1、2020-2021学年度东方明珠学校第二学期高三复习卷四一、单项选择题1.设集合A=x|1-x0,B=x|x2-x-20”的否定为()A.x00,+),x02-2 020cos x00B.x0,+),x2-2 020cos x0C.x00,+),x02-2 020cos x00D.x0,+),x2-2 020cos x0,0,|2的图象与x轴的两个相邻交点,R是函数f(x)的图象的最高点,且RPRQ=3,若函数g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=1对称,则函数g(x)的解析式是()A.g(x)=3sin2x+4 B.g(x)=3sin2x-4C.g(x)=2sin2x+4 D.g(x)=
2、2sin2x-46.函数f(x)=cos xex+1ex-1的部分图象大致为()7.(1-x+2x2)(1+x)4的展开式中含x3的项的系数为()A.-8B.-6C.8 D.68.设函数f(x)=(x2-2x+2)ex-13x3-12x2的极值点的最大值为x0,若x0(n,n+1),则整数n的值为()A.-2B.-1C.0 D.1二、多项选择题9.若“x012,2,使得2x02-x0+10成立”是假命题,则实数的值可能是()A.32B.22C.3D.9210.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,F是棱A1D1上的动点,下列说法正确的是()A.在平面ADD1A1内存在与平面CBF平行的直
3、线B.在平面ABCD内存在与平面CBF垂直的直线C.点F从A1运动到D1的过程中,FC与平面ABCD所成的角逐渐变大D.点F从A1运动到D1的过程中,点D到平面CBF的距离逐渐变小11.已知一圆锥的高PO=2,底面圆的半径为4,M为母线PB的中点,过点M截圆锥,如图所示,若四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线,则下列四个命题中错误的是()圆的面积为4;椭圆的长轴长为37;双曲线的两条渐近线在第一、四象限内的夹角的正切值为-34;抛物线中焦点到准线的距离为455.A.B.C.D.12.已知函数f(x)=ex-ax有两个零点x1,x2,有下列判断:ae;x1+x21;函数f(x)有
4、极小值点x0,且x1+x22x0.其中错误的是()A.B.C.D.三、填空题13.已知随机变量服从正态分布N(2,2),且P(4)=0.8,则(02)=.14.已知O为等腰直角三角形POD的直角顶点,以OP所在直线为旋转轴旋转一周得到一圆锥,CD是该圆锥底面圆O上的弦,COD为等边三角形,则异面直线OC与PD所成角的余弦值为.15.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos B+2bcos A=0,则tanAtanB=,tan C的最大值是.16.已知函数g(x),h(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且g(x)+h(x)=ex+sin x-x,若函数f(x)=3|x-2 0
5、20|-g(x-2 020)-22有唯一零点,则实数的值为.17.已知等差数列an的前n项和为Sn,且a1=17,2a2-a1=11.(1)求数列an的通项公式;(2)当n为何值时,数列an的前n项和最大?18.在给出的三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答.3AB=4BC,sinACB=23;tanBAC+6=3;2BCcosACB=2AC-3AB.如图,在四边形ABCD中,ABAD,DC=2.(1)求DAC的大小;(2)求ADC面积的最大值.19.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB平面BB1C1C,BCC1=3,BC=1,AB=C1C=2,点E是棱C1C的中点.(1)求
6、证:C1B平面ABC;(2)求二面角A-EB1-A1的余弦值;(3)在棱CA上是否存在一点M,使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为21111?若存在,求出CMCA的值;若不存在,请说明理由.20.十一国庆节来临,某社区为了丰富居民的业余生活,特地以“我们都是中国人”为主题举行猜谜语竞赛.谜语分为两类:一类叫事物谜;另一类叫文义谜.现有8道谜语,其中事物谜4道,文义谜4道,孙同学从中任取3道解答.(1)求孙同学至少取到2道文义谜的概率;(2)已知孙同学答对每道事物谜的概率都是23,答对每道文义谜的概率都是12,且每道谜语答对与否相互独立,若孙同学恰好选中2道事物谜,1道文义谜,用X表示孙同学
7、答对的谜语个数,求随机变量X的分布列和数学期望.21.已知函数f(x)=2ln x-(x-1)(1+mx)x.(1)当m=1时,试判断函数f(x)零点的个数;(2)若x1时, f(x)0,求m的取值范围.22.已知直线l1过坐标原点O且与圆x2+y2=4相交于点A,B,圆M过点A,B且与直线y+2=0相切.(1)求圆心M的轨迹C的方程;(2)圆心在x轴正半轴上且面积等于2的圆W与曲线C有且仅有1个公共点.求出圆W的标准方程;已知斜率等于-1的直线l2,交曲线C于E,F两点,交圆W于P,Q两点,求|EF|PQ|的最小值及此时直线l2的方程.2020-2021学年度东方明珠学校第二学期高三复习卷四
8、一、单项选择题1.设集合A=x|1-x0,B=x|x2-x-20,则AB=()A.1,2)B.(-1,1C.(-1,1)D.(-2,1答案BA=x|1-x0=x|x1,B=x|-1x0”的否定为()A.x00,+),x02-2 020cos x00B.x0,+),x2-2 020cos x0C.x00,+),x02-2 020cos x00D.x0,+),x2-2 020cos x0”的否定为“x00,+),x02-2 020cos x00”,故选A.4.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成,设扇形的面积为S1,圆面中剩余部分的面积为S2,
9、当S1与S2的比值为5-12时,扇面看上去形状较为美观,那么此时扇形的圆心角的弧度数为()A.(3-5)B.(5-1)C.(5+1)D.(5-2)答案AS1与S2所对应的扇形圆心角的弧度数比即为它们的面积比,设S1与S2所对应的扇形圆心角的弧度数分别为,则=5-12,又+=2,解得=(3-5).5.如图,已知P,Q是函数f(x)=Asin(x+)A0,0,|2的图象与x轴的两个相邻交点,R是函数f(x)的图象的最高点,且RPRQ=3,若函数g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=1对称,则函数g(x)的解析式是()A.g(x)=3sin2x+4B.g(x)=3sin2x-4C.g(x)=2s
10、in2x+4D.g(x)=2sin2x-4答案C由已知,得R32,A,则RP=(-1,-A),RQ=(1,-A),于是RPRQ=A2-1=3,解得A=2,因为T2=52-12=2,所以T=4,=2T=2,由212+=2k,kZ及|0且ex+1ex-10,f(x)=cos xex+1ex-10,故选B.7.(1-x+2x2)(1+x)4的展开式中含x3的项的系数为()A.-8B.-6C.8D.6答案D(1-x+2x2)(1+x)4的展开式中含x3的项是1C43x3+(-x)C42x2+2x2C41x1=6x3,系数为6,故选D.8.设函数f(x)=(x2-2x+2)ex-13x3-12x2的极值
11、点的最大值为x0,若x0(n,n+1),则整数n的值为()A.-2B.-1C.0D.1答案C由题意得f (x)=exx2-x2-x=x(exx-x-1),令f (x)=0,解得x=0或xex-x-1=0.设g(x)=exx-x-1,则g(x)=ex(x+1)-1,g(x)=ex(x+2),令g(x)=0,解得x=-2,当x-2时,g(x)-2时,g(x)0,所以g(x)在(-,-2)上单调递减,在(-2,+)上单调递增,所以g(x)在x=-2处取得最小值,g(-2)=-e-2-10,当x-时,g(x)-1,且 g(0)=0,所以g(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增.g(0)=
12、-10,g(-2)=-2e2+10,g(-1)=-e-10.所以x1(-2,-1),使得g(x1)=0;x2(0,1),使得g(x2)=0,所以f(x) 在(-,x1)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,在(x2,+)上单调递减,所以x=x2 为极大值点,x=x1 为极小值点.又f(x)的极值点的最大值为x0,且x0(n,n+1),所以x2=x0,整数n=0.故选C.二、多项选择题9.若“x012,2,使得2x02-x0+10成立”是假命题,则实数的值可能是()A.32B.22C.3D.92答案AB“x012,2,使得2x02-x0+12x0+1x0成立”是假命题,则“x12,2,使得2x
13、+1x成立”是真命题,令f(x)=2x+1x,x12,2,易知当x12,2时, f(x)在12,22上单调递减,在22,2上单调递增,当x=22时,函数f(x)取得最小值,即f(x)min=f22=22,f(x)min=22 .故实数的取值范围为(-,22.故选AB.10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,F是棱A1D1上的动点,下列说法正确的是()A.在平面ADD1A1内存在与平面CBF平行的直线B.在平面ABCD内存在与平面CBF垂直的直线C.点F从A1运动到D1的过程中,FC与平面ABCD所成的角逐渐变大D.点F从A1运动到D1的过程中,点D到平面CBF的距离逐渐变小答案AC由
14、题意得,AD在平面ADD1A1内,且与平面CBF平行,故A中说法正确;平面CBF即平面A1D1CB,因为平面A1D1CB与平面ABCD斜相交,所以在平面ABCD内不存在与平面CBF垂直的直线,故B中说法错误;点F到平面ABCD的距离不变,且在F运动过程中FC逐渐变小,则FC与平面ABCD所成的角逐渐变大,故C中说法正确;平面CBF即平面A1D1CB,点D到平面A1D1CB的距离为定值,故D中说法错误.故选AC.11.已知一圆锥的高PO=2,底面圆的半径为4,M为母线PB的中点,过点M截圆锥,如图所示,若四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线,则下列四个命题中错误的是()圆的面积为
15、4;椭圆的长轴长为37;双曲线的两条渐近线在第一、四象限内的夹角的正切值为-34;抛物线中焦点到准线的距离为455.A.B.C.D.答案CD对于,圆锥底面圆的半径为4,且点M是圆锥母线的中点,圆的半径r=2,因此圆的面积S=22=4,故中命题正确; 对于,由题意可得椭圆的长轴长=(4+2)2+12=37,故中命题正确;对于,在与圆锥的底面、平面PAB垂直且过点M的平面内建立直角坐标系,不妨设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),则M(1,0),即a=1,把点(2,23)代入可得4-12b2=1,解得b=2,ba=2,设双曲线的两条渐近线在第一、四象限内的夹角为2,则tan 2
16、=221-22=-43,故中命题不正确;对于,建立直角坐标系,不妨设抛物线的标准方程为y2=2px,把点(5,4)代入可得42=2p5,解得p=855,抛物线中焦点到准线的距离p为855,故中命题不正确.故选CD.12.已知函数f(x)=ex-ax有两个零点x1,x2,有下列判断:ae;x1+x21;函数f(x)有极小值点x0,且x1+x20在xR上恒成立,f(x)在R上单调递增,不符合题意.当a0时, f (x)0,即ex-a0,解得xln a; f (x)0,即ex-a0,解得xln a,f(x)在(-,ln a)上单调递减,在(ln a,+)上单调递增.函数f(x)=ex-ax有两个零点
17、x1,x2,f(ln a)0,elna-aln ae,故中判断不正确.f(0)=10, f(1)=e-a0,0x11ln x01,不能确定x1+x22,即中判断不确定.函数的极小值点为x0=ln a,要证x1+x22x0,只要证x12x0-x2f(2x0-x2).构造函数g(x)=f(x)-f(2x0-x)=ex-e2x0-x-2ax+2ax0(xx0),求导得到g(x)=ex+e2x0-x-2a2e2x0-2a=0,函数g(x)单调递增,g(x0)=0,g(x)0恒成立,f(x)f(2x0-x),即f(x2)f(2x0-x2),f(x2)=f(x1)f(2x0-x2),进而得证x12x0-x
18、2x0,x1+x22x0,故中判断正确.ex1=ax1,ex2=ax2ex1+x2=a2x1x2x1+x2=2ln a+ln x1x2,根据x1+x22x0=2ln a,可得到ln x1x200x1x21.故中判断不正确.故选ABC.三、填空题13.已知随机变量服从正态分布N(2,2),且P(4)=0.8,则(02)=.答案0.3解析P(24)=0.8-0.5=0.3,故P(00的情况,tan C=12tanB+1tanB122=24,当且仅当2tan B=1tanB时,等号成立.16.已知函数g(x),h(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且g(x)+h(x)=ex+sin x-x,若函
19、数f(x)=3|x-2 020|-g(x-2 020)-22有唯一零点,则实数的值为.答案-1或12解析g(x)+h(x)=ex+sin x-x,g(-x)+h(-x)=e-x+sin(-x)+x,又g(x),h(x)分别是R上的偶函数和奇函数,g(x)-h(x)=e-x-sin x+x,+得g(x)=ex+e-x2,由于y=|x-2 020|的图象关于x=2 020对称,则y=3|x-2 020|的图象关于x=2 020对称,g(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,则g(x-2 020)的图象关于x=2 020对称,由于f(x)=3|x-2 020|-g(x-2 020)-22有唯一零点,则必
20、有f(2 020)=0,g(0)=1,即f(2 020)=30-g(0)-22=1-22=0,解得=-1或=12.17.已知等差数列an的前n项和为Sn,且a1=17,2a2-a1=11.(1)求数列an的通项公式;(2)当n为何值时,数列an的前n项和最大?解析(1)设等差数列an的公差为d.a1=17且2a2-a1=11,2(17+d)-17=11,解得d=-3,an=17-3(n-1)=20-3n(nN*).(2)Sn=17n+n(n-1)2(-3)=-32n2+372n=-32n-3762+323762.nN*,当n=6时,数列an的前n项和最大.18.在给出的三个条件中任选一个,补充
21、在下面的问题中,并加以解答.3AB=4BC,sinACB=23;tanBAC+6=3;2BCcosACB=2AC-3AB.如图,在四边形ABCD中,ABAD,DC=2.(1)求DAC的大小;(2)求ADC面积的最大值.解析(1)方案一:选择.在ABC中,由ABsinACB=BsinBAC和3AB=4BC,sinACB=23,可得sinBAC=12,BAC=6.又ABAD,BAD=2,DAC=3.方案二:选择.由tanBAC+6=3可得BAC=6,又ABAD,BAD=2,DAC=3.方案三:选择.由2BCcosACB=2AC-3AB得,2sinBACcosACB=2sinABC-3sinACB,
22、2sinBACcosACB=2sin(ACB+BAC)-3sinACB,2sinBACcosACB=2sinACBcosBAC+2cosACBsinBAC-3sinACB,即2sinACBcosBAC=3sinACB,sinACB0,cosBAC=32,BAC(0,),BAC=6,又ABAD,BAD=2,DAC=3.(2)在ACD中,DC=2,DC2=4=AC2+AD2-2ACADcos3ACAD,即ACAD4,SADC=12ACADsinDAC12432=3,当且仅当AC=AD时取“=”.ADC面积的最大值为3.19.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB平面BB1C1C,BCC1=3,
23、BC=1,AB=C1C=2,点E是棱C1C的中点.(1)求证:C1B平面ABC;(2)求二面角A-EB1-A1的余弦值;(3)在棱CA上是否存在一点M,使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为21111?若存在,求出CMCA的值;若不存在,请说明理由.解析(1)证明:BC=1,CC1=2,BCC1=3,BC1=BC2+CC12-2BCCC1cosBCC1=3,则BC2+BC12=CC12,BC1BC,AB平面BB1C1C,BC1平面BB1C1C,ABBC1.又ABBC=B,AB,BC平面ABC,C1B平面ABC.(2)以B为原点,分别以BC,BC1和BA的方向为x轴,y轴和z轴的正方向,建立如
24、图所示的空间直角坐标系.则A(0,0,2),B1(-1,3,0),E12,32,0,A1(-1,3,2),AB1=(-1,3,-2),AE=12,32,-2,A1B1=(0,0,-2),A1E=32,-32,-2,设平面AB1E的法向量为n=(x1,y1,z1),则nAB1=0,nAE=0,即-x1+3y1-2z1=0,12x1+32y1-2z1=0,令y1=3,则x1=1,z1=1,n=(1,3,1).设平面A1B1E的法向量为m=(x,y,z),则mA1B1=0,mA1E=0,即-2z=0,32x-32y-2z=0,令y=3,则x=1,z=0,m=(1,3,0).设二面角A-EB1-A1的
25、平面角为,则二面角A-EB1-A1的余弦值cos =cos=mn|m|n|=425=255.(3)棱CA上存在点M使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为21111.理由如下:设M(a,b,c),CM=CA,0,1,易知C(1,0,0),则(a-1,b,c)=(-1,0,2),M(1-,0,2),EM=12-,-32,2.由(2)知平面A1B1E的一个法向量为m=(1,3,0),21111=12-32212-2+34+42,化简得692-38+5=0,即(3-1)(23-5)=0,解得=13或=523,CMCA=13或CMCA=523.20.十一国庆节来临,某社区为了丰富居民的业余生活,特地以
26、“我们都是中国人”为主题举行猜谜语竞赛.谜语分为两类:一类叫事物谜;另一类叫文义谜.现有8道谜语,其中事物谜4道,文义谜4道,孙同学从中任取3道解答.(1)求孙同学至少取到2道文义谜的概率;(2)已知孙同学答对每道事物谜的概率都是23,答对每道文义谜的概率都是12,且每道谜语答对与否相互独立,若孙同学恰好选中2道事物谜,1道文义谜,用X表示孙同学答对的谜语个数,求随机变量X的分布列和数学期望.解析(1)设“孙同学至少取到2道文义谜”为事件A.孙同学取2道文义谜共有C42C41种取法,孙同学取3道文义谜共有C43种取法,故P(A)=C42C41+C43C83=12.(2)易知X的所有可能取值为0
27、,1,2,3,则P(X=0)=C201322301-12=118,P(X=1)=C2113231-12+C2013223012=518,P(X=2)=C221302321-12+C21132312=49,P(X=3)=C2213023212=29.故随机变量X的分布列为X0123P1185184929故随机变量X的数学期望E(X)=0118+1518+249+329=116.21.已知函数f(x)=2ln x-(x-1)(1+mx)x.(1)当m=1时,试判断函数f(x)零点的个数;(2)若x1时, f(x)0,求m的取值范围.解析(1)当m=1时, f(x)=2ln x-(x-1)(1+x)
28、x, 则f (x)=-(x-1)2x20.由题意得, f(x)在(0,+)上单调递减,又f(1)=0,f(x)有且只有一个零点.(2)由题意得,f(1)=0, f (x)=-mx2+2x-1x2.当m0时,在1,+)上f (x)0恒成立,f(x)在1,+)上单调递增,f(x)f(1)=0,不符合题意.当m0时,设g(x)=-mx2+2x-1,当=4-4m0,即m1时,g(x)=-mx2+2x-10恒成立,在1,+)上f (x)0恒成立,f(x)在1,+)上单调递减,f(x)f(1)=0,符合题意;当=4-4m0,即0m0,x110,当x(x2,+)时,f (x)f(1)=0,不符合题意.综上,
29、m的取值范围为1,+).22.已知直线l1过坐标原点O且与圆x2+y2=4相交于点A,B,圆M过点A,B且与直线y+2=0相切.(1)求圆心M的轨迹C的方程;(2)圆心在x轴正半轴上且面积等于2的圆W与曲线C有且仅有1个公共点.求出圆W的标准方程;已知斜率等于-1的直线l2,交曲线C于E,F两点,交圆W于P,Q两点,求|EF|PQ|的最小值及此时直线l2的方程.解析(1)由题意知圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,直线l1过坐标原点O,所以坐标原点O为AB的中点,|AO|=2,MOAO,所以|MO|2+|OA|2=|MA|2,设M(x,y),因为圆M与直线y+2=0相切,所以圆M的半
30、径r=|y+2|=|MA|,所以x2+y2+4=(y+2)2,化简得x2=4y,即圆心M的轨迹C的方程为x2=4y.(2)由(1)知曲线C为y=x24,设f(x)=x24,则f (x)=x2,设圆W与曲线C的公共点为Tt,t24(t0),则曲线C在T点的切线l的斜率k=f (t)=t2,由题意知,直线l与圆W相切于T点,设圆W的标准方程为(x-a)2+y2=2(a0),则圆W的圆心为(a,0),则直线WT的斜率kWT=t24t-a=t24(t-a),因为lWT,所以t2t24(t-a)=-1,即t3+8(t-a)=0,又因为(t-a)2+t242=2,所以-t382+t242=2,所以t6+4
31、t4-128=0.令t2=,则3+42-128=0,所以(3-42)+(82-128)=0,即(-4)(2+8+32)=0,所以=4,所以t=2,所以a=3,所以圆W的标准方程为(x-3)2+y2=2.设E(x1,y1),F(x2,y2),直线l2:y=-x+m,由y=-x+m,x2=4y,得x2+4x-4m=0,则x1+x2=-4,x1x2=-4m,所以|EF|=2(x1+x2)2-4x1x2=42(1+m).因为圆W的圆心(3,0)到直线PQ的距离为|m-3|2,所以|PQ|=22-|m-3|22=-2m2+12m-10,所以|EF|PQ|=42(1+m)-2m2+12m-10=41+m-m2+6m-5,由于l2与曲线C、圆W均有两个不同的交点,所以=16+16m0,|m-3|22,解得1m5,令1+m=u,则u(2,6),|EF|PQ|=4u-(u-1)2+6(u-1)-5=41-u+12u+841-2u12u+8=2+6,当且仅当u=12u,即u=23时取等号,此时m=23-1,|EF|PQ|的最小值为2+6,直线l2的方程为y=-x+23-1.
