1、建平中学2021学年第二学期期末考试高一数学学科2022.06.24说明：（1）本场考试时间为90分钟，总分100分；（2）请认真答卷，并用规范文字书写一、填空题（每题3分，满分36分）1. 已知复数，则Rez_【答案】10【解析】【分析】根据复数的定义直接写出复数的实部.【详解】因为复数，所以Rez10.故答案为：102. 若为直线l：的一个法向量，则b_【答案】【解析】【分析】由直线方程写出其方向向量，利用求参数b.【详解】由直线一般式为，则其一个方向向量为，所以，可得.故答案为：3. 点(1，2)到直线的距离为_【答案】#3.2【解析】【分析】利用点线距离公式求距离即可.【详解】由点线距
2、离公式有(1，2)到直线的距离为.故答案为：4. 设直线、的斜率分别为、，倾斜角分别为、，若，则|_【答案】#【解析】【分析】由已知及得，讨论、并结合正切函数性质求.【详解】由，且，即，若，则，而，故，即；同理，可得.综上，|.故答案为：5. 若，其中，则最大时，_【答案】【解析】【分析】由向量数量积的坐标表示及辅助角公式可得，再由正弦型函数的性质确定取最大时对应值.【详解】由题设，而，所以，故当时有最大值.故答案为：6. 已知等差数列满足，则_【答案】#0.5【解析】【分析】设公差为，由已知递推式有求公差，进而可得的值.【详解】若数列的公差为，而，故，又.故答案为：7. 已知、的夹角为，设，
3、则在上的数量投影为_【答案】#1.5【解析】【分析】由分别表示在、方向上的单位向量，结合已知可得且、的夹角为，进而可求在上的数量投影.【详解】由分别表示在、方向上的单位向量，且、的夹角为，由知：且、的夹角为，所以在上的数量投影为.故答案为：8. 若复数z满足且，则_【答案】2【解析】【分析】令且，根据模长的等量关系列方程求，再由求结果.【详解】令且，由，则，可得，由，则，可得，所以，故.故答案为：29. 已知首项为1的等比数列，若，则数列的公比为_【答案】1【解析】【分析】利用等比数列通项公式代入结合一元二次不等式求解即可.【详解】依题意，设公比为，若，则，即，得，故，得，故答案为：1.10.
4、 设关于x的实系数一元二次方程的两个虚数根分别为、，若，则_【答案】2【解析】【分析】由实系数一元二次方程有两虚根得到，再由等量关系列方程求结果.【详解】由题设，且，由，即，故.故答案为：211. 已知平面上两定点A、B满足，动点P、Q分别满足，则的取值范围是_【答案】6,6【解析】【分析】令，由已知判断、的轨迹，再结合向量数量积的几何意义求的最值，即可得范围.【详解】若，由题意知：在以为圆心，1为半径的圆上；在以为圆心，2为半径的圆上.又，则：最大时，同向，此时，最小时，反向，此时，综上，的范围为6,6.故答案为：6,612. 已知数列的前n项和为，若对任意恒成立，则_【答案】1011【解析
5、】【分析】由题设有，根据的关系得，再应用分组求和求目标式的值.【详解】由题设，故，所以，即，故，所以.故答案为：二、选择题（每题3分，满分12分）13. 设直线（、不同时为零），（、不同时为零），则“、相交”是“”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】分均不为0和有且只有一个为0两种情况讨论，分别证得充分性和必要性即可得出结论.【详解】当直线斜率都存在即均不为0时，若“、相交”，则两直线的斜率不相等，得，即，当直线斜率有一个不存在即有且只有一个为0时，也成立，故充分性成立；反之，均不为0时，若“”，则，则两直线的斜率不相等，即、相
6、交，有且只有一个为0时，、也相交，故必要性成立；综上，则“、相交”是“”的充要条件，故选：C.14. 满足的ABC（ ）A. 一定为锐角三角形B. 一定为直角三角形C. 一定为钝角三角形D. 可能为锐角三角形或直角三角形或钝角三角形【答案】C【解析】【分析】由向量数量积的定义及三角形内角的性质可得，即可判断三角形形状.【详解】由，而，所以且，故.所以ABC一定为钝角三角形.故选：C15. 设，下列说法中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】【分析】对于A：取z=-1否定结论；对于B：直接证明即可；对于C、D：取z=i否定结论.【详解】设（其中）.对于A
7、：不妨取z=-1，满足.故A错误；对于B：因为，所以，所以，所以，即.故B正确；对于C：取z=i，满足.故C错误；对于D：取z=i，满足.故D错误.故选：B16. 设无穷数列的前n项和为，若（），记集合，集合，则（ ）A. 不存在数列使得B. 存在唯一一个数列使得C. 存在不止一个但有穷个数列使得D. 存在无穷个数列使得【答案】D【解析】【分析】因为， 随着的增大而增大，故可考虑当时，逐步分析使得中的元素从小到大一一对应即可【详解】由题意，因为， 随着的增大而增大，且，不妨设，则，故可令，则，再令，如此则有，则，此时满足，故.同理可得，当时，只需，也满足.故存在无穷个数列使得故选：D三、解答题
8、（本题共有5大题，满分52分）17. 设z为复数（1）若，求|z|的值；（2）已知关于x的实系数一元二次方程的一个复数根为z，若z为纯虚数，求的取值范围【答案】（1）5； （2）【解析】【分析】（1）由等量关系，应用复数的除法求复数z，进而求模长.（2）设，结合根与系数关系列不等式组求，进而确定的范围.【小问1详解】，故；【小问2详解】设，故，解得，故18. 已知直线，直线（1）若，求直线、的夹角；（2）设交x轴于点A，交y轴于点B，交x轴于点D，交y轴正半轴于点C，若，且梯形ABCD的面积为，求直线在y轴上的截距【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）由直线方程得到它们法向量，根据法
9、向量夹角与直线夹角关系求、的夹角.（2）由题意有：，进而求，再由平行线距离求梯形的高，最后根据梯形面积公式求参数b，即可得结果.【小问1详解】，：的一个法向量分别为，则，故【小问2详解】由，故，即：，易知，梯形的高h即平行直线，之间的距离，故，设梯形ABCD的面积为S，则，化简得，解得，故直线在y轴上的截距为19. 银行储蓄存款是一种风险较小的投资方式，将一定数额的本金存入银行，约定存期，到期后就可以得到相应的利息，从而获得收益，设存入银行的本金为P（元），存期为m（年），年化利率为r，则到期后的利息（元）以下为上海某银行的存款利率：存期一年二年三年年化利率1.75%2.25%2.75%（1）
10、洪老师将10万元在上海某银行一次性存满二年，求到期后的本息和（本金与利息的总和）；（2）杜老师准备将10万元在上海某银行存三年，有以下三种方案：方案：一次性存满三年；方案：先存二年，再存一年；方案：先存一年，再续存一年，然后再续存一年；通过计算三种方案的本息和（精确到小数点后2位）判断哪一种方案更合算，并基于该实际结果给予杜老师一般性的银行储蓄存款的建议【答案】（1）10.45万元； （2）方案，建议见解析.【解析】【分析】（1）由题意确定，应用利息公式求到期后的本息和即可；（2）根据各方案的模型求出对应的本息和，比较大小选择合算方案，并给予一般性的银行储蓄存款的建议小问1详解】由题意，故所以
11、，到期后本息和为104500元，即10.45万元；【小问2详解】方案为单利模型，方案为复利模型，三种方案到期后的本息和计算如下方案：；方案：方案：由于方案的本息和大于方案的本息和，方案的本息和大于方案的本息和，故方案最合算，其次是方案，最后是方案，建议杜老师在银行储蓄存款时，对于确定的本金和存期，选择一次性存满存期的方式最合算，即本息和最大；如果无法一次性存满存期，尽量选择较长的存期进行拆分时更合算，即本息和更大20. 已知等边三角形ABC的边长为2，P为三角形ABC所在平面上一点（1）若，求PAB的面积；（2）若，求的最大值；（3）求的最小值【答案】（1）； （2）； （3）.【解析】【分析
12、】（1）由重心的性质有，结合三角形面积公式求PAB的面积；（2）由题设，可得，再应用基本不等式求目标式最值，注意等号成立条件.（3）构建直角坐标系并设P（x，y），确定相关点坐标，利用向量数量积的坐标运算求，即可得结果，注意最值对应x、y.【小问1详解】由题设知：P为ABC的重心，故；【小问2详解】由于，即，则，当且仅当时取到等号，故的最大值为；【小问3详解】以BC的中点O为原点，分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，设P（x，y），易知A（0，），B（1，0），C（1，0），则化简得，故的最小值为，当且仅当时取到等号.21. 记项数为10且每一项均为正整数有穷数列所构成的集合为A，若对于
13、任意p、，当时都有，则称集合A为“子列封闭集合”（1）若，判断集合A是否为“子列封闭集合”，并说明理由；（2）若数列的最大项为，且，证明：集合A不为“子列封闭集合”；（3）若数列严格增，且集合A为“子列封闭集合”，求数列的通项公式【答案】（1）集合A为“子列封闭集合”，理由见解析 （2）证明见解析 （3）或【解析】【分析】（1）按照定义直接判断；（2）利用反证法证明集合A不为“子列封闭集合”（3）先判断出或21，22，分类讨论：，由题意求出；，求出即可得到答案.【小问1详解】对于任意p，当时，故集合A为“子列封闭集合”；【小问2详解】假设集合A为“子列封闭集合”，故存在正整数使得，易知，由于，故，显然，这与为集合A中的最大元素矛盾，故集合A不为“子列封闭集合”小问3详解】根据（2）中证明可知，集合A为“子列封闭集合”，则，由于数列严格增，故或21，22，则，假设，此时，由于，故，由于，这与矛盾；故，又由于，故，此时，经检验符合题意；，则，假设，此时，由于，故，由于，这与矛盾；假设，此时，由于，故，由于，这与矛盾；故，又由于，故，此时，经检验符合题意；综上所述，或
