的斜率,结合图形分析可得,直线AC的斜率最小,切线AB的斜率最大。【思路点拨】先由,且判断出函数的奇偶性以及单调性,再结合表示的几何意义求出范围即可。【题文】第II卷【题文】二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。【题文】13已知向,则x= 。【知识点】平行向量与共线向量F2【答案】【解析】 解析:因为,所以,解得,故答案为。【思路点拨】用两向量共线坐标形式的充要条件公式即可【题文】14甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的
7、运动服种选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为 。【知识点】古典概型及其概率计算公式K2【答案】【解析】 解析:由题意可得所有的选法共有33=9种,而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种,他们选择相同颜色运动服的概率为P=,故答案为:【思路点拨】由分步计数原理可得总的方法种数为9,而选择相同颜色运动服的方法共3种,由概率公式可得【题文】15已知实数x,y,满足约束条件,若z的最大值为12,则k= 。【知识点】简单线性规划E5【答案】【解析】6 解析:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分)由z=x+y得y=x+z,平移直线y=x+z,由图象可知当直线y=x+z经过点A时,直线y=x+z
8、的截距最大,此时z最大此时z=x+y=12由,解得,即A(6,6),同时A也在y=k上,k=6故答案为:6【思路点拨】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求K的值【题文】16已知正方体ABCD A1B1C 1D1的棱长为1,E、F分别为棱几AA1与CC1的中点,过直线EF的平面分别与BB1、DD1相交于点M、N设BM =x,x01有以下命题: 平面MENF平面BDD1 B1: 当x=时,四边形MENF的面积最小; 四边形MENF的周长是单调函数; 四棱锥C1 - MENF的体积V=g(x)为常函数其中正确结论的序号是 (将正确结论的序号都填上)。【知识点】命题的真假判断与
9、应用;棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定A2【答案】【解析】 解析:连结BD,BD,则由正方体的性质可知,EF平面BDDB,所以平面MENF平面BDDB,所以正确连结MN,因为EF平面BDDB,所以EFMN,四边形MENF的对角线EF是固定的,所以要使面积最小,则只需MN的长度最小即可,此时当M为棱的中点时,即x=时,此时MN长度最小,对应四边形MENF的面积最小所以正确因为EFMN,所以四边形MENF是菱形当x0,时,EM的长度由大变小当x,1时,EM的长度由小变大所以函数L=f(x)不单调所以错误连结CE,CM,CN,则四棱锥则分割为两个小三棱锥,它们以CEF为底,以M,N分别为
10、顶点的两个小棱锥因为三角形CEF的面积是个常数M,N到平面CEF的距离是个常数,所以四棱锥CMENF的体积V=h(x)为常函数,所以正确故答案为:【思路点拨】利用面面垂直的判定定理去证明EF平面BDDB四边形MENF的对角线EF是固定的,所以要使面积最小,则只需MN的长度最小即可判断周长的变化情况求出四棱锥的体积,进行判断【题文】三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17-(本小题满分12分) 已知数列an中,a 1=1,前n项和(I)求数列an的通项公式;()设,求证:【知识点】数列的求和D4【答案】【解析】(I) an=3n2; ()见解析解析:()解:Sn=n2n当n2时,
11、an=SnSn1=n2n=3n2,当=1时,也成立an=3n2()证明:=23n2,=8,数列bn是以2为首项,以8为公比的等比数列,b1+b2+bn=【思路点拨】(I)利用递推式即可得出;(II)利用等比数列的定义及其前n项和公式即可得出【题文】18(本小题满分12分)在直三棱柱ABCA1B1C1中,D、E、F分别是BB1、AA1、AC的中点,()求证:CD平面BEF()求证:平面BEF平面A1C1D【知识点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定G4 G5【答案】【解析】()见解析;()见解析 解析:()连接A1C,D、E、F分别是BB1、AA1、AC的中点A1DBF,A1CEF,在平
12、面A1CD中A1DA1C=A1,在平面BEF中BFEF=F,平面A1CD平面BEF,而CD平面A1CD,CD平面BEF ()依题意有ACBCA1C1平面BCC1B1,A1C1CD,CDC1DCD平面A1C1D,而CD平面A1CD,平面A1CD平面A1C1D由()知平面A1CD平面BEF,平面BEF平面A1C1D 【思路点拨】()连接A1C,可证平面A1CD平面BEF,由面面平行的性质可证CD平面BEF()依题意可证CD平面A1C1D,由面面垂直的判定定理可得平面A1CD平面A1C1D,结合()知平面A1CD平面BEF,即可得证【题文】19(本小题满分12分) 据统计某校学生在上学路上所需时间最
13、多不超过120分钟该校随机抽取部分新入校的新生其在上学路上所需时间(单位:分钟)进行调查,并将所得数据绘制成频率分布直方图(I)求频率分布直方图中a的值()为减轻学生负担,学校规定在上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在校内住宿请根据抽样数据估计该校600名新生中有多少学生可申请在校内住宿【知识点】频率分布直方图I2【答案】【解析】()0.0125; ()78 解析:()由频率直方图可得(0.0030+0.0021+0.0014+0.0060+a+0.025)20=1a=0.0125;(5分)() 新生上学所需时间不少于1小时的频率为:(0.0030+0.0021+0.0014)20=0.
14、13,(9分)所以,该校600名新生中可申请在校内住宿的人数估计为6000.13=78(12分)【思路点拨】()利用频率直方图概率的和为1,求解a即可()就是新生上学所需时间不少于1小时的频率,然后求解校600名新生中可申请在校内住宿的人数【题文】20(本小题满分12分) 已知点P为y轴上的动点,点M为x轴上的动点,点F(1,0)为定点,且满足(I)求动点N的轨迹E的方程;(II)过点F且斜率为k的直线,与曲线E交于两点A,B,试判断在x轴上是否存在点C,使得成立,请说明理由,【知识点】直线与圆锥曲线的关系;抛物线的标准方程H7 H8【答案】【解析】()y2=4x; ()见解析 解析:()设N
15、(x,y),则由,得P为MN的中点,M(x,0),即y2=4x动点N的轨迹E的方程y2=4x()设直线l的方程为y=k(x1),由,消去x得设A(x1,y1),B(x2,y2),则 ,y1y2=4假设存在点C(m,0)满足条件,则,=,关于m的方程有解假设成立,即在x轴上存在点C,使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立【思路点拨】()设出N点的坐标,由已知条件可知P为MN的中点,由题意设出P和M的坐标,求出和的坐标,代入可求动点N的轨迹E的方程;()设出直线l的方程,和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程,由根与系数关系写出A,B两点的纵坐标的和与积,假设存在点C(m,0)满足条件,则
16、,由|CA|2+|CB|2=|AB|2成立得到,代入坐标后得到关于m的一元二次方程,分析知方程有解,从而得到答案【题文】21 (本小题满分12分) 已知函数f(x)=2lnx+(I)当函数f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线y4x+1=0垂直时,求实数m的值;()若x1时,f(x)1恒成立,求实数m的取值范围【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用B11 B12【答案】【解析】()9; () 2,+) 解析:()f(x)=,函数f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率k=f(1)=2,函数f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线y4x+1=0垂直,2=,m
17、=9; ()依题意不等式2lnx+1在x1时恒成立,即mx+12(x+1)lnx在x1时恒成立令g(x)=x+12(x+1)lnx(x1),则g(x)=12lnx+=,x1时,g(x)0,函数g(x)在1,+)时为减函数,g(x)g(1)=2,m2即实数m的取值范围是2,+)【思路点拨】()求出导数,求得切线的斜率,由两直线垂直的条件:斜率之积为1,即可得到所求m的值;()不等式2lnx+1在x1时恒成立,即mx+12(x+1)lnx在x1时恒成立令g(x)=x+12(x+1)lnx(x1),求出导数,求得单调区间,即可得到最大值,令m不小于最大值即可【题文】 请从下面所给的22、23、24三
18、题中选定一题作答,如果多答按所答第一题评分。【题文】22(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图,在正ABC中,点DE分别在边BC, AC上,且BD =BC,CE=CA,AD,BE相交于点P求证: (I)四点P、D、C、E共圆;(II)APCP【知识点】圆內接多边形的性质与判定N1【答案】【解析】(I)见解析;()见解析 解析:(I)在ABC中,由BD=,CE=,知:ABDBCE,(2分)ADB=BEC,即ADC+BEC=所以四点P,D,C,E共圆(5分)(II)如图,连结DE在CDE中,CD=2CE,ACD=60,由正弦定理知CED=90(8分)由四点P,D,C,E共圆知,DPC=
19、DEC,所以APCP(10分)【思路点拨】(I)由已知条件推导出ABDBCE,由此能证明四点P,D,C,E共圆(II)连结DE,由正弦定理知CED=90,由四点P,D,C,E共圆知,DPC=DEC,由此能证明APCP【题文】23(本小题满分10分)选修4-4:极坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系xoy中,曲线Cl方程为为参数,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系C2的极坐标方程为(I)求曲线Cl的普通方程和C2的直角坐标系方程;(II)设P为曲线Cl上的任意一点,M为C2上的任意一点,求|PM|的取值范围【知识点】简单曲线的极坐标方程;两点间的距离公式N3【答案】【解析】(I)x2+
20、(y1)2=1,xy+5=0;() 解析:(I)由(为参数)转化成直角坐标方程得:x2+(y1)2=1 (2分)由(cossin)+5=0转化成直角坐标方程为:xy+5=0(5分)(II)由(I)知c1为以(0,1)为圆心,1为半径的圆,c1的圆心(0,1)到c2的距离d=c1和c2没有公共点,|PM|的取值范围是(10分)【思路点拨】()首先把圆的参数方程转化成直角坐标方程,再把极坐标方程转化成直角坐标方程()利用点到直线的距离与半径的比较来判断曲线间的位置关系,最后求出最值【题文】24(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数(I)当a=4时,求不等式5的解集;(II)若)4对aR恒
21、成立,求实数a的取值范围【知识点】带绝对值的函数;绝对值不等式N4【答案】【解析】(I)x|x0,或 x5 ;()a3,或a5 解析:()当a=4时,不等式f(x)5,即|x1|+|x4|5,等价于,或 ,或 解得:x0或 x5故不等式f(x)5的解集为 x|x0,或 x5 (5分)()因为f(x)=|x1|+|xa|(x1)(xa)|=|a1|(当x=1时等号成立)所以:f(x)min=|a1|(8分)由题意得:|a1|4,解得 a3,或a5 (10分)【思路点拨】()不等式即|x1|+|x4|5,等价于,或 ,或 ,分别求出每个不等式组的解集,再取并集即得所求()因为f(x)=|x1|+|xa|a1|,由题意可得|a1|4,即可解得 a的值