1、第25讲 万有引力与天体运动 第25讲 万有引力与天体运动 编读互动 第25讲 编读互动 由于我国航天事业取得举世瞩目的成就，万有引力与航天运动问题是近几年高考的重点，高考命题以选择题为主本讲的主要内容是开普勒定律、万有引力定律，万有引力定律在天体运动中的应用是本讲重点，天体运动的最基本关系是万有引力提供天体运动的向心力因此应使学生明确，稳定的天体运动一般可视为匀速圆周运动，向心力是由万有引力提供的，进而结合向心力的不同表达式，推导出已知量和所求量之间的关系(1)通过例 1 和变式题要对万有引力定律的应用重点更明确(2)通过例 2 和变式题复习计算天体质量及密度(3)通过例 3 和变式题复习行
2、星和卫星的运动规律(4)通过例 4 和变式题复习天体表面重力加速度的应用考点整合 第25讲 考点整合 一、万有引力定律1.定律内容：宇宙间的一切物质都是互相吸引的，两个物体间的引力的大小，跟它们的_成正比，跟它们的_成反比2.公 式：F_(其中 G6.671011 Nm2/kg2，叫做引力常量)3.适用条件：公式适用于质点间的相互作用.当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点.均匀的球体视为质点时，r 是两球心间的距离质量的乘积距离的平方Gm1m2r2第25讲 考点整合 4.与天体有关的估算问题在估算有关天体的一些物理量时应紧扣两个关键：(1)掌握公式：F 向GMmr2 ma
3、mv2r m2rm2T2r.(2)掌握模型：将天体或卫星的运动看成_运动，其向心力由_提供二、天体运动的模型(以人造地球卫星为例)1.由 GMmR2 mv2R得 vGMR，所以，R 越大，v 越小2.由 GMmR2 m2R 得 GMR3，所以，R 越大，越小3.由 GMmR2 m42T2 R 得 T42R3GM，所以，R 越大，T 越大匀速圆周万有引力第25讲 考点整合 4.模型总结：(1)当卫星稳定运行时，轨道半径 R 越大，v 越_，越_，T 越_，万有引力越_，向心加速度越_(2)同一圆周轨道内正常运行的所有卫星的速度、角速度、周期、向心加速度均相等(3)这一模型在分析卫星的轨道变换、卫
4、星回收等问题中很有用小小大小小要点探究 探究点一 关于万有引力的计算第25讲 要点探究 1.万有引力的适用条件：万有引力不仅存在于星球之间，宇宙中任意客观存在的有质量的物体之间都存在这种相互吸引力万有引力定律公式适用于质点之间，也适用于均匀球体之间2.万有引力的特点：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向沿两物体的连线且相反，分别作用在两个物体上，其作用效果一般不同，分别体现在受力物体上第25讲 要点探究 万有引力公式 FGm1m2r2 中的 r 应为两物体球心间距，如果某一物体内部存在球形空腔问题，则宜采取“割补法”分析第25讲 要点探究 例 1“嫦娥一号”探月卫星
5、以圆形轨道绕月飞行，卫星将获取的信息以微波信号发回地球，假设卫星绕月的轨道平面与地月连心线共面，各已知物理量如下表所示：(1)“嫦娥一号”在奔月过程中受地球和月球引力相等时离月球面的高度为多少？(2)“嫦娥一号”绕月球一周所用的时间为多少？第25讲 要点探究 例 1(1)r mM mR1(2)2r1R1g1 r1g1第25讲 要点探究 解析(1)设卫星质量为 m，由万有引力定律得：卫星受地球和月球引力相等时有：GMmL21GmmL22又因为：L1L2r，卫星到月球表面的距离为：hL2R1由上各式解得 hr mM mR1第25讲 要点探究(2)由月球对卫星的万有引力提供向心力得：Gmmr21m2
6、T2r1在月球表面有：GmmR21mg1解得绕月球一周所用的时间为：T2r1R1g1 r1g1第25讲 要点探究 点评“嫦娥一号”探月卫星近似以圆形轨道绕月飞行，可认为是做匀速圆周运动，月球对“嫦娥一号”的万有引力就是其绕月飞行的向心力第25讲 要点探究 如图 251 所示，在一个半径为 R、质量为 M 的均质球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为R2的球形空穴后，对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距 d 的质点m 的引力是多大？第25讲 要点探究 变式题 GMm7d28dR2R22d22dR2第25讲 要点探究 解析 把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和其中完整的
7、均质球体对球外质点 m 的引力 FGMmd2 可以看成是挖去球穴后的剩余部分对质点的引力 F1 与半径为R2的小球对质点的引力 F2 之和，即 FF1F2.第25讲 要点探究 因半径为R2 的小球质量为 M43R2343R23 M43R318M，则 F2GMmdR22 GMm8dR22所以挖去球穴后的剩余部分对球外质点 m 的引力F1FF2GMmd2 GMm8dR22GMm7d28dR2R22d22dR2.探究点二 天体表面的加速度第25讲 要点探究 天体表面及其某一高度处的重力加速度的求法：设天体表面的重力加速度为 g，天体半径为 R，则忽略天体自转时，mgGMmR2，可得 gGMR2 或
8、GMgR2.若物体距天体表面高度为 h，则重力 mg GMmRh2，可得 gGMRh2R2Rh2g.第25讲 要点探究 例 2 2011政和一中 已知“嫦娥二号”航天器绕月球做匀速圆周运动的环绕速度为 v，月球的半径为 R，航天器离月球表面的高度为 h，求月球表面的重力加速度 g.(结果用v、R、h 表示)第25讲 要点探究 例 2 v2RhR2 解析 万有引力提供向心力，有GMmr2mv2r，其中 rRh在月球球表面，有GMmR2 mg得 gv2RhR2第25讲 要点探究 2010北京卷 一物体静置在平均密度为 的球形天体表面的赤道上已知万有引力常量为 G，若由于天体自转使物体对天体表面压力
9、恰好为零，则天体自转周期为()A.43GB.34GC.GD.3G第25讲 要点探究 变式题 D 解析 本题考查万有引力定律的应用由万有引力提供向心力得 GMmr2 m42rT2，M43r3，代入数据，D 正确 探究点三 公转问题的求解思路第25讲 要点探究 解决天体(卫星)运动问题的基本思路(1)把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需心力由万有引力提供，关系式：GMmr2 mv2r m2rm2T2r.(2)在地球表面或地面附近的物体所受的重力等于地球对物体的引力，即 mgGMmR2.在不知地球质量的情况下可用其半径和表面的重力加速度来表示.第25讲 要点探究 例 3 2011厦门
10、理工学院附中“嫦娥一号”探月卫星在空中运动的简化示意图如图 252 所示卫星由地面发射后，经过发射轨道进入停泊轨道，在停泊轨道经过速后进入地月转移轨道，再次调速后进入工作轨道已知卫星在工作轨道上运行的半径为 r，月球半径为 R，地球表面重力加速度为 g，月球表面重力加速度是地球表面重力加速度的16，求卫星在工作轨道上运行的周期 第25讲 要点探究 例 3 2Rgr6gR 解析 设在工作轨道上运行的周期为 T，由牛顿第二定律得GMmR2 m2T2R又 GMmr2 mg6故得 T242R3gr22Rgr6gR第25讲 要点探究 2010厦门模拟 2008 年 9 月 25 日，我国利用“神舟七号”
11、飞船将航天员翟志刚、刘伯明、景海鹏成功送入太空，9 月 26 日北京时间 4 时零 4 分，神舟七号飞船成功变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为 h 的圆形轨道已知地球半径为 R，地球的质量为 M，引力常量为 G,则关于飞船在圆形轨道上运行的下列各量表达正确的是()A.线速度 vGMRh B.周期 T2RhGMC.向心加速度 a GMRh D.角速度 GMRh第25讲 要点探究 变式题 A 解析 由 GMmRh2 mv2Rh解得 vGMRh，A 正确；同理可知 BCD 均错 探究点四 万有引力的应用人造卫星运行参数问题第25讲 要点探究 围绕同一天体的不同轨道高度的卫星运行参量比较第25讲
12、要点探究 第25讲 要点探究 例 4 2011福建模拟 如图 253 所示，在同一轨道平面上的三个人造地球卫星 A、B、C 在某一时刻恰好在同一直线上，下列说法正确的是()A.根据 v gr，可知 vAvBvCB.根据万有引力定律，FAFBFCC.向心加速度 aAaBaCD.运动一周后，C 先回到原地点 第25讲 要点探究 例 4 C 解析 由GMmr2mv2r ma 可得：vGMr，故 vAvBvC，不可用 v gr比较 v 的大小，因卫星所在处的 g 不同，A 错误；由 aGMr2，可得 aAaBaC，C 正确；万有引力 FGMmr2，因不知各卫星的质量大小关系，故无法比较 FA、FB、F
13、C 的大小，B 错误；由 T2rv可知，C 的周期最大，最晚回到原地点，故 D 错误第25讲 要点探究 2010攀枝花模拟“嫦娥一号”于 2009 年 3 月 1 日下午 4时 13 分成功撞月，从发射到撞落历时 433 天，标志我国一期探月工程圆满结束其中，卫星发射过程先在近地圆轨道绕行 3 周，再长途跋涉进入近月圆轨道绕月飞行若月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的16，月球半径为地球半径的14，据以上信息得()A.绕月与绕地飞行周期之比为 2 3B.绕月与绕地飞行角速度之比为 2 3C.绕月与绕地飞行速度之比为 2 3D.绕月与绕地飞行速度之比为 12 6第25讲 要点探究 变式题
14、D 解析 在近地圆轨道运行时 GM地mR2地 mv2地R地m2地R 地m42T2地R 地mg 地，在近月圆轨道运行时 GM月mr2月 mv2月r月m2月r月m42T2月 r月mg月，绕月与绕地飞行周期之比为T月T地r月R地g地g月64 3 2，A 错；绕月与绕地飞行角速度之比为月地R地r月g月g地46 2 3，B 错；绕月与绕地飞行速度之比为v月v地g月r月g地R地16412 6，C 错、D 正确 探究点五 万有引力的应用中心天体质量及密度的计算第25讲 要点探究 计算天体的质量和密度是高考考查天体运动的重点内容，解决此类问题的关键就是明确中心天体对它的卫星(或行量)的引力就是卫星(或行星)绕
15、中心天体做匀速圆周运动的向心力G mMr2 m42T2 r，由此可得：M42r3GT2；MV M43R3 3r2GT2R3(R 为行星的半径)由上式可知，只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径 r 及运行周期T，就可以算出天体的质量 M.若知道行星的半径，则可得行星的密度如果卫星接近天体表面绕中心天体做匀速圆周运动，则只需要测出卫星运动周期即可求得中心天体的平均密度第25讲 要点探究 例 5 2010长沙模拟 已知地球半径为 R，地球、月球球心之间的距离为 r，月球公转周期为 T1，地球自转周期为T2，在地球表面附近运行的人造卫星周期为 T3，万有引力常量为 G，由以上条件可知()A.地球的质
16、量为 M42r3GT22B.地球的密度为 3GT21C.地表重力加速度为 g42RT21D.月球运动的加速度为 a42R3T23r2 第25讲 要点探究 例 5 D 解析 本题考查万有引力定律和行星运动的相关知识月球围绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即 GMmr2 m42T21 r，可求得地球的质量为 M42r3GT21，故 A 错误；进而求得地球的密度为 32r3GR3T21，故 B 错误；地球表面及其附近的重力近似等于万有引力，结合相关公式可得 g42r3T21R2，故 C 错；考查地球表面附近的人造卫星，可知 GMmR2m42T23 R，结合 GMmr2 ma 可得 a42R3
17、T23r2，故D 正确第25讲 要点探究 点评 万有引力定律在天文上的典型应用就是计算天体的质量、密度、半径，此时要紧扣两个关键：一是紧扣一个物理模型：就是将天体(或卫星)的运动看成是匀速圆周运动；二是紧扣一个物体做圆周运动的动力学特征，即天体(或卫星)的向心力由万有引力提供第25讲 要点探究 中国首个月球探测计划“嫦娥工程”预计在 2017 年送机器人上月球，实地采样送回地球，为载人登月及月球基地选址做准备设想我国宇航员随“嫦娥”号登月飞船绕月球飞行，飞船上备有以下实验仪器：A.计时表一只，B.弹簧秤一把，C.已知质量为 m 的物体一个，D.天平一只(附砝码一盒)在飞船贴近月球表面时可近似看
18、成绕月做匀速圆周运动，宇航员测量出飞船在靠近月球表面的圆形轨道绕行 N 圈所用时间为 t，飞船的登月舱在月球上着陆后，遥控机器人利用所携带的仪器又进行第二次测量，科学家利用上述两次测量数据便可计算出月球的半径和质量已知万有引力常量为 G.(1)简述机器人是如何通过第二次测量物体在月球所受的重力 F.(2)试利用测量数据(用符号表示)求月球的半径和质量第25讲 要点探究 变式题(1)略(2)R FT2m42 MF3T416Gm34解析(1)利用弹簧秤测量物体 m 的重力 F(2)在月球近地表面有，GMmR2 m2T2R，T tN在月球表面有，GMmR2 F则有 R FT2m42，MF3T416G
19、m34 探究点六万有引力的应用第一宇宙速度的理解第25讲 要点探究(1)三层含义：卫星绕地球表面飞行的线速度、最大的环绕速度、最小的发射速度(2)两种计算方法：vGMR7.9 m/s,v gR7.9 m/s.(3)环绕速度与发射速度的比较近地卫星的环绕速度 vGMR gR7.9km/s，通常称为第一宇宙速度，它是地球周围所有圆周运动卫星的最大绕行速度，是在地面上发射卫昨星的最小发射速度第25讲 要点探究 不同高度处的人造卫星在圆轨道上的运行速度 vGMr，其大小随半径的增大而减小但是由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越
20、大.第25讲 要点探究 例 6 2010东城模拟 已知地球半径为 R，质量为 M，自转角速度为，地表重力加速度为 g，万有引力常量为 G，地球同步卫星的运行速度为 v，则第一宇宙速度的值不可表示为()A.RgB.v3RC.RGMD.4 GMg 第25讲 要点探究 例 6 C 解析 设第一宇宙速度为 v1，地球同步卫星的运行半径为 r，GMmR2 mgmv21R，GMgR2，v1 Rg4 GMg，选项 A、D 正确；GMmR2mv21R，GMmr2 mv2r，v21Rv2r,又 vr，则 v1v2rR v3R，选项 B 正确；将 GMgR2 代入选项 C，可见第一宇宙速度的值不可表示为 C.第2
21、5讲 要点探究 2010南昌模拟 一些星球由于某种原因而发生收缩，假设某星球的直径缩小到原来的四分之一，若收缩时质量不变，则与收缩前相比()A.同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的 4 倍B.星球表面重力加速度增大到原来的 4 倍C.星球的第一宇宙速度增大到原来的 4 倍D.星球的第一宇宙速度增大到原来的 2 倍第25讲 要点探究 变式题 D 解析 本题考查万有引力定律的应用在星球表面，根据重力近似等于万有引力 mgGMmR2，可知直径缩小到原来的四分之一时，星球表面的同一物体的重力与重力加速度均变为原来的 16 倍，A、B 错；根据 GMmR2 mv2R，可知第一宇宙速度增大到原来的 2 倍，C 错，D 对第25讲 要点探究 点评 星体表面的重力近似等于星体表面处的万有引力，即 mgGMmR2，gR2GM，所以可以利用重力与万有引力相等来解决星体表面的加速度问题
