1、第五节 垂直关系的判定及其性质 基础梳理1.直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面a内的_都垂直，我们就说直线l与平面a互相垂直这条直线叫做_，这个平面叫做_，交点叫做_垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的_，垂线段的长度叫做_(2)性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的_直线垂直(3)判定定理：如果一条直线与平面内的_垂直，则这条直线与这个平面垂直(4)推论：如果在两条平行直线中，_，那么另一条也垂直于这个平面(5)性质定理：如果两条直线_，那么这两条直线平行2.平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是_，就称这两个平面互相垂直
2、(2)判定定理：如果一个平面过另一个平面的_，则这两个平面互相垂直(3)性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内_的直线垂直于另一个平面 答案：1.(1)任意一条直线 平面的垂线 直线的垂面 垂足 垂线段 点到平面的距离(2)任意一条(3)两条相交直线(4)有一条垂直于一个平面(5)垂直于同一个平面 2.(1)直二面角(2)一条垂线(3)垂直于它们交线 基础达标1.(教材改编题)下列条件中，能判定直线l平面a的是()A.l与平面a内的两条直线垂直 B.l与平面a内无数条直线垂直 C.l与平面a内的某一条直线垂直 D.l与平面a内任意一条直线垂直 2.直线a直线b，a平面b，则b与b的位
3、置关系是()A.bb B.bb C.bb D.bb或bb 3.已知直线a和两个平面a，b，给出下列四个命题：若aa，则a内的任何直线都与a平行；若aa，则a内的任何直线都与a垂直；若ab，则b内的任何直线都与a平行；若ab，则b内的任何直线都与a垂直 则其中()A.、为真 B.、为真 C.、为真 D.、为真 4.(2010浙江)设l，m是两条不同的直线，a是一个平面，则下列命题正确的是 ()A.若lm，ma，则la B.若la，lm，则ma C.若la，ma，则lm D.若la，ma，则lm 5.如图1所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及E
4、F把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图2所示，那么，在四面体AEFH中必有()图1 图2 A.AHEFH所在平面 B.AGEFH所在平面 C.HFAEF所在平面 D.HGEFH所在平面 答案：1.D 解析：由直线与平面垂直的定义，可知D正确 2.D 3.A 4.B 5.A 解析：在图2中，AHEH，AHFH，且EHFH=H，所以AH平面EFH.经典例题题型一 线线垂直【例1】如图，ab=CD，EAa，垂足为A，EBb，垂足为B，求证：CDAB.证明：ab=CD，CDa，CDb.又EAa，CDa，EACD，同理EBCD.EACD，EBCD，EAEB=E，CD平
5、面EAB.AB平面EAB，ABCD.变式1-1 (2011徐州模拟)如图所示，四边形ABCD为矩形，BC平面ABE，F为CE上的点，且BF平面ACE.求证：AEBE.证明：BC平面ABE，AE平面ABE，BCAE，同理AEBF，BFBC=B，AE平面BCE，又BE平面BCE，AEBE.题型二 线面垂直【例2】如图，已知四棱柱PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABDC，ABC=45，DC=1，AB=2，PA平面ABCD，PA=1.(1)求证：BC平面PAC；(2)若M是PC的中点，求三棱锥MACD的体积 变式2-1 (2011潍坊模拟)在四棱锥PABCD中，ABC=ACD=90，BAC=CA
6、D=60，PA平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2.(1)求四棱锥PABCD的体积V；(2)若F为PC的中点，求证：PC平面AEF.题型三 面面垂直【例3】(2011聊城模拟)如图，菱形ABCD所在平面与矩形ACEF所在平面互相垂直，已知BD=2AF，且点M是线段EF的中点(1)求证：AM平面BDE；(2)求证：平面DEF平面BEF.(1)如图，设ACBDO，连接OE，由题意得EM EF ACAO.EMAO，四边形EOAM为平行四边形，EOAM.EO平面BDE，AM平面BDE.AM平面BDE.(2)如图，连接DM，BM，MO.AFAC，ECAC，平面ACEF平面ABCD，AF平面AB
7、CD，EC平面ABCD，AFAD，ECDC，又四边形ABCD为菱形，ADDC，DFDE.又点M是EF的中点，DMEF.BD2AF，DO BDAFMO，DMO45，同理，BMO45，DMBM.又EFBMM，DM平面BEF.121212变式3-1 (2011江苏海安如皋联考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面BC1D平面A1ACC1.证明：因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以ACBD，A1A平面ABCD，而BD平面ABCD，于是BDA1A.因为AC、A1A平面A1ACC1且AC交A1A于点A，所以BD平面A1ACC1.因为BD平面BC1D，所以平面BC1D平面A1ACC
8、1.题型四 直线、平面垂直的探究性问题【例4】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BB1和DD1的中点(1)求证：平面B1FC1平面ADE；(2)试在棱DC上求一点M，使D1M平面ADE.解：(1)ADB1C1，又B1C1平面FB1C1，AD平面FB1C1，同理，AE平面FB1C1，又ADAE=A，AD，AE平面ADE，平面ADE平面FB1C1.(2)M应是DC的中点 B1C1平面DD1C1C，D1M平面DD1C1C，B1C1D1M，由题意知FC1D1M，FC1B1C1=C1，FC1，B1C1平面FB1C1，D1M平面FB1C1，又由(1)知平面ADE平面FB1C1，D1M平面ADE.链接高考(2010山东)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA平面ABCD，PDMA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD=PD=2MA.求证：平面EFG平面PDC；知识准备：知道线面垂直和面面垂直的判定；证明：由已知MA平面ABCD，PDMA，所以PD平面ABCD.又BC平面ABCD，所以PDBC.因为四边形ABCD为正方形，所以BCDC.又PDDCD，因此BC平面PDC.在PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，所以GFBC，因此GF平面PDC.又GF平面EFG，所以平面EFG平面PDC.1383
