1、第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例A组基础题组1.已知=(2,1),点C(-1,0),D(4,5),则向量在方向上的投影为()A.-B.-3C.D.32.(2017北京东城二模)已知向量a=(1,2),b=(x,4),且ab,那么x的值为()A.-2B.-4C.-8D.-163.(2015北京通州一模)在正方形ABCD中,已知AB=3,E是CD的中点,则等于()A. B.6C. D.4.设向量a,b满足|a|=1,|a-b|=,a(a-b)=0,则|2a+b|=()A.2B.2C.4D.45.(2018北京海淀期末)在ABC中,AB=AC=1,D是AC边的中点,则的取值范围是()A.B.
2、C.D.6.(2017北京东城期末)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=5,b=7,c=8,则等于.7.(2015北京朝阳一模)已知平面向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60,则a(a+b)=.8.(2016北京西城二模)设平面向量a,b满足|a|=|b|=2,a(a+b)=7,则向量a,b夹角的余弦值为.9.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角;(2)求|a+b|和|a-b|.10.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x.(1)若mn,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为,求
3、x的值.B组提升题组11.(2016北京西城一模)在平面直角坐标系xOy中,向量=(-1,2),=(2,m),若O,A,B三点能构成三角形,则()A.m=-4B.m-4C.m1D.mR12.(2015北京十三中模拟)ABC外接圆的半径为1,圆心为O,且3+4+5=0,则的值为()A.- B. C.- D.13.(2017北京东城一模)已知ABC中,A=120,且AB=AC=2,那么BC=,=.14.(2017北京,12,5分)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则的最大值为.15.(2017北京海淀二模)已知O为原点,点P为直线2x+y-2=0上的任意一点,非零向
4、量a=(m,n).若a恒为定值,则=.16.(2017北京丰台期末)如图,边长为2的正三角形ABC放置在平面直角坐标系xOy中,AC在x轴上,顶点B与y轴上的定点P重合.将正三角形ABC沿x轴正方向滚动,即先以顶点C为旋转中心顺时针旋转,当顶点B落在x轴上时,再以顶点B为旋转中心顺时针旋转,如此继续.当ABC滚动到A1B1C1时,顶点B运动轨迹的长度为;在滚动过程中,的最大值为.17.已知在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),mn=sin 2C.(1)求角C的大小;(2)若sin A,sin C,sin B成等差数列
5、,且(-)=18,求c.答案精解精析A组基础题组1.C因为点C(-1,0),D(4,5),所以=(5,5),又=(2,1),所以向量在方向上的投影为|cos=.2.Ca=(1,2),b=(x,4),且ab,x+8=0,x=-8.3.C由题意得=(-)=|2-|2=,故选C.4.B由a(a-b)=0,可得ab=a2=1,由|a-b|=,可得(a-b)2=3,即a2-2ab+b2=3,解得b2=4.故(2a+b)2=4a2+4ab+b2=12,所以|2a+b|=2.5.A在ABC中,AB=AC=1,D是AC的中点,=,=(-)=-+=-+cos A.cos A(-1,1),-+cos A,故选A.
6、6.答案44解析由a=5,b=7,c=8,得cos A=.=cbcos A=87=44.7.答案解析a(a+b)=|a|2+ab=1+|a|b|cos 60=1+cos 60=.8.答案解析|a|=|b|=2,且a(a+b)=7,aa+ab=7.|a|2+|a|b|cos=7.4+4cos=7.cos=.9.解析(1)由(2a-3b)(2a+b)=4|a|2-4ab-3|b|2=61及|a|=4,|b|=3得ab=-6,cos =-.又0,=.(2)|a+b|=.同理,|a-b|=.10.解析(1)mn,mn=0,故sin x-cos x=0,tan x=1.(2)m与n的夹角为,cos=,故
7、sin=.又x,x-,则x-=,即x=,故x的值为.B组提升题组11.B=(-1,2),=(2,m),若O,A,B三点能构成三角形,则与不能平行,即.m-4.故选B.12.A因为3+4+5=0,所以3+4=-5,两边平方得,9+24+16=25,由题意可知,|=|=|=1,代入式可得=0,所以=-(3+4)(-)=-(3-3+4-4)=-.故选A.13.答案2;-6解析ABC中,A=120,且AB=AC=2,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcos A=22+22-222cos 120=12,BC=2.=(-)(-)=-+=-22+22cos 120=-6.14.答案6解析解法一:
8、表示在方向上的投影与|的乘积,当P在B点时,有最大值,此时=23=6.解法二:设P(x,y),则=(2,0)(x+2,y)=2x+4,由题意知-1x1,x=1时,取最大值6,的最大值为6.15.答案2解析设点P(t,2-2t),则=(t,2-2t),所以a=tm+(2-2t)n.设a=,则=tm+(2-2t)n,(m-2n)t+2n=,当m-2n=0时,a恒为定值,此时=2.16.答案;2解析根据题意知,点B的轨迹为两个圆弧和一个点,且圆弧所对的圆心角为,圆弧的半径为2,顶点B运动轨迹的长度为22=.=(0,),设B(x,y),没滚动前点B的坐标为(0,),=3;第一次滚动过程中点B的纵坐标y
9、2,2;第二次滚动过程中点B的坐标为(3,0),=0;第三次滚动过程中点B的纵坐标y2;2.的最大值为2.17.解析(1)mn=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B),在ABC中,A+B=-C,0C,sin(A+B)=sin C,mn=sin C,又mn=sin 2C,sin 2C=sin C,cos C=,则C=.(2)由sin A,sin C,sin B成等差数列,可得2sin C=sin A+sin B,由正弦定理得2c=a+b.(-)=18,=18,即abcos C=18,ab=36.由余弦弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab,c2=4c2-336,c2=36,c=6.
