1、第四讲三角函数的图象与性质ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理双基自测 知识点一周期函数的定义及周期的概念(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做_周期函数_.非零常数T叫做这个函数的_周期_.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小_正周期_.(2)正弦函数、余弦函数都是周期函数，_2k(kZ，k0)_都是它们的周期，最小正周期是_2_.知识点二正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域
2、x|xRx|xRx|xR，且xk，kZ值域_y|1y1_y|1y1_R_单调性在_2k，2k_，kZ上递增；在_2k，2k_，kZ上递减在_(2k1)，2k_，kZ上递增；在_2k，(2k1)_，kZ上递减在(k，k)，kZ上递增最值x_2k(kZ) _时，ymax1；x_2k(kZ)_时，ymin1x_2k(kZ)_时，ymax1；x_2k(kZ)_时，ymin1无最值奇偶性_奇_偶_奇_对称性对称中心_(k，0)，kZ_(，0)，kZ对称轴_xk，kZ_xk，kZ_无对称轴最小正周期_2_2_1函数ysin x，x0,2的五点作图法的五个关键点是_(0,0)_、_(，1)_、_(，0)_、
3、_(，1)_、_(2，0)_.函数ycos x，x0,2的五点作图法的五个关健点是_(0,1)_、_(，0)_、_(，1)_、_(，0)_、_(2，1)_.2函数ysin x与ycos x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，如ycos x的对称轴为xk(kZ)，而不是x2k(kZ)3对于ytan x不能认为在其定义域上为增函数，而是在每个区间(k，k)(kZ)内为增函数题组一走出误区1(多选题)下列命题错误的是(ABC)Aysin x在第一象限是增函数B正切函数ytan x在定义域内是增函数Cysin |x|是周期为的函数Dycos x，x(0,4)不是周期函数题组二走
4、进教材2(必修4P45T3改编)函数ytan 2x的定义域是(D)Ax|xk，kZBx|x，kZCx|xk，kZDx|x，kZ解析由2xk，kZ，得x，kZ，所以ytan 2x的定义域为x|x，kZ3(必修4P40T4改编)下列关于函数y4sin x，x，的单调性的叙述，正确的是(B)A在，0上是增函数，在0，上是减函数B在，上是增函数，在，及，上是减函数C在0，上是增函数，在，0上是减函数D在，及，上是增函数，在，上是减函数解析函数y4sin x在，和，上单调递减，在，上单调递增故选B4(必修4P38T3改编)函数y32cos (x)的最大值为_5_，此时x_2k(kZ)_.解析函数y32c
5、os (x)的最大值为325，此时x2k，kZ，即x2k(kZ)题组三考题再现5(2019全国卷，5分)下列函数中，以为周期且在区间(，)上单调递增的是(A)Af(x)|cos 2x|Bf(x)|sin 2x|Cf(x)cos |x|Df(x)sin |x|解析A中，函数f(x)|cos 2x|的周期为，当x(，)时，2x(，)，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)|sin 2x|的周期为，当x(，)时，2x(，)，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)cos |x|cos x的周期为2，故C不正确；D中，f(x)sin |x|由正弦函数图象知，在x0和x0时，f(
6、x)均以2为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确，故选A6(2019全国卷，5分)关于函数f(x)sin |x|sin x|有下述四个结论：f(x)是偶函数f(x)在区间(，)上单调递增f(x)在，有4个零点f(x)的最大值为2其中所有正确的结论的编号是(C)ABCD解析方法一：f(x)sin |x|sin (x)|sin |x|sin x|f(x)，f(x)为偶函数，故正确；当x时，f(x)sin xsin x2sin x，f(x)在(，)上单调递减，故不正确；f(x)在，的图象如图所示，由图可知函数f(x)在，只有3个零点，故不正确；ysin |x|与y|sin x|的最
7、大值都为1且可以同时取到，f(x)可以取到最大值2，故正确综上，正确结论的序号是.故选C方法二：f(x)sin |x|sin (x)|sin |x|sin x|f(x)，f(x)为偶函数，故正确，排除B；当x0，函数f(x)sin (x)在(，)上单调递减，则的取值范围是(A)ABCD(0,2解析(1)f(x)3sin (2x)3cos (2x)3cos (2x)令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.所以函数f(x)的增区间为，kZ.令k0,1，可得选项AD正确，故选A、D(2)由x得x0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0，那么一定先借助诱导公式将化为正数，防止把
8、单调性弄错图解法：若函数的图象能够容易画出，可利用图象直观迅速求解如某些含绝对值的三角函数注：正、余弦型单调区间长度为半周期(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解变式训练1(1)函数f(x)tan (2x)的单调递增区间是(B)A，(kZ)B(，)(kZ)C(k，k)(kZ)Dk，k(kZ)(2)(2018 课标全国，10)若f(x)cos xsin x在0，a上是减函数，则实数a的最大值是(C)ABCD解析(1)由k2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函数f(x)tan (2x)的单调递增区间为(，)(kZ)，故选B(2)本题主要考查三角函数的图象及性
9、质f(x)cos xsin xcos (x)因为f(x)在0，a上是减函数，所以解得00)的最小正周期为，则该函数的图象(AD)A关于点(，0)对称B关于直线x对称C关于点(，0)对称D关于直线x对称解析由T知2，所以函数f(x)sin (2x)函数f(x)的对称轴满足2xk(kZ)，解得x(kZ)；函数f(x)的对称中心的横坐标满足2xk(kZ)，解得x(kZ)故选A、D名师点拨(1)求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为yAsin (x)或yAcos (x)或yAtan (x)(A，为常数，A0)的形式，再分别应用公式T或T求解(2)三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助
10、其图象与性质，对yAsin (x)代入x0，若y0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数若yAsin (x)为奇函数，则k(kZ)，若yAsin (x)为偶函数，则k(kZ)(3)求函数yAsin (x)的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题ysin x的对称中心是(k，0)，(kZ)，yAsin (x)的对称中心，由方程xk解出x，故对称中心为(，0)(kZ)ysin x的对称轴是xk，kZ，xk解出x，即x为函数yAsin (x)的对称轴方程函数f(x)Asin (x)(A，为常数，A0)图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线xx0
11、或点(x0,0)是否是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断(4)注意ytan x的对称中心为(，0)(kZ)变式训练2(1)(角度1)(2019北京，5分)函数f(x)sin22x的最小正周期是_.(2)(多选题)(角度2)下列函数中，最小正周期为的奇函数是(BD)Aysin (2x)Bycos (2x)Cysin 2xcos 2xDysin(2x)cos(2x)(3)(角度3)(2018江苏)已知函数ysin (2x)()的图象关于直线x对称，则的值是_.解析(1)f(x)sin22x，f(x)的最小正周期T.(2)ysin (2x)cos 2x是偶函数，不符合题意
12、ycos (2x)sin 2x是T的奇函数，符合题意，同理C不是奇函数，D为ysin 2x，故选B、D(3)由题意可得sin ()1，所以k，k(kZ)，因为，所以k0，.故填.MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛素养提升 三角函数的值域与最值例6(1)函数y的值域为_3，_.(2)函数f(x)2sin xsin (x)，当x0，时，函数f(x)的值域为_0，_.(3)函数y的值域为_0，_.(4)若x是三角形的最小内角，则函数ysin xcos xsin xcos x的最小值是(A)ABC1D解析(1)解法一：y2，由于1sin x1，所以5，函数的
13、值域为3，解法二：由y，解得sin x，1sin x1，11，解得3y，函数的值域为3，(2)f(x)2sin x(sin xcos x)sin2xsin xcos xsin (2x)，x0，2x，sin (2x)，1f(x)0，(3)解法一：由y得sin xycos x3y1，sin (x)其中sin ，cos .|1，解得0y.解法二：可理解为点P(cos x，sin x)与点C(3,1)连线的斜率，点P(cos x，sin x)在单位圆上，如图所示故t满足kCAtkCB，设过点C(3,1)的直线方程为y1k(x3)，即kxy13k0.由原点到直线的距离不大于半径1，得1，解得0k.从而值
14、域为0，(4)由条件知0x，令tsin xcos xsin (x)，又0x，x，得1t；又t212sin xcos x，得sin xcos x，得yt(t1)21，则y1，所以函数的最小值为.故选A名师点拨求三角函数值域或最值的方法(1)yasin xb(或yacos xb)的值域为|a|b，|a|b(2)yasin2xbcos xc可转化为关于cos x的二次函数，求在给定区间上的值域(或最值)即可(3)yasin2xbsin xcos xccos2xyAsin 2xBcos 2xysin (2x)，再利用sin (2x)的有界性求解，注意2x的取值范围(4)y(或y)可反解出sin xf(
15、y)(或cos xf(y)由正、余弦函数的有界性(|f(y)|1)求解；y可根据式子的几何意义用数形结合方法求解，或化为sin (x)利用三角函数的有界性求解(5)yf(sin xcos x，sin xcos x)常用换元法，令tsin xcos xsin (x)，则cos xsin x，可化为关于t的二次函数在某区间上的值域或最值变式训练3(1)函数y52cos (x)的最大值为_7_，此时x_2k(kZ)_.(2)(2020黑龙江宜春二中月考)函数y的最大值是(D)A1B1C1D1(3)(2019云南调研)函数ysin xcos xsin xcos x的值域是_，1_.解析(1)函数y52cos (x)的最大值为527，此时x2k(kZ)，即x2k(kZ)(2)y，22sin (x)2，y1，故选D(3)设tsin xcos x，则t212sin xcos x，sin xcos x，且t，yt(t1)21.当t1时，ymax1，当t时，ymin.函数ysin xcos xsin xcos x的值域为，1
