1、2020交大附中高三数学开学摸底考试卷2020.09一. 填空题1. 已知集合，则 2. 已知是虚数单位，则复数的虚部是 3. 已知一组数据4、5、6的平均数为4，则的值是 4. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 5. 的展开式中的系数为 6. 如果方程的两个根为、，那么的值为 7. 设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，已知数列的前项和（），则的值是 8. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的，已知螺帽的底面正六边形边长为2，高为2，内孔半径为0.5，则此六角螺帽毛坯的体积是 9. 将函数的图像向右平移个单位长度，则平移后的图
2、像中与轴最近的对称轴的方程 10. 已知（），则的最小值是 11. 在中，在边上，延长到，使得，若（为常数），则的长度是 12. 在平面直角坐标系中，已知，、是上的两个不同的动点，满足，且恒成立，则实数最小值是 二. 选择题13. 函数在区间上的图像可能是（ ）A. B. C. D. 14. 已知、为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 15. 若点在函数的图像上，为函数的反函数，设、，则有（ ）A. 点、有可能都在函数的图像上B. 只有点不可能在函数的图像上C. 只有点不可能在函数的图像上 D. 点、都不可能在函数的图像上16. 设集合、，、
3、中至少有2个元素，且、满足：对于任意的，若，则；对于任意的，若，则；下列命题正确的是（ ）A. 若有4个元素，则有7个元素 B. 若有4个元素，则有6个元素C. 若有3个元素，则有5个元素 D. 若有3个元素，则有4个元素三. 解答题17. 在三棱锥中，已知，为的中点，平面，为的中点.（1）求直线与所成角的余弦值；（2）若点在上，满足，设二面角的大小为，求的值.18. 在锐角中，角、所对的边分别为、，已知.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.19. 已知函数.（1）画出的图像；（2）求不等式的解集；（3）若不等式，对于任意的，任意的恒成立，求实数的取值范围. 20. 在平面直角坐标系中，已知
4、椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在第一象限内，直线与椭圆相交于另一点.（1）求的周长；（2）在轴上任取一点，直线与直线相交于点，求的最小值；（3）设点在椭圆上，记与的面积分别为、，若，求点的坐标.21. 已知数列（）的首项，前项和为，设与是常数，若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列.（1）若等差数列是“”数列，求的值；（2）若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；（3）对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案一. 填空题1. 2. 1 3. 2 4. 5. 15 6. 7. 4 8. 9. 10. 11. 或0 12.
5、 49二. 选择题13. A 14. A 15. D 16. A三. 解答题17.（1）连结OC，CB =CD，O为BD中点，COBD，又AO平面BCD，AOOB，AOOC，以为基底，建立空间直角坐标系，BD = 2，AO = 2，B（1，0，0），D（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），E为AC的中点，E（0，1，1），则，直线AB与DE所成角的余弦值为.（2）点F在BC上，又，设为平面DEF的一个法向量，则即，取，得，设为平面DEC的一个法向量，又，则即，取，得，18.（1）由正弦定理得：，由题意得.（2）由得：，由是锐角三角形得，由得，的取值范围是.19.（1）由题设知 的
6、图像如图所示.（2）函数的图像向左平移1个单位长度后得到函数的图像，的图像与的图像的交点坐标为，由图像可知当且仅当时，的图像在的图像上方，不等式的解集为 （3）由函数图像性质可知，当时，取得最小值，则原问题转化为 对任意恒成立，记函数，要使对任意恒成立，只需，解得： 或.20.（1）椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，的周长为.（2）设，则， 在时取等号，的最小值为.（3）椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在第一象限内，则，直线设，点到直线距离等于点到直线距离的3倍，由此得：，则或，由得：，此方程无解；由得：，或，代入直线，对应分别得或.点的坐标为或.21.（1）等差数列是“1”数列，则，
7、即，也即，此式对一切正整数均成立，若，则恒成立，而，这与是等差数列矛盾，（此时，任意首项为1的等差数列都是“11”数列）（2）数列是“”数列，即，则，令，则，即，解得：，即，也即，数列是公比为4的等比数列，则（3）设各项非负的数列为“”数列，则，即，而，则，令，则，即（*） 若或，则（*）只有一解为，即符合条件的数列只有一个；（此数列为1，0，0，0，）若，则（*）化为，则（*）只有一解为，即符合条件的数列只有一个；（此数列为1，0，0，0，）若，则的两根分别在（0，1）与（1，+）内，则方程（*）有两个大于或等于1的解：其中一个为1，另一个大于1（记此解为t），或，由于数列从任何一项求其后一项均有两种不同结果，这样的数列有无数多个，则对应的有无数多个；综上：能存在三个各项非负的数列为“”数列，的取值范围是 第 8 页 共 8 页
