1、第三章 三角函数、解三角形第八节 解三角形的实际应用基础梳理实际问题中的常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫作仰角，目标视线在水平视线下方的叫作俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫作方位角方位角 的范围是 0360方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)度北偏东 m南偏西 n坡角坡面与水平面的夹角坡度坡面的垂直高度 h 和水平宽度 l 的比设坡角为，坡度为 i，则 ihltan 四基自测1(基础点：求高度)在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别
2、是30，60，如图所示，则塔高 CB 为()A.4003 m B.40033 mC.20033 m D2003 m答案：A2(基础点：方向角)两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站北偏东40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的北偏西_，西偏北_答案：10 80考点一 测量距离与角度挖掘 1 测量距离/自主练透例 1(1)(河两岸可视两点)如图，设 A，B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离是 m 米，BAC，ACB，则 A，B 两点间的距离为()A.msin sin 米 B.msi
3、n sin（）米C.msin sin（）米Dmsin（）sin sin 米解析 在ABC 中，由正弦定理得 ACsin B ABsin C，故 ABACsin Csin B msin sin（）.答案 C(2)(河对岸或不可视两点)如图，为了测量河对岸 A、B 两点之间的距离，观察者找到一个点 C，从点 C 可以观察到点 A、B；找到一个点 D，从点 D 可以观察到点 A、C；找到一个点 E，从点 E 可以观察到点 B、C.并测量得到一些数据：CD2，CE2 3，D45，ACD105，ACB48.19，BCE75，E60，则 A、B 两点之间的距离为_(其中 cos 48.19取近似值23)解
4、析 依题意知，在ACD 中，A30，由正弦定理得 ACCDsin 45sin 30 2 2.在BCE 中，CBE45，由正弦定理得 BCCEsin 60sin 45 3 2.连接 AB(图略)，在ABC 中，由余弦定理得 AB2AC2BC22ACBC cos ACB10，AB 10.答案 10破题技法 测量距离问题的解法选择合适的辅助测量点，构造三角形，将实际问题转化为求某个三角形的边长问题，再利用正、余弦定理求解提醒：解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量挖掘 2 测量角度或航向/互动探究例 2 已知海岛 B 在海岛 A 北偏东 45方向上，A，B
5、相距 10 海里，物体甲从海岛 B 以 2 海里/小时的速度沿直线 AB 向海岛 A 移动，同时物体乙从海岛 A 沿着海岛 A 北偏西 15方向以 4 海里/小时的速度移动(1)问经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向；(2)求甲从海岛 B 到达海岛 A 的过程中，甲、乙两物体的最短距离解析(1)如图，设经过 x 小时，物体甲在物体乙的正东方向，则甲与 A 的距离为 102x，乙与 A 的距离为 4x，AD 22(102x)cos 15 2（5x）4xcos(4530)，x52 35(2 3)经过 5(2 3)小时，物体甲在物体乙的正东方向(2)设经过 x 小时，甲、乙两物体的距离为 d.由余
6、弦定理得 cos 60（4x）2（102x）2d224x（102x）12，d228x280 x100，0 x5.函数 y28x280 x100 的图像的对称轴 x107(0，5，x107 时，d 最小dmin10 217.破题技法 测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解提醒：方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东 45方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方
7、一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75方向前进，若红方侦察艇以每小时 14 n mile 的速度沿北偏东 45 方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角 的正弦值解析：如图，设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的小艇，则 AC14x，BC10 x，ABC120.根据余弦定理得(14x)2122(10 x)2240 xcos 120，解得 x2.故 AC28，BC20.根据正弦定理得 BCsin ACsin 120，解得 sin 20sin 120285 314.所以红方侦察艇所需的时间为 2 小时，角 的正弦值为5 314.考点二
8、测量高度挖掘 1 同一竖直平面内的高度/自主练透例 1 如图，为测一树的高度，在地面上选取 A，B 两点，在 A，B 两点分别测得树顶的仰角为 30，45，且 A，B 两点之间的距离为 10 m，则树的高度 h 为()A(55 3)m B(3015 3)mC(1530 3)m D(153 3)m解析 在PAB 中，由正弦定理，得10sin（4530）PBsin 30，因为 sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30 6 24，所以 PB5(6 2)(m)，所以该树的高度 hPBsin 45(55 3)(m)答案 A挖掘 2 不同竖直平面内的高度/互动探究例 2 如图，为
9、测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点从 A点测得 M 点的仰角MAN60，C 点的仰角CAB45以及MAC75；从 C点测得MCA60，已知山高 BC100 m，求山高 MN.解析 在ABC 中，AC100 2，在MAC 中，MAsin 60 ACsin 45，解得 MA100 3，在MNA 中，MN100 3sin 60 32，故 MN150，即山高 MN 为 150 m.破题技法 求解高度问题的三个关注点(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究
10、的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题考点三 解三角形在平面几何中的应用挖掘 1 与三角形有关的传统文化/自主练透例 1(1)九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积12(弦矢矢 2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23，半径等于 4 米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是()A6 平方米 B9 平方米C12 平方米D15 平方米解析 如图，由题
11、意可得AOB23，OA4，在 RtAOD 中，可得AOD3，DAO6，OD12AO1242，所以可得矢422，由ADAOsin 34 32 2 3，可得弦2AD22 34 3.所以，弧田面积12(弦矢矢 2)12(4 3222)4 329 平方米，故选B.答案 B(2)数书九章中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即 S14c2a2c2a2b222.现有周长为
12、 2 2 5的ABC 满足 sin Asin Bsin C(21)5(21)，试用以上给出的公式求得ABC的面积为()A.34B 32C.54D 52解析 因为 sin Asin Bsin C(21)5(21)，所以由正弦定理得abc(21)5(21)，又 abc2 2 5，所以 a 21，b 5，c 21，则 ac211，c2a2b2651，故 S14c2a2c2a2b222 12114 34，故选 A.答案 A挖掘 2 多边形问题/互动探究例 2 如图，在平面四边形 ABCD 中，ABC34，ABAD，AB1.(1)若 AC 5，求ABC 的面积；(2)若ADC6，CD4，求 sinCAD
13、.解析(1)在ABC 中，由余弦定理得，AC2AB2BC22ABBCcosABC，即 51BC2 2BC，解得 BC 2，所以ABC 的面积 SABC12ABBCsinABC121 2 22 12.(2)设CAD，在ACD 中，由正弦定理得，ACsinADCCDsinCAD，即 ACsin64sin，在ABC 中，BAC2，BCA34(2)4，由正弦定理得ACsinABCABsinBCA，即 ACsin341sin（4），两式相除，得sin34sin64sin 1sin（4），即 4(22 sin 22 cos)2sin，整理得 sin 2cos.又 sin2cos21，故 sin 2 55，
14、即 sinCAD2 55.破题技法 1.把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解2寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果，求解时要灵活利用平面几何的性质，将几何性质与正弦、余弦定理有机结合起来(2020成都诊断)如图，在平面四边形 ABCD 中，已知 A2，B23，AB6.在 AB边上取点 E，使得 BE1，连接 EC，ED.若CED23，EC 7.(1)求 sinBCE 的值；(2)求 CD 的长解析：(1)在BEC 中，由正弦定理，知BEsinBCE CEsin B，因为 B23，BE1，CE 7，所以 sinBCEBEsin BCE327 2114.(2)因为CEDB23，所以DEABCE，所以 cosDEA 1sin2DEA 1sin2BCE1 3285 714.因为 A2，所以AED 为直角三角形，又 AE5，所以 EDAEcosDEA 55 7142 7.在CED 中，CD2CE2DE22CEDEcosCED7282 72 7(12)49.所以 CD7.
