1、甘肃省兰州市2015届高三实战考试数学（文）试题【试卷综述】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能.【题文】第I卷【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。【题文】1已知全集U=1，2，3，4，5，6，7），A=1，3，5，6，则A.1,3,5,6) B.2,
2、3,7 C.2,4,7 D.2,5，7【知识点】补集的运算A1【答案】【解析】C 解析：因为全集U=1，2，3，4，5，6，7），A=1，3，5，6，则2,4,7，故选C.【思路点拨】直接使用补集的定义即可。【题文】2iz=1一i（i为虚数单位），则|z|= A2 BC1 D【知识点】复数代数形式的乘除运算L4【答案】【解析】B 解析：由iz=1+i，得，故选B.【思路点拨】由iz=1-i，两边除以i，按照复数除法运算法则化简计算【题文】3已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则C=ABCD【知识点】余弦定理C8【答案】【解析】D 解析：因为在ABC中，有，结合已知条件，两式相
3、减可得，则，故选D.【思路点拨】直接利用余弦定理与已知条件联立可解得。【题文】4已知命题；命题则下面结论正确的是 Apq是真命题 Bpq是假命题 Cq是真命题 Dp是假命题【知识点】复合命题的真假A2【答案】【解析】A 解析：对于p：取=，则cos（）=cos，因此正确；对于命题，正确由上可得：pq是真命题故选：A【思路点拨】p：取=，则cos（）=cos，即可判断出真假；命题q：利用实数的性质可得q的真假再利用复合命题真假的判定方法即可得出【题文】5已知实数x，y满足axay（0a0)个单位长度后,所得图象关于y轴对称,则m的最小值是ABCD【知识点】函数y=Asin（x+）的图象变换C4【
4、答案】【解析】A 解析：将函数f（x）=cosxsinx=2cos（x+）的图象向左平移m（m0）个单位长度后，所得图象对应的函数的解析式为y=2cos（x+m+）再根据所得图象关于y轴对称，可得m+=k，即m=k，kz，则m的最小值是，故选：A【思路点拨】由条件利用三角恒等变换、y=Asin（x+）的图象变换规律，可得y=2cos（x+m+）图象关于y轴对称，可得m+=k，kz，由此求得m的最小值【题文】11已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1，F2，M椭圆C上的一点，且满足,则椭圆C的离心率e=ABCD【知识点】椭圆的简单性质H5【答案】【解析】D 解析：延长MO与椭圆交于N，MN与F1F2
5、互相平分，四边形MF1NF2是平行四边形，平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，MN2+F1F22=MF12+MF22+NF12+NF22，MF1+MF2=2MF2+MF2=3MF2=2a，NF1=MF2=a，NF2=MF1=a，F1F2=2c，（a）2+（2c）2=（a）2+（a）2+（a）2+（a）2，=，e=故选：C【思路点拨】延长MO与椭圆交于N，由已知条件能推导出四边形MF1NF2是平行四边形，再由平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，结合椭圆的性质求出椭圆的离心率.【题文】12已知函数，且，则当时,的取值范围是ABCD【知识点】函数的单调性、奇偶性；简单的线性规划B4
6、E5【答案】【解析】D 解析：因为，且，所以函数为奇函数，且在R上是增函数，所以由得，即，即，其表示圆及其内部，表示满足的点P与定点A(-1,0)连线的斜率，结合图形分析可得，直线AC的斜率最小，切线AB的斜率最大。【思路点拨】先由，且判断出函数的奇偶性以及单调性，再结合表示的几何意义求出范围即可。【题文】第II卷【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。【题文】13已知向，则x= 。【知识点】平行向量与共线向量F2【答案】【解析】 解析：因为，所以，解得，故答案为。【思路点拨】用两向量共线坐标形式的充要条件公式即可【题文】14甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的
7、运动服种选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为 。【知识点】古典概型及其概率计算公式K2【答案】【解析】 解析：由题意可得所有的选法共有33=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，他们选择相同颜色运动服的概率为P=，故答案为：【思路点拨】由分步计数原理可得总的方法种数为9，而选择相同颜色运动服的方法共3种，由概率公式可得【题文】15已知实数x，y，满足约束条件，若z的最大值为12，则k= 。【知识点】简单线性规划E5【答案】【解析】6 解析：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=x+y得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+z
8、的截距最大，此时z最大此时z=x+y=12由，解得，即A（6，6），同时A也在y=k上，k=6故答案为：6【思路点拨】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求K的值【题文】16已知正方体ABCD A1B1C 1D1的棱长为1，E、F分别为棱几AA1与CC1的中点，过直线EF的平面分别与BB1、DD1相交于点M、N设BM =x，x01有以下命题： 平面MENF平面BDD1 B1： 当x=时，四边形MENF的面积最小； 四边形MENF的周长是单调函数； 四棱锥C1 - MENF的体积V=g(x)为常函数其中正确结论的序号是 （将正确结论的序号都填上）。【知识点】命题的真假判断与
9、应用；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定A2【答案】【解析】 解析：连结BD，BD，则由正方体的性质可知，EF平面BDDB，所以平面MENF平面BDDB，所以正确连结MN，因为EF平面BDDB，所以EFMN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小所以正确因为EFMN，所以四边形MENF是菱形当x0，时，EM的长度由大变小当x，1时，EM的长度由小变大所以函数L=f（x）不单调所以错误连结CE，CM，CN，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以CEF为底，以M，N分别为
10、顶点的两个小棱锥因为三角形CEF的面积是个常数M，N到平面CEF的距离是个常数，所以四棱锥CMENF的体积V=h（x）为常函数，所以正确故答案为：【思路点拨】利用面面垂直的判定定理去证明EF平面BDDB四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可判断周长的变化情况求出四棱锥的体积，进行判断【题文】三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17-（本小题满分12分） 已知数列an中，a 1=1，前n项和(I)求数列an的通项公式；()设，求证：【知识点】数列的求和D4【答案】【解析】(I) an=3n2; ()见解析解析：（）解：Sn=n2n当n2时，
11、an=SnSn1=n2n=3n2，当=1时，也成立an=3n2（）证明：=23n2，=8，数列bn是以2为首项，以8为公比的等比数列，b1+b2+bn=【思路点拨】（I）利用递推式即可得出；（II）利用等比数列的定义及其前n项和公式即可得出【题文】18（本小题满分12分）在直三棱柱ABCA1B1C1中，D、E、F分别是BB1、AA1、AC的中点，（）求证：CD平面BEF（）求证:平面BEF平面A1C1D【知识点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定G4 G5【答案】【解析】（）见解析；（）见解析 解析：（）连接A1C，D、E、F分别是BB1、AA1、AC的中点A1DBF，A1CEF，在平
12、面A1CD中A1DA1C=A1，在平面BEF中BFEF=F，平面A1CD平面BEF，而CD平面A1CD，CD平面BEF （）依题意有ACBCA1C1平面BCC1B1，A1C1CD，CDC1DCD平面A1C1D，而CD平面A1CD，平面A1CD平面A1C1D由（）知平面A1CD平面BEF，平面BEF平面A1C1D 【思路点拨】（）连接A1C，可证平面A1CD平面BEF，由面面平行的性质可证CD平面BEF（）依题意可证CD平面A1C1D，由面面垂直的判定定理可得平面A1CD平面A1C1D，结合（）知平面A1CD平面BEF，即可得证【题文】19（本小题满分12分） 据统计某校学生在上学路上所需时间最
13、多不超过120分钟该校随机抽取部分新入校的新生其在上学路上所需时间（单位：分钟）进行调查，并将所得数据绘制成频率分布直方图（I）求频率分布直方图中a的值（）为减轻学生负担，学校规定在上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在校内住宿请根据抽样数据估计该校600名新生中有多少学生可申请在校内住宿【知识点】频率分布直方图I2【答案】【解析】（）0.0125； （）78 解析：（）由频率直方图可得（0.0030+0.0021+0.0014+0.0060+a+0.025）20=1a=0.0125；（5分）（） 新生上学所需时间不少于1小时的频率为：（0.0030+0.0021+0.0014）20=0.
14、13，（9分）所以，该校600名新生中可申请在校内住宿的人数估计为6000.13=78（12分）【思路点拨】（）利用频率直方图概率的和为1，求解a即可（）就是新生上学所需时间不少于1小时的频率，然后求解校600名新生中可申请在校内住宿的人数【题文】20（本小题满分12分） 已知点P为y轴上的动点，点M为x轴上的动点，点F（1，0）为定点，且满足（I）求动点N的轨迹E的方程；（II）过点F且斜率为k的直线，与曲线E交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点C，使得成立，请说明理由，【知识点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程H7 H8【答案】【解析】（）y2=4x； （）见解析 解析：（）设N
15、（x，y），则由，得P为MN的中点，M（x，0），即y2=4x动点N的轨迹E的方程y2=4x（）设直线l的方程为y=k（x1），由，消去x得设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ，y1y2=4假设存在点C（m，0）满足条件，则，=，关于m的方程有解假设成立，即在x轴上存在点C，使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立【思路点拨】（）设出N点的坐标，由已知条件可知P为MN的中点，由题意设出P和M的坐标，求出和的坐标，代入可求动点N的轨迹E的方程；（）设出直线l的方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系写出A，B两点的纵坐标的和与积，假设存在点C（m，0）满足条件，则
16、，由|CA|2+|CB|2=|AB|2成立得到，代入坐标后得到关于m的一元二次方程，分析知方程有解，从而得到答案【题文】21 （本小题满分12分） 已知函数f（x）=2lnx+（I）当函数f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线y4x+1=0垂直时，求实数m的值；（）若x1时，f（x）1恒成立，求实数m的取值范围【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用B11 B12【答案】【解析】（）9； （） 2，+） 解析：（）f（x）=，函数f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率k=f（1）=2，函数f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线y4x+1=0垂直，2=，m
17、=9； （）依题意不等式2lnx+1在x1时恒成立，即mx+12（x+1）lnx在x1时恒成立令g（x）=x+12（x+1）lnx（x1），则g（x）=12lnx+=，x1时，g（x）0，函数g（x）在1，+）时为减函数，g（x）g（1）=2，m2即实数m的取值范围是2，+）【思路点拨】（）求出导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为1，即可得到所求m的值；（）不等式2lnx+1在x1时恒成立，即mx+12（x+1）lnx在x1时恒成立令g（x）=x+12（x+1）lnx（x1），求出导数，求得单调区间，即可得到最大值，令m不小于最大值即可【题文】 请从下面所给的22、23、24三
18、题中选定一题作答，如果多答按所答第一题评分。【题文】22（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲 如图，在正ABC中，点DE分别在边BC, AC上，且BD =BC,CE=CA，AD，BE相交于点P求证： （I）四点P、D、C、E共圆；（II）APCP【知识点】圆內接多边形的性质与判定N1【答案】【解析】（I）见解析；（）见解析 解析：（I）在ABC中，由BD=，CE=，知：ABDBCE，（2分）ADB=BEC，即ADC+BEC=所以四点P，D，C，E共圆（5分）（II）如图，连结DE在CDE中，CD=2CE，ACD=60，由正弦定理知CED=90（8分）由四点P，D，C，E共圆知，DPC=
19、DEC，所以APCP（10分）【思路点拨】（I）由已知条件推导出ABDBCE，由此能证明四点P，D，C，E共圆（II）连结DE，由正弦定理知CED=90，由四点P，D，C，E共圆知，DPC=DEC，由此能证明APCP【题文】23（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系xoy中，曲线Cl方程为为参数，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系C2的极坐标方程为（I）求曲线Cl的普通方程和C2的直角坐标系方程；（II）设P为曲线Cl上的任意一点，M为C2上的任意一点，求|PM|的取值范围【知识点】简单曲线的极坐标方程；两点间的距离公式N3【答案】【解析】（I）x2+
20、（y1）2=1，xy+5=0；（） 解析：（I）由（为参数）转化成直角坐标方程得：x2+（y1）2=1 （2分）由（cossin）+5=0转化成直角坐标方程为：xy+5=0（5分）（II）由（I）知c1为以（0，1）为圆心，1为半径的圆，c1的圆心（0，1）到c2的距离d=c1和c2没有公共点，|PM|的取值范围是（10分）【思路点拨】（）首先把圆的参数方程转化成直角坐标方程，再把极坐标方程转化成直角坐标方程（）利用点到直线的距离与半径的比较来判断曲线间的位置关系，最后求出最值【题文】24（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数（I）当a=4时，求不等式5的解集；（II）若）4对aR恒
21、成立，求实数a的取值范围【知识点】带绝对值的函数；绝对值不等式N4【答案】【解析】（I）x|x0，或 x5 ；（）a3，或a5 解析：（）当a=4时，不等式f（x）5，即|x1|+|x4|5，等价于，或 ，或 解得：x0或 x5故不等式f（x）5的解集为 x|x0，或 x5 （5分）（）因为f（x）=|x1|+|xa|（x1）（xa）|=|a1|（当x=1时等号成立）所以：f（x）min=|a1|（8分）由题意得：|a1|4，解得 a3，或a5 （10分）【思路点拨】（）不等式即|x1|+|x4|5，等价于，或 ，或 ，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求（）因为f（x）=|x1|+|xa|a1|，由题意可得|a1|4，即可解得 a的值