1、甘肃省兰州市教育局第四片区2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试题注意事项：1.答题前填好自己的姓名、班级、考号等信息；2.请将正确答案填写在答题卡上；卷I（选择题）一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1. 记函数的导函数为若，则（）A. B. C. D. 2. 已知空间向量，.若，则实数的值为（）A. 2B. 1C. 1D. 23. 用反证法证明命题“已知，是自然数，若，则，中至少有一个不小于”，提出的假设应该是（）A. ，都不小于B. 至少有一个不小于C. ，都小于D. ，至少有一个小于4. 函数导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（）A. 是函数的
2、极值点B. 是函数的最小值点C. 在区间上单调递增D. 在处切线的斜率大于零5. （）AB. C. D. 6. 曲线f(x)=在点(-1，-1)处的切线方程为（）A. y=2x+1B. y=2x-1C. y=-2x-3D. y=-2x-27. 若函数f(x)axln x在x处取得极值，则实数a的值为()A. B. C. 2D. 8. 如图所示，在正四棱柱中，分别是和的中点，则异面直线与所成的角为（）A. 90B. 60C. 45D. 309. 用数学归纳法证明不等式时，从“到”左边需增加的代数式为（）A. B. C. D. 10. 若函数存在极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.
3、 11. 如图，在正方体中，分别为棱，的中点，则与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D. 12. 已知是定义在上的奇函数，其导函数为且当时，则不等式的解集为（）A. B. C. D. 卷II（非选择题）二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 已知为奇函数，当时，则_14. 在正方体中，点E是线段的中点，则直线与所成角的余弦值是_15. 如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分（由对角线及函数围成）的概率为_.16. 如图，空间四边形的各边长均相等，平面平面，给出下列四个结论：；异面直线与所成的角为；为等边三角形；与平面所成的角为.其中正确结
4、论的序号是_.(请将正确结论的序号都填上)三、解答题（本题共计 6 小题，共计70分）17已知函数.（1）求函数单调区间；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.18. 已知数列，且为该数列的前项和.（1）猜想数列的通项公式；（2）计算，猜想的表达式，并用数学归纳法证明；20. 如图在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上一点，.（1）求二面角的大小；（2）求点到平面的距离.21. 已知函数（1）若，求导函数曲线与直线，及轴所围成面积；（2）求的单调区间23. 如图，在直三棱柱中，侧棱，且M，N分别为BB1，AC的中点，连接MN（1）证明：平面；（2）若BA=BC=2，求二面角的平面角的大小25. 已
5、知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，求函数在上的最小值；（3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】A【9题答案】【答案】D【10题答案】【答案】B【11题答案】【答案】D【12题答案】【答案】B【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】【16题答案】【答案】【17题答案】【答案】（1）增区间是，减区间是；（2），.【详解】（1）函数的定义域为，,由解得，由，可得，所以函数增区间是，由，可得，所
6、以函数减区间是.（2）10由上表可知：，.【18题答案】【答案】（1）（2），证明见解析【小问1详解】根据题意可得【小问2详解】，所以.用数学归纳法证明这个猜想当时，左边右边，猜想成立假设当时猜想成立，即所以，当时猜想也成立根据（1）和（2），可知猜想对任何都成立【20题答案】【答案】（1）；（2）【详解】解：（1）以为原点，向量，的方向分别为，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：，设平面的一个法向量为，由，得，令，则，所以，取平面的一个法向量为，设二面角的大小为，由图可知为锐角，即二面角的大小为；（2）由（1）知平面的一个法向量为，又，点到平面的距离.【21题答案】【答案】（1）（2）当
7、时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为【小问1详解】由已知，当时，导函数曲线与直线，及坐标轴所围成的面积为：.【小问2详解】由题得，当时，则当时恒成立，即当时恒成立，函数单调递增区间为；当时，令可得，当时，；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为综上，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为【23题答案】【小问1详解】如图，取的中点P，连接，N为AC的中点，且又，四边形B1MNP是平行四边形，又平面，MN平面，平面【小问2详解】如图，做，交于，以点B为原点，为轴，BC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，直三棱柱的底面ABC的边长B
8、A=BC=2，侧棱，设平面AB1C1的法向量为因为，所以令x=1，则，平面的一个法向量为，由图知二面角的平面角为锐角，二面角的平面角的大小为【25题答案】【小问1详解】当时，即函数的单调递增区间为. 当时，令，可得，当时，当时，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.【小问2详解】当，即时，函数在区间上是减函数，所以的最小值是.当，即时，函数在区间上是增函数，所以的最小值是.当，即时，函数在上是增函数，在上是减函数 .又，所以当时，最小值是；当时，最小值为.综上可知，当时，函数最小值是；当时，函数的最小值是.【小问3详解】，原不等式等价于对恒成立，对恒成立，令，在单调递增，在单调递减，的取值范围是
