1、第六章 不等式、推理与证明 第一节 不等式的性质及一元二次不等式【教材知识精梳理】1.两个实数比较大小的依据(1)a-b0a_b.(2)a-b=0a_b.(3)a-b=b_.(2)传递性:ab,bc_.(3)可加性:aba+cb+c.(4)可乘性:ab,c0_;ab,cb,cd_.bc acbc acb+d(6)乘法法则:ab0,cd0_.(7)乘方法则:ab0_(nN,n1).(8)开方法则:ab0 (nN,n2).acbd anbn _abn n 3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 =b2-4ac 0=0 0)的图像 判别式 =b2-4ac 0=0 0)的根有两
2、个相异实根x1,x2(x10=0 0(a0)的解集_ _Rax2+bx+c0)的解集_x|xx2 x|xx1 x|x1x0(a0)中,如果二次项系数ab,且a与b都不为0,则 与 的大小关系确定吗?提示:不确定.若ab,ab0,则 0b,则 ,即正数 大于负数.1a1b1a1b1a1b2.一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的解集与其对应的函数y=ax2+bx+c的图像有什么关系?提示:ax2+bx+c0(a0)的解集就是其对应函数y=ax2+bx+c的图像在x轴上方的部分所对应的x的取值范围.3.一元二次不等式ax2+bx+c0(0恒成立的条件是 ax2+bx+cb,cb-d;ab0,c
3、dbd;ab0 ab0 A.B.C.D.2211.ab33ab;【解析】选D.利用不等式的同向可加性可知正确;对 根据不等式的性质可知acb0可知 a2b20,所以 所以不正确.13x2211,ab2.已知集合A=,B=x|x2-x-6,则AB=()A.(-2,3)B.(-2,2)C.(-2,2 D.-2,2 1x|x 102【解析】选C.A=x|x2,B=x|-2x3,所以AB=x|-2x2=(-2,2.3.已知函数f(x)=ax2+ax-1,若对任意实数x,恒有f(x)0,则实数a的取值范围是_.【解析】若a=0,则f(x)=-10恒成立,若a0,则由题意,得 解得-4a1,且m=loga
4、(a2+1),n=loga(a-1),p=loga(2a),则m,n,p的大小关系 为()A.nmp B.mpn C.mnp D.pmn(2)(2017衡水模拟)已知ab0,m0,则()世纪金榜导学号99972181 A.=B.C.1,所以a2+1-2a=(a-1)20,即a2+12a,又2aa-1,所以由对数函数的单调性可知loga(a2+1)loga(2a)loga(a-1),即mpn.【一题多解】选B.本题也可用特值法求解,令a=2,知m=log25,n=log21=0,p=log24,由对数函数的单调性易知mpn.(2)选C.因为ab0,m0.所以b-a0,所以 0.即 b0,m0.所
5、以a-b0,m(a-b)0,(1)当am时,a(a-m)0,所以 0,bbmb(am)a(bm)m(ab).aama(am)a(am)m(ab)a(am)即 -0,故 .(2)当am时,a(a-m)0.所以 0,即 -0,故 y0,则()A.B.sinx-siny0 C.D.lnx+lny0 110 xy xy11()()022【解析】选C.0;当x=,y=时,sinx-siny0;函数y=在R上单调递减,所以 ,即 0.当x=1,y=时,lnx+lnyb0,cd0,则一定有()ababababA.B.C.D.cdcddcdc【解析】选D.方法一:因为cd-d0,所以 ,即 又因为ab0,所以
6、 ,即 110cd110.dcabdcab.dc方法二:特值法:令a=2,b=1,c=-4,d=-2,所以 故A,B都不正确.C不正确,D正确.a1 b1,c2 d2 ab11,dc4 3.若 0,则下列结论不正确的是()A.a2b2 B.abb2 C.a+b|a+b|11ab【解析】选D.由 0,得ba-a0.所以(-b)2(-a)2,即b2a2,A正确,因为ab,b0,所以abb2,故B正确.因为bab,则下列不等式恒成立的是()A.a2b2 B.1 C.2a2b D.lg(a-b)0 ab【解析】选C.特值法.令a=1,b=-2,知,A,B不正确,令a=3,b=2,知D不正确.综上可知,
7、选C.2.若a0,b0,则不等式-b a等价于()A.-x0或0 x B.-x C.x D.x 1x1b1a1b1a1a1b1b1a【解析】选D.由题意知a0,b0,x0,(1)当x0时,-b .(2)当x0时,-b a,解得x-.综上所述,不等式-b a等价于x .1x1x1b1a1x1b1a考向二 一元二次不等式的解法 夯基练透【技法点拨】一元二次不等式的求解策略(1)化:把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判:计算对应方程的判别式.(3)求:求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实根.(4)写:利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集.【基础保分题组】1
8、.不等式1-x20的解集为_.【解析】由1-x20得x2-10.因为x2-1=0的两个根为x1=-1,x2=1.所以原不等式的解集为x|-1x1.答案:-1,1 2.函数y=的定义域为_.【解析】由题意,得 即 解得-2x1,即原函数的定义域为x|-2x0的解集是 则不等式x2-bx-a0的解集是_.11x|x,23【解析】由题意,知 是方程ax2-bx-1=0的两个 根,且a0,所以 解得 即不等式x2-bx-a0为x2-5x+60,11,2311b(),23a111(),23a a6,b5.解得x3或x2.答案:x|x3或x2(或(-,23,+)【拓展提升高考模拟预测】4.(2016全国卷
9、)已知集合A=1,2,3,B=x|x29,则AB=()A.-2,-1,0,1,2,3 B.-2,-1,0,1,2 C.1,2,3 D.1,2【解题指南】先化简集合B,再求AB.【解析】选D.由x29,得-3x3,所以B=x|-3x3,所以AB=1,2.5.(2017合肥模拟)已知一元二次不等式f(x)0的解集为()A.x|x-lg 2 B.x|-1x-lg 2 D.x|x-lg 2 1x|x1x2 或【解析】选C.由题意,得10 x ,10 x ,得xlg ,即x-lg2,故选C.1212126.不等式loga(a2-3a)1(a1)的解集是_.世纪金榜导学号99972182【解析】因为a1,
10、所以y=logax是增函数,所以不等式loga(a2-3a)1可转化为a2-3aa,即a2-4a0,解得a4或a1,所以a4.答案:(4,+)【加固训练】1.已知不等式x2-2x-30的解集为A,不等式x2+x-60的解集为B,不等式x2+ax+b0的解集为AB,则a+b等于()A.-3 B.1 C.-1 D.3【解析】选A.由题意得,A=x|-1x3,B=x|-3x2,所以AB=x|-1x2,由根与系数的关系可知,a=-1,b=-2,则a+b=-3.2.不等式0 x2-x-24的解集为_.【解析】原不等式等价于 即 即 解得 22xx20,xx24,22xx20,xx60,x2 x 10,x
11、3 x20，x2x1,2x3.或借助于数轴,如图所示,原不等式的解集为 x|-2x-1或2x3.答案:-2,-1)(2,3 3.解关于x的不等式ax2-(a+1)x+10).【解析】原不等式变为(ax-1)(x-1)0,所以a (x-1)1时,解为 x1;当a=1时,解集为;1(x)a1a当0a1时,解为1x .综上,当0a1时,不等式的解集为 1a1x|1x.a1x|x1.a考向三 一元二次不等式恒成立问题 高频考点微课【考情快递】命题点命题视角1.一元二次不等式对全体实数恒成立问题主要考查一元二次不等式和其对应的二次函数图像的关系,属容易题命题点命题视角2.一元二次不等式在某个区间上恒成立
12、问题主要考查一元二次不等式及对应的二次函数在某个区间上的图像变化,属中档题3.关于x的一元二次不等式对参数的取值恒成立问题考查主元转换思想,通过主元转换来求解变量的取值范围,属中档题【考题例析】命题点1:一元二次不等式对全体实数恒成立问题【微思考】一元二次不等式对全体实数恒成立与其对应的二次函数图像之间是什么关系?【微提示】ax2+bx+c0(a0)y=ax2+bx+c的图像在x轴的上方.ax2+bx+c0(a0)y=ax2+bx+c的图像在x轴的下方.【典例】(2017重庆模拟)设 0,不等式8x2-(8sin)x+cos2 0,对xR恒成立,则 的取值范围是_.世纪金榜导学号9997218
13、3【解题指南】由不等式和其对应二次函数图像的关系列关于 的不等式求解.【规范解答】由题意,得(-8sin)2-48cos20,即2sin2-cos20,1-cos2-cos20,cos2 ,因为0,所以02 或 22,12353即0 或 .答案:65650,66 命题点2:一元二次不等式在某个区间上恒成立问题【微思考】如何使一元二次不等式在某个区间上恒成立?【微提示】转化为其对应的二次函数在某个区间上的最小值大于0,或最大值小于0的问题.【典例】(2017合肥模拟)若不等式x2+mx-10对于任意xm,m+1都成立,则实数m的取值范围是_.世纪金榜导学号99972184【解题指南】把问题转化为
14、其对应的二次函数的在区间m,m+1上的最值问题,由此列不等式组求解.【规范解答】由题意,得函数f(x)=x2+mx-1在m,m+1上的最大值小于0,又抛物线f(x)=x2+mx-1开口向上,所以只需 222f(m)mm1 0f(m 1)(m 1)m(m 1)1 0 ，即 解得-m0恒成立,则x的取值范围为()A.(-,2)(3,+)B.(-,1)(2,+)C.(-,1)(3,+)D.(1,3)【解题指南】构造关于参数a的不等式变为不等式恒成立问题,列关于x的不等式组求解.【规范解答】选C.把不等式的左端看成关于a的一次函数,记f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,则由f(a)0对于任意的a-
15、1,1恒成立,所以f(-1)=x2-5x+60,且f(1)=x2-3x+20即可,解不等式组 得x3.22x5x60,x3x20,【技法点拨】恒成立问题的求解思路(1)形如f(x)0(f(x)0)(xR)的不等式确定参数的范围时,结合二次函数的图像,利用判别式来求解.(2)形如f(x)0(xa,b)的不等式确定参数范围时,要根据函数的单调性,求其最小值,让最小值大于等于0,从而求参数的范围.(3)形如f(x)0(参数ma,b)的不等式确定x的范围,要注意变换主元,一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.【拓展提升高考模拟预测】1.(2017南昌模拟)已知函数f(x)=-x2
16、+ax+b2-b+1(aR,bR),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,若当x-1,1时,f(x)0恒成立,则b的取值范围是 ()A.(-1,0)B.(2,+)C.(-,-1)(2,+)D.不能确定 【解析】选C.由f(1-x)=f(1+x)知f(x)的图像关于直线x=1对称,即 =1,解得a=2.又因为f(x)开口向下,所以当x-1,1时,f(x)为增函数,所以f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2,a2f(x)0恒成立,即b2-b-20恒成立,解得b2.2.(2017哈尔滨模拟)不等式2x-1m(x2-1)对满足|m|2的一切实数m都成立,则实数x的取
17、值范围是_.世纪金榜导学号99972185【解析】由|m|2,得-2m2,不等式变形为(x2-1)m-(2x-1)0对任意实数m1,+)恒成立,则实数x的取值范围是_.【解析】不等式左边是关于m的一次函数,且单调递增,所以只需x2+1-x-30,即x2-x-20,解得x2或x-1.答案:(-,-1)(2,+)2.(2017宿州模拟)若关于x的不等式4x-2x+1-a0在1,2上恒成立,则实数a的取值范围为_.【解析】因为不等式4x-2x+1-a0在1,2上恒成立,所以4x-2x+1a在1,2上恒成立.令y=4x-2x+1=(2x)2-22x+1-1=(2x-1)2-1.因为1x2,所以22x4.由二次函数的性质可知:当2x=2,即x=1时,y取得最小值0,所以实数a的取值范围为(-,0.答案:(-,0 3.(2017石家庄模拟)已知函数f(x)=(a2+4a-5)x2-4(a-1)x+3,若f(x)0恒成立,则实数a的取值范围是_.【解析】由a2+4a-5=0,得a=1或a=-5,当a=1时,f(x)=30恒成立,满足题意,当a=-5时,f(x)=24x+30,即x-,显然不满足题意,当a2+4a-50时,由题意得 18222a4a50,4(a 1)12(a4a5)0,解得1a19.综上所述,a1,19.答案:1,19
