1、第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例1仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图)2方位角从正北方向顺时针转到目标方向线的角(如图，B点的方位角为)3方向角相对于某一正方向的角(如图)(1)北偏东：指从正北方向顺时针旋转到达目标方向(2)东北方向：指北偏东45.(3)其他方向角类似1辨明两个易误点(1)易混淆方位角与方向角概念：方位角是指正北方向与目标方向线(按顺时针)之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角(2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量2解三角形应用题的一般步骤1在某次
2、测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60，C点的俯角为70，则BAC等于()A10B50C120D130答案：D2若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的()A北偏东15 B北偏西15C北偏东10 D北偏西10解析：选B.如图所示，ACB90，又ACBC，所以CBA45，而30，所以90453015.所以点A在点B的北偏西15.3如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105，则A，B两点间的距离为_解析：由正弦定理得AB50(m)答案：50 m考点一测量距离学生用书P72如图，隔河
3、看两目标A与B，但不能到达，在岸边先选取相距千米的C，D两点，同时，测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离解在ACD中，ACD120，CADADC30，所以ACCD km.在BCD中，BCD45，BDC75，CBD60.所以BC.在ABC中，由余弦定理，得AB2()22cos 75325，所以AB(km)，所以A，B之间的距离为 km.距离问题的类型及解法(1)测量距离问题分为三种类型：两点间不可达又不可视、两点间可视但不可达、两点都不可达(2)选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、
4、余弦定理求解. 1如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法为：先选定适当的位置C，用经纬仪测出角，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离，即AB.若测得CA400 m，CB600 m，ACB60，试计算AB的长解：由题可得，在ABC中，AB2AC2BC22ACBCcos ACB，所以AB2400260022400600cos 60280 000.所以AB200 m.即A，B两点间的距离为200 m.考点二测量高度学生用书P73(2015高考湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B
5、处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.解析由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m.在RtBCD中，CDBCtan 30300100(m)答案100求解高度问题的注意事项(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用. 2.(2016吉安模拟)要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰
6、角是45，在D点测得塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，则电视塔的高度为_m.解析：如图，设电视塔AB高为x m，则在RtABC中，由ACB45得BCx.在RtABD中，ADB30，则BDx.在BDC中，由余弦定理得，BD2BC2CD22BCCDcos 120，即(x)2x24022x40cos 120，解得x40，所以电视塔高为40 m.答案：40考点三测量角度学生用书P73在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n
7、 mile的速度，沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值解如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC14x，BC10x，ABC120.根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120，解得x2.故AC28，BC20.根据正弦定理得，解得sin .所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角的正弦值为.解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联
8、袂”使用. 3.如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，求cos 的值解：如题图所示，在ABC中，AB40，AC20，BAC120.由余弦定理知，BC2AB2AC22ABACcos 1202 800BC20.由正弦定理得，sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB为锐角，则cosACB.由ACB30，得cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.,学生用书P74)规范解答正、余弦定理的应用(本题满
9、分12分)(2015高考浙江卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A，b2a2c2.(1)求tan C的值；(2)若ABC的面积为3，求b的值(1)(2)(1)由b2a2c2及正弦定理得sin2Bsin2C，所以cos 2Bsin2C.(3分)又由A，即BC，得cos 2Bsin 2C2sin Ccos C，解得tan C2.(6分)(2)由tan C2，C(0，)，得sin C，cos C.(8分)因为sin Bsin(AC)sin，所以sin B.(9分)由正弦定理得c，(10分)又因为A，bcsin A3，所以bc6，(11分)故b3.(12分)(1)本题是解三角形
10、与三角恒等变换的结合，求解中首先利用正弦定理把边的关系转化为三角函数关系，再利用恒等变换，再次应用正弦定理，求解所求问题(2)计算准确，争取得满分公式运用要准确，这是计算正确的前提算数要准确无误，尤其注意正、负号的选择，计算时要尽量利用学过的公式简化计算过程1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10B北偏西10C南偏东80 D南偏西80解析：选D.由条件及题图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西80.2(2016郑州模拟)已知A、B两地间的距离为10 km，
11、B、C两地间的距离为20 km，现测得ABC120，则A，C两地间的距离为()A10 km B10 kmC10 km D10 km解析：选D.如图所示，由余弦定理可得：AC210040021020cos 120700，所以AC10(km)3(2016唐山第一次模拟)在直角梯形ABCD中，ABCD，ABC90，AB2BC2CD，则cosDAC()A.B.C. D.解析：选B.由已知条件可得图形，如图所示，设CDa，在ACD中，CD2AD2AC22ADACcosDAC，所以a2(a)2(a)22aacosDAC，所以cosDAC.4.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、5
12、0 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A30 B45C60 D75解析：选B.依题意可得AD20(m)，AC30(m)，又CD50(m)，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.5.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()A8 km/h B6 km/hC2 km/h D10 km/h解析：选B.设AB与河岸线所成的角为，客
13、船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin ，从而cos ，所以由余弦定理得12221，解得v6.6(2014高考四川卷)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于()A240(1)m B180(1)mC120(1)m D30(1)m解析：选C.如图，在ACD中，CAD903060，AD60 m，所以CDADtan 6060(m)在ABD中，BAD907515，所以BDADtan 1560(2)(m)所以BCCDBD6060(2)120(1)(m)7一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75，距塔68海里的M处
14、，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为_海里/小时解析：由题意知，在PMN中，PM68海里，MPN7545120，MNP45.由正弦定理，得，解得MN34海里，故这只船航行的速度为海里/小时海里/小时答案：8.某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75方向上，则点B与电视塔的距离是_km.解析：由题意知AB246，在ABS中，BAS30，AB6，ABS18075105，所以ASB45.由正弦定理知，所以BS3.答案：39(2016嘉兴高三模拟)如图所示，
15、位于东海某岛的雷达观测站 A，发现其北偏东45，与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北(045)的C处，且cos .已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为_海里/小时解析：因为cos ，045，所以sin ，cos(45)，在ABC中，BC280010022010340，所以BC2，该货船的船速为4海里/小时答案：410(2014高考课标全国卷)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN_m.
16、解析：根据题图，AC100 m.在MAC中，CMA180756045.由正弦定理得AM100 m.在AMN中，sin 60，所以MN100150(m)答案：15011.某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为ABC、ABD，经测量ADBD7米，BC5米，AC8米，CD.求AB的长度解：在ABC中，由余弦定理得cos C.在ABD中，由余弦定理得cos D.由CD得cos Ccos D，解得AB7，所以AB的长度为7米12(2016贵阳监测考试)如图所示，在四边形ABCD中，D2B，且AD1，CD3，cos B.(1)求A
17、CD的面积；(2)若BC2，求AB的长解：(1)因为D2B，cos B，所以cos Dcos 2B2cos2B1.因为D(0，)，所以sin D.因为AD1，CD3，所以ACD的面积SADCDsin D13.(2)在ACD中，AC2AD2DC22ADDCcos D12，所以AC2.因为BC2，所以，所以AB4.1如图，摄影爱好者在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30，已知摄影爱好者的身高约为米(将眼睛S距地面的距离SA按米处理)(1)求摄影爱好者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB；(2)立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN，且MN绕其中点O在摄影爱好
18、者与立柱所在的平面内旋转在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者观察彩杆MN的视角MSN(设为)是否存在最大值？若存在，请求出MSN取最大值时cos 的值；若不存在，请说明理由解：(1)如图，作SCOB于点C，连接MS，NS，依题意CSB30，ASB60.又SA，故在RtSAB中，可求得AB3米，即摄影爱好者到立柱的水平距离AB为3米在RtSCO中，SC3，CSO30，OCSCtan 30，又BCSA，故OB2米，即立柱的高度OB为2米(2)存在因为cosMOScosNOS，所以，于是得SM2SN226，从而cos .又MSN为锐角，故当视角MSN取最大值时，cos .2.如图，经过村庄A有两条夹角为
19、60的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PMPNMN2(单位：千米)记AMN.(1)将AN，AM用含的关系式表示出来；(2)如何设计(即AN，AM为多长)，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP最大)?解：(1)由已知得MAN60，AMN，MN2，在AMN中，由正弦定理得，所以ANsin ，AMsin(120)sin(60)(2)在AMP中，由余弦定理可得AP2AM2MP22AMMPcosAMPsin2(60)4sin(60)cos(60)1cos(2120)sin(2120)4sin(2120)cos(2120)sin(2150)，(0，120)，当且仅当2150270，即60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时ANAM2.
