1、 不等式恒成立及证明不等式恒成立专项（讲案）【教学目标】本节内容目标层级是否掌握不等式恒成立问题证明不等式恒成立 一、会利用讨论单调性求最值解决不等式恒成立问题【知识点】解决不等式恒成立问题的通法就是确定单调求最值；具体的逻辑是：1.先判断是否可以参变分离，若可以则一般参变分离，转化为可求单调性的函数，利用导函数求解函数单调区间，进而求解最值2.原函数单调性不确定通过讨论一阶导函数不等式解集即讨论一阶导的性质、零点进行求解；3.一阶导的单调性不定可以通过二阶导的性质、零点进行求解；4.一阶导的零点（即函数的极值点）可以通过分离常数、带特殊值设而不求进行讨论和确定；所以在本类问题中主要明确二阶导
2、的性质、零点确定一阶导的性质；一阶导的性质、零点确定原函数的性质；原函数的性质确定极值在确定最值进而证明不等式的恒成立或者求解恒成立问题中的参数范围【例题讲解】例题1已知函数且在点处的切线方程为（1）求的值（2）若时恒成立求实数的取值范围 练习1已知（1）求函数在点处的切线方程；（2）当时若不等式对任意恒成立求实数的取值范围例题2已知函数 ,若函数 恒成立 求实数的取值范围； 练习1已知函数 （为自然对数的底数）（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围例题3已知函数（1）求函数的单调区间；（2）当时证明：对任意的练习1已知函数（1）当时判断的单调性；（2）
3、当时恒有求的取值范围 例题4已知函数.（1）判断的零点个数；（2）若函数当时的图象总在的图象的下方求的取值范围 练习1已知函数（1）若曲线在处的切线斜率为0求的值；（2）若恒成立求的取值范围；（3）求证：当时曲线总在曲线的上方例题5已知函数 练习1已知函数。（1）若求证：；（2）若存在当时恒有求实数的取值范围知识点要点总结：不等式恒成立问题的通法是讨论单调求最值，但是需要注意：1.讨论单调性，实际就是讨论导函数不等式的解集；2.导函数零点无法求解时，可以采用设而不求；3.导函数特别复杂，无法研究时，需要思考与第（1）问的联系，进行一定程度的放缩4.如果实在思路匮乏，可以采取数形结合的方法，转化
4、为两函数图像高低的问题，进而求解或者求证（但是会扣步骤分）二、证明不等式恒成立问题【知识点】导数综合主观题目中偶尔还会涉及数列类的不等式恒成立证明，本类问题的解题思路：一方面可以利用裂项相消的逆运算原理，将不等式两侧看做数列的前项和，另一方面也可以从前面的问题中寻找和通项类似的结构，将通项公式变形为前面结论中的形式，利用函数单调性加以证明【例题讲解】1.构造函数例题1已知函数，若曲线与曲线的一个公共点是，且在点处的切线互相垂直（1）求的值；（2）证明：当时，2.放缩法例题2已知函数，在处的切线方程为.（1）求；（2）若，证明：. 练习1）已知函数.（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围
5、；（2）当时，证明：练习2已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）证明：当时，都有.3.切线法例题3已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）求证：当时，.练习1若均为任意实数，且，则的最小值为 练习2设，其中，则的最小值为 4.二元或多元不等式的证明思路例题4已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求实数的值；（2）设分别是函数的两个零点，求证：.练习1已知函数.（1）当时，方程在区间上有两个不同的实数根，求的取值范围；（2）当时，设是函数两个不同的极值点，证明：.练习2已知函数有两个极值点 (为自然对数的底数).（1）求实数的取值范围；（2）求证：.5.函数凹凸性的应用例题5已知函数有零
6、点，函数有零点，且，则实数的取值范围是 练习1已知函数，曲线在处的切线方程为（1）求证：时，；（2）求证：练习2已知函数.（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；（2）当时，证明：.【课后练习】【巩固练习】1已知函数为定义在实数集上的奇函数，且当时，（其中是的导函数），若，则（ ）A BC D2定义域为的可导函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）A B C D4已知函数（1） 当时，求函数的单调递减区间；（2）若时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若数列满足记的前项和为，求证5已知函数，.（1）若在上恒成立，求实数的取值范围； （2）求证：.6已知函数在点，处的切线
7、方程为（1）求，；（2）设曲线与轴负半轴的交点为点，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的实数，都有；（3）若关于的方程有两个实数根，且，证明：【拔高练习】1已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为ABCD2已知函数，（1）当时求函数的极值；（2）若证明：当时3已知函数，记为的导函数（1）若的极大值为0，求实数的值；（2）若函数，求在，上取到最大值时的值；（3）若关于的不等式在，上有解，求满足条件的正整数的集合 4已知函数（1）若函数在上递减求实数的取值范围；（2）设求证：5已知函数（1）求曲线在处的切线方程；（2）求证：当时6设函数（1）讨论的单调性（2）当时，对于，都有成立（i）求的取值范围（ii）证明：7函数的图象与直线相切（）求的值；（）证明：对于任意正整数，
