1、第九章概率、统计与统计案例第三节 几何概型基础梳理1几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型2几何概型的特点(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有_个(2)等可能性：试验结果在每一个区域内_分布3几何概型的概率公式P(A)构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.长度(面积或体积)无限多 均匀 1一个概念一测度几何概型的概率公式中的“测度(即构成事件的区域)”只与大小有关，而与形状和位置无关2两种方法判断几何概型几何度量形式的两种方法(1)当题干是双重变量问题，一般与面积
2、有关系(2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域：若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量是否在等可能变化的区域四基自测1(基础点：面积型的几何概型)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()答案：A2(基础点：区间长度型的几何概型)在区间2，3上随机选取一个数 X，则 X1的概率为()A.45 B.35C.25D.15答案：B3(基础点：时间型几何概型)某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报
3、时，则他等待的时间少于 20 分钟的概率为_答案：134(基础点：面积型的几何概型)求在半径为 r 的圆内随机撒一粒黄豆，它落在圆内接等腰直角三角形内的概率为_答案：1考点一 与长度型有关的几何概型挖掘 1 与线段长度有关的几何概型/自主练透例 1(2020长春模拟)已知线段 AC16 cm，先截取 AB4 cm 作为长方体的高，再将线段 BC 任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过 128 cm3 的概率为_解析 设长方体的长为 x，宽为 12x，由 4x(12x)128，得 x212x320，4x8，即在线段 BC 内，截取点 D，满足 BD(4，8)，其概率为8412 13.
4、答案 13挖掘 2 与角度有关的几何概型/互动探究例 2 如图所示，在直角坐标系内，射线 OT 落在 30角的终边上，任作一条射线 OA，则射线 OA 落在yOT 内的概率为_解析 因为射线 OA 在坐标系内是等可能分布的，所以 OA 落在yOT 内的概率为6036016.答案 16挖掘 3 与时间有关的几何概型/互动探究例 3 某单位试行上班刷卡制度，规定每天 8：30 上班，有 15 分钟的有效刷卡时间(即 8：158：30)，一名职工在 7：50 到 8：30 之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，则他能有效刷卡上班的概率是()A.23 B.58C.13D.38解析 该职工在 7：50
5、到 8：30 之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，设其构成的区域为线段 AB，且 AB40，职工的有效刷卡时间是 8：15 到 8：30 之间，设其构成的区域为线段 CB，且 CB15，如图，所以该职工有效刷卡上班的概率 P154038，故选 D.答案 D挖掘 4 与不等式有关的几何概型/自主练透例 4 在区间0，2上随机地取一个数 x，则事件“1log12x12 1”发生的概率为()A.34 B.23 C.13 D.14解析 由1log12x12 1，得12x122，0 x32，P32234.答案 A破题技法 与长度型有关的几何概型的常见类型题点解读适合题型与线段长度有关将已知总长度的线段
6、截断型的概率明显的线段长度与角度有关点的旋转、形成角度的概率点(射线)旋转问题与时间有关将某段时间进行分段的概率时间分段问题与不等式有关解不等式其解集是一个变量的范围的概率一元不等式问题考点二 与面积有关的几何概型及模拟试验挖掘 1 与平面几何的面积有关/互动探究例 1(1)(2017高考全国卷)如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A.14 B.8 C.12 D.4解析 设正方形边长为 2，则圆半径为 1，则正方形的面积为 224，圆的面积为12，图中黑色部分的面积为
7、2，则此点取自黑色部分的概率为248.答案 B(2)(2020福州质检)如图，在菱形 ABCD 中，AB2，ABC60，以该菱形的 4 个顶点为圆心的扇形的半径都为 1.若在菱形内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是_解析 依题意，菱形中空白部分的面积总和等于一个半径为 1 的圆的面积，菱形ABCD 的面积为 22sin 602 3.所以该点落在阴影部分的概率 P1 2 3136.答案 1 36 挖掘 2 与解析几何有关的面积/互动探究例 2(1)已知以原点 O 为圆心，1 为半径的圆以及函数 yx3 的图像如图所示，则向圆内任意投掷一粒小米(视为质点)，则该小米落入阴影部分的概率为()A.
8、12 B.14 C.16 D.18解析 由图形的对称性知，所求概率为141212 14.故选 B.答案 B(2)(2020湖南衡阳联考)已知圆 C：(x2)2y22，在圆 C 内随机取一点 M，直线OM 交圆 C 于 A，B 两点(O 为坐标原点)，则|AB|2 的概率为_解析 由已知得 C(2，0)，当|AB|2 时，ACB90，所以当|AB|2 时，点 M 在如图所示的阴影部分，S 阴影221 2，所以|AB|2 的概率 PS阴影S圆 22 121.答案 121挖掘 3 随机模拟的应用/互动探究例 3(2020安徽合肥模拟)如图是一个正六边形及其内切圆，现采取随机模拟的方法估计圆周率 的值
9、随机撒一把豆子，若落在正六边形内的豆子个数为 N，落在正六边形内切圆内的豆子个数为 M，则估计圆周率 的值为()A.2 3MN B.3MN C.3MN D.2 3MN解析 设正六边形的边长为 1，则其内切圆的半径为 32，依题意得，（32）26 34 12MN，解得 2 3MN，故选 D.答案 D破题技法 与面积有关的几何概型：求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解考点三 与体积有关的几何概型例(2020长沙模拟)在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 O 为底面 ABCD的中心，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为_解析 V 正238，V 半球12431323.V半球V正 283 12，P1 12.答案 1 12破题技法 与体积有关的几何概型：对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件求解课时规范练
