1、8.5直线与圆的综合应用典例精析题型一直线和圆的位置关系的应用【例1】已知圆C：(x1)2(y2)225及直线l：(2m1)x(m1)y7m4 (mR).(1)求证：不论m为何值，直线l恒过定点；(2)判断直线l与圆C的位置关系；(3)求直线l被圆截得的弦长最短时的弦长及此时直线的方程.【解析】(1)证明：直线方程可写作xy4m(2xy7)0，由方程组可得所以不论m取何值，直线l恒过定点(3,1).(2)由5，故点(3,1)在圆内，即不论m取何值，直线l总与圆C相交.(3)由平面几何知识可知，当直线与过点M(3,1)的直径垂直时，弦|AB|最短. |AB|224，此时 k，即2，解得m，代入原
2、直线方程，得l的方程为2xy50.【点拨】解决弦长问题时，可利用弦长的几何意义求解.【变式训练1】若函数f(x)eax的图象在x0处的切线l与圆C：x2y21相离，则P(a，b)与圆C的位置关系是()A.在圆外B.在圆内C.在圆上D.不能确定【解析】选B.f(x)eaxf(x)eaxf(0).又f(0)，所以切线l的方程为y(x0)，即axby10，由l与圆C：x2y21相离得11，即点P(a，b)在圆内，故选B. 题型二和圆有关的对称问题【例2】设O为坐标原点，曲线x2y22x6y10上有两点P、Q关于直线xmy40对称，又满足0.(1)求m的值；(2)求直线PQ的方程.【解析】(1)曲线方
3、程可化为(x1)2(y3)29，是圆心为(1,3)，半径为3的圆.因为点P，Q在圆上且关于直线xmy40对称，所以圆心(1,3)在直线xmy40上，代入得m1.(2)因为直线PQ与直线yx4垂直，所以设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线PQ的方程为yxb.将直线yxb代入圆的方程，得2x22(4b)xb26b10，4(4b)242(b26b1)0，解得23b23.x1x2b4，x1x2，y1y2(x1b)(x2b)b2b(x1x2)x1x2，因为0，所以x1x2y1y20，即0，得b1.故所求的直线方程为yx1.【点拨】平面向量与圆的交汇是平面解析几何的一个热点内容，解题时，一方面要
4、能够正确地分析用向量表达式给出的题目的条件，将它们转化为图形中相应的位置关系，另一方面还要善于运用向量的运算解决问题.【变式训练2】若曲线x2y2x6y30上两点P、Q满足关于直线kxy40对称；OPOQ，则直线PQ的方程为.【解析】由知直线kxy40过圆心(，3)，所以k2，故kPQ.设直线PQ的方程为yxt，与圆的方程联立消去y，得x2(4t)xt26t30.(*)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由于OPOQ，所以x1x2y1y20，即x1x2(x1t)(x2t)0，所以(x1x2)(t)x1x2t20.由(*)知，x1x2，x1x2，代入上式，解得t或t.此时方程(*)的判别式0.
5、 从而直线的方程为yx或yx，即x2y30或2x4y50为所求直线方程.题型三与圆有关的最值问题【例3】求与直线xy20和曲线x2y212x12y540都相切的半径最小的圆的标准方程.【解析】曲线x2y212x12y540可化为(x6)2(y6)218，它表示圆心为(6,6)，半径为3的圆.作出直线xy20与圆(x6)2(y6)218，由图形可知，当所求圆的圆心在直线yx上时，半径最小.设其半径为r，点(6,6)到直线xy2的距离为5，所以2r35，即r，点(0,0)到直线xy2的距离为，所求圆的圆心为(2cos 45，2sin 45)，即(2,2)，故所求圆的标准方程为(x2)2(y2)22
6、.【点拨】解决与圆有关的最值问题时，要借助图形的几何性质，利用数形结合求解【变式训练3】由直线yx1上的点向圆C：(x3)2(y2)21引切线，则切线长的最小值为()A.B.3C.D.2【解析】选A.设M为直线yx1上任意一点，过点M的切线长为l，则l，当|MC|2最小时，l最小，此时MC与直线yx1垂直，即|MC|()218，故l的最小值为.总结提高1.解决直线与圆的综合问题时，一方面，我们要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，我们要勤动手，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决，即注意圆的几何性质的运用.2.解决直线与圆的综合问题时，经常要用到距离，因此两点间的距离公式、点到直线的距离公式要熟练掌握，灵活运用.3.综合运用直线的有关知识解决诸如中心对称、轴对称等一些常见的问题.
