1、 教学设计 利用二分法求方程的近似解 教学内容分析 本节选自普通高中课程标准实验教科书数学1北师大版第三章第一节第二课，主要是分析函数与方程的关系教材分三步来进行：第一步，从学生认为较简单的利用函数y=f(x)的图像,判定在区间-1,5有零点,再次利用二分法求出方程f(x)=0的近似解.由具体到一般，建立方程的根与相应函数的零点的联系然后推广为一般方程与相应函数的情形.在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质来研究方程的解，体现方程和函数的关系；第二步,介绍定义二分法,满足精度的近似解.对方程的近似解提出要求,即满足一定要求的近似解,不能比近似解大于,也不能比近似解小于.在真实值未知
2、的情况下,要达到满足要求的近似解似乎不可能.第三步,在函数模型的应用过程中，通过函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系 本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间的依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念求方程近似解其中隐含“逼进”的数学思想，并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有效的方法，其关键是逼近的依据
3、学生学习情况分析 同学们有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法其中运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子” 设计理念 本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，应用从生活实际理论实际应用的过程，应用数形结合、图表、信息技术，采用教师引导学生探索相结合的教学方法，注重提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经历直观感知、观察发现、抽象与
4、概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程 教学目标 1理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法. 2体会二分法的思想和方法，使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法；让学生能够了解近似逼近思想，培养学生探究问题的能力和创新能力，以及严谨的科学态度； 3体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；感受正面解决问题困难时，通过迂回的方法使问题得到解决的快乐 教学重点与难点 教学重点：能够用二分法求相应方程的近似解，根所在区间的确定及逼近的思想 教学难点：对二分法的理论支撑的理解，区间长度的缩小 教学过程 教学基本流程图 教学情境设计 教学设计学情预设设计意图知识链
5、接 创设情境 引出课题 1趣味游戏,猜一个在1到100之间的整数. 2竞猜中，“高了”、“低了”的含义是什么？如何确定价格的最可能的范围？3如何才能更快地猜中商品的预定价格？4.这个游戏对你的启发是什么?5.复习函数的零点的定义.6.复习函数的零点的存在性定理.7.合作探究 这节课应解决怎样的问题?迫使学生思考如果一个方程存在零点,那么如何才能求出这个零点?实在不能求出这个零点,退而求其次,是否可以求出这个方程的一个近似解,最好是与真实值足够接近的近似解.让学生主动发现问题,提出问题,解决问题.8.让学生解一元一次方程,一元二次方程,学生很容易解决这样的问题,然后给出一个学生无法解决的一元三次
6、方程,学生会感到非常遗憾,努力想解决这个问题.给出问题,激发兴趣,寻求方法,解决问题.有解,如何运用某种方法找到这个解,如果无法求出真实解,那么能否求出满足一定要求的近似解.知道存在,如何找出.和趣味游戏多么的相似啊！ “二分”的思路是什么？ 1教师从学生熟悉的电视节目，引导学生体会、分析、归纳迅速猜价的方法 2学生能够主动参与游戏，并且参与游戏的同学可以比较并总结经验学生会有很多种方案 3对于“问题3”学生能够顺利地得出“主持人的“高了，低了”的回答是判断价格所在区间的依据”这个结论4此时教师通过“问题3”引导学生进行比较哪种方法更快更好从中学生可以得到用二分法解决问题的思路二分指的是将解所
7、在区间平均地分为两个区间.(1)利用视屏与游戏的形式，学生会踊跃参与；商品价格竞猜也是学生熟悉的，竞猜的方法会很多样，可以进行竞赛 (2)通过问题3，启发学生寻找确定区间的依据，为后面探索“用二分法求方程近似解”的时候埋下伏笔 (3)通过游戏，让学生经历游戏过程，感受数学来自生活，激发学生的学习兴趣；引导学生善于发现身边的数学，培养学生的归纳演绎的能力；学会将实际情境转化为数学模型 (4)通过比较不同的方法得出最快的竞猜的方法二分法 师生探究构建新知 1上节课我们学了什么定理. 它的作用是什么？ 还有什么问题没有解决？ 2已知函数f(x)2x3+3x-3=0,求它的一个实数解,精度为0.01
8、3精度的含义是什么？怎样的区间才算满足设定的精度？ 4区间(0.625,0.75)的精度为多少？ 5如何将零点所在的范围缩小(即如何将精度缩小)？缩小的依据是什么？ 6如何利用“猜价格”“二分法”的逼近思想来缩小区间？ 7近似解是多少？ (1)教师通过对上节课的内容进行复习，并且有前面游戏作为伏笔，学生能够初步体会出“连续函数零点存在定理”是判断方程的根所在区间的依据 (2)通过“问题3”应用具体的题目引导学生进行思考学生通过引导将方程的解与商品的价格联系到一起，运用刚才的游戏的经验，得到缩小区间的想法 (3)学生对精度的概念可能不知教师可以借助数轴解释说明精度的含义，引导学生思考什么时候停止
9、操作 (4)教师通过“问题求方程的近似解”引导学生将“二分法”与“零点存在定理”相结合得到零点所在的区间,并且这个区间的长度越来越小,端点逐步逼近方程的解,可以得到一个近似解并且确定结束的区间. (5)学生按照游戏的方法也就是按照“二分法”的思路，不断缩小零点存在的区间，进行具体操作，填出表格表格刚开始的前几行学生可能会比较慢，也有可能会出错；通过多次的重复以及经验的总结，后面的表格可以正确地、快速地回答出来；使得最后的“应用二分法求函数的零点”的方法的总结更加顺利 (6)对于深度思考,学生不太容易得到比较简洁的结论教师可以进行解释说明：“由于整个区间内的数均满足精确度的条件，因此区间内的所有
10、数均可以作为近似解，最后得到方程的近似解. 设计意图 1趣味游戏,开门见山，延续上一节课的内容继续深入地研究，使得知识有一个链接，让学生能够很容易地将新知识建构到旧的知识体系中 2运用求方程的近似解，将学生的思路与前面已经解决的问题联系起来，引导学生层层深入，抽丝拨茧，学习如何分析问题、如何利用新的知识解决问题；培养学生分析问题、解决问题的能力，以及运用知识、驾驭知识的能力 3师生的互动,有利于一边引导学生一边总结知识将二分法应用于解决实际问题，即将新知识应用于解决新问题培养学生实际应用的能力，加强解决问题的严谨性，总结知识的逻辑性使得最后方法的总结能够顺利进行 4有了前面的商品竞猜过程的经历
11、，学生比较容易入手，分析比较容易到位，从而降低思维的难度. 5.辨析思考,让学生思考,二分法能够解决什么问题,不能解决什么问题,它的局限性是什么?使学生清楚二分法的使用范围. 6.方法延伸,二分法不但能解决课堂内的数学问题,而且能解决课堂外的数学趣味题,更增加学生学习数学的兴趣. 7.思想延伸,能够求出方程的近似解,而没有求出方程的真实解,多么遗憾的一件事啊！那么如何求出方程的真实解?既然区间的长度越来越小,如果长度无限小,区间的端点就无限逼近真实值.那么就得到了方程的真实值.多么奇妙的一件事啊,看起来无法求出方程的近似解,最终,不但求出了近似解,而且求出了真实值. 8.小结,这节课你学到了什
12、么?有什么收获？有什么困惑？有什么数学思想和方法？迫使学生思考，梳理，总结，提炼，迫使学生回头望，进行讨论。 知识链接 1函数零点存在性定理：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根 2精度是对同一个量的不同近似数的精确程度的度量 形成概念 深化提高 1我们刚才的求解过程中有哪些过程是一直重复出现的？ 2我们取其一段，大家看如何用数学语言来描述？3点明求方程的近似解的“二分法”：对于在区间a，b上连续不断、且f(a)f(b)0的函数yf(
13、x)，通过不断地把方程的解所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近近似解，进而得到近似解的方法叫二分法.学生经过老师的提示与引导，可以得到“取区间的中点，计算函数值，比较符号，确定新的区间”这样的相同的过程4.将二分法的方法应用到课堂外的游戏中,强化二分法的方法.5.寻求方程的真实值,利用无限逼近的思想. 设计意图 1不断的引导，将刚才的解题过程经过“自然语言数学语言去其糟粕取其精华具体步骤”的过程，帮助学生学会归纳总结的方法 2课间的及时总结有利于学生对当前所学的内容进行升华，了解自己掌握了什么知识，在后面的做题中可以有法可依，可以提高解题的正确率，增强自信 3问题解决的设计是将学生的思
14、维进一步升华，不再停留在技能这一个层次，而是上升为数学思想方法的层次. 4进一步提出问题：运用二分法求方程的近似解的步骤是什么？ 5运用二分法的前提是什么(游戏开始时要先做什么工作)？引例条件的内涵是什么？6二分法的实质是什么？它有什么作用？7.利用无限逼近的思想可以求出方程的真实值. 知识链接 1运用二分法的前提是要先判断根在某个所在的区间 2二分法实际上是通过缩小区间长度寻找解的一种方法 课内练习课后作业 1练习题为例题仿照题，由同桌协助完成 3课后作业：习题4.1 A组1,2 B组1,2. 习题4.1 A组1,2 题经过同桌两位同学合作可以顺利完成 B组1,2题独立完成如果有困难的同学在
15、同伴或老师的帮助下可以完成 1不同层次的题目，层层递进，不断提高学生的能力不仅巩固新学的知识，而且让不同层次的学生得到不同的收获；让不同的学生得到不同的发展,让每一个学生感到自己是一个成功的. 2培养合作、互助精神； 3培养学生应用与创新的能力，利用二分法的逼近思想解决实际问题 本课小结.请同学们回顾一下本节课的教学过程，你觉得你已经掌握了哪些知识？教师通过提问，学生借助教师的帮助对整节课进行最后的归纳总结，得到以下两点：(1)二分法是一种求一元方程近似解的通法(2)利用二分法来解一元方程近似解的操作步骤(3)你有什么困惑?让学生课外仔细的研讨,交流,沟通. 设计意图学生的归纳总结的能力不强，
16、需要不断的培养；课后的总结有利于学生对整节课的内容进行升华，了解自己掌握了什么知识，养成良好的学习习惯，建立自信心. 教学反思 1本节课有两条线，明线：“从生活实际、从学生熟知的现实生活、从学生喜爱的游戏“竞猜某个数”入手，引导学生进入深层的思考如何才能更快更好地赢得游戏？与学生一道进行新知识的探索过程二分法的得来；再将二分法充分地运用在函数零点的求解上；最后将二分法求解函数零点的过程程序化”；暗线：“生活实际(特殊)二分法的理论(一般)二分法的应用(特殊)”让学生经历知识的形成与应用过程，培养发现问题、提出问题、解决问题的能力，体现数学的基础性、时代性、典型性和可接受性，体会数学来自生活，应
17、用于生活的最高境界，感受数学之美2引入课题的方式，(1)从生活中的常见现象“竞猜某个数”引入；(2)开门见山“继续前面的研究”引入 已知函数f(x)2x3+3x-3=0,求它的一个实数解,精度为0.01 设函数f(x)2x3+3x-3,x(0,1)，先取区间的中点，再计算中点的函数值，接着应用“零点存在定理”确定零点所在的区间，从而缩小精确度. 二分法求解方程f(x)0或g(x)h(x)近似解的基本步骤： 画图或利用函数值的正负，确定初始区间(a，b)，验证f(a)f(b)0； 求区间(a，b)的中点x1x1ab2)； 计算f(x1)：若f(x1)0，则x1就是函数f(x)的零点，x1就是f(
18、x)0的根，计算终止；若f(a)f(x1)0，则选择区间(a，x1)；若f(a)f(x1)0，则选择区间(x1，b)； 循环操作、，直到当区间的精确度达到事先指定的精确度(若是要求精确到，两端点精确到同一个近似值时才终止计算) 1练习：(1)应用计算器，求方程x33x10的一个正的近似解 (2)应用计算器，求方程2xx4的近似解 (3)用二分法判断方程2xx2的根的个数( ) A1 B2 C3 D4 (4)方程lg(x4)10x的根的情况是( ) A仅有一根 B有一正根一负根 C有两负根 D无实根 2思考：(1)从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为几个？ (2)一天，南郊中学校区与陕柴中学校区的电缆线路出了故障(相距大约10 km)，电工是怎样检测的呢？ 答案：略
