1、第三章三角恒等变换本章复习提升易混易错练易错点1忽略角的范围致错1.()已知sin =-45,32,求cos2的值.2.()已知02,-20,cos4+=13,cos4-2=33.(1)求cos 的值;(2)求cos+2的值.3.(2018山东烟台栖霞一中高一下期末,)已知函数f(x)=2cos x(sin x-cos x)+1,xR.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在区间8,34上的最小值和最大值.易错点2忽略角的特殊关系致错4.()若sin3-=13,则cos3+2=()A.-79B.23C.-23D.795.()若cos4-=35,sin4+=1213,4,34,0
2、,4,则cos(+)=()A.1665B.-5665C.-3365D.63656.()已知,为锐角,sin =13,cos(+)=45.(1)求cos-3的值;(2)求sin 的值.易错点3不能灵活运用公式变形致错7.()计算cos 70cos 335+sin 110sin 25的结果是()A.22B.1C.32D.128.()已知sin x-sin y=-23,cos x-cos y=23,且x,y为锐角,则tan(x-y)的值是()A.2145B.-2145C.2145D.-1414思想方法练一、变换思想在三角函数求值中的应用1.(2019重庆高三调研,)已知为锐角,且tan+8=2,则s
3、in 2=()A.210B.3210C.7210D.3242.(2019辽宁沈阳高一下期末,)已知tan4+=3,则sin 2-2cos2=()A.-1B.-45C.45D.-343.(2019陕西黄陵中学高一上期末,)已知cos +cos =12,sin +sin =32,则cos(-)=.4.(2020四川泸州泸化中学高一月考,)已知函数f(x)=cos2x+3sin xcos x+1,xR.(1)求f(x)的最小正周期和最值;(2)设12,3,且f+12=2110,求cos2+12的值.二、转化与化归思想在解决与三角函数性质相关的问题中的应用5.()函数y=2cos2x2+1的最小正周期
4、是()A.4B.2C.D.2三、分类讨论思想在三角恒等变换及三角函数性质中的应用6.()已知函数f(x)=a+2cos2x2cos(x+)为奇函数,且 f 2=0,其中aR,(0,).(1)求a,的值;(2)若2,f2+8+25cos+4cos 2=0,求cos -sin 的值.四、数形结合思想在解三角函数问题中的应用7.(2019山东烟台栖霞一中高一下期末,)若函数f(x)=sin x+3cos x+a在(0,2)内有两个不同的零点,.(1)求实数a的取值范围;(2)求tan(+)的值.五、换元思想在处理三角函数问题中的应用8.(2020山西大学附中高一月考,)已知函数f(x)=cos2x-
5、3+2sinx-4cosx-4,x-12,2.(1)若f(x)a恒成立,求a的取值范围;(2)令g(x)=f 2(x)+2mf(x)+2m+1,求g(x)的最小值h(m)的表达式.答案全解全析第三章三角恒等变换本章复习提升易混易错练1.解析32,sin =-45,cos =-35,2234,cos 2=-1+cos2=-55.2.解析(1)02,44+34.cos4+=13,sin4+=223,cos =cos4+-4=cos4+cos 4+sin4+sin 4=1322+22322=2+46.(2)-20,44-22.cos4-2=33,sin4-2=63.cos+2=cos4+-4-2=c
6、os4+cos4-2+sin4+sin4-2=1333+22363=539.3.解析(1)由题意得f(x)=2cos x(sin x-cos x)+1=sin 2x-cos 2x=2sin2x-4,函数f(x)的最小正周期T=22=.(2)解法一:8x34,02x-454,当02x-42,即8x38时,f(x)单调递增;当22x-454,即38x34时,f(x)单调递减.当x=38时,f(x)取得最大值,且最大值为f38=2;又f8=0,f34=2sin32-4=-2cos4=-1,函数f(x)在区间8,34上的最小值为-1.解法二:作出函数f(x)=2sin2x-4在区间8,34上的图象,如
7、图所示.由图象得函数f(x)在区间8,34上的最大值为f38=2,最小值为f34=-1.4.Asin3-=cos2-3-=cos6+=13,cos3+2=cos2(6+)=2cos26+-1=2132-1=-79.故选A.5.C因为4,34,所以4-2,0,所以sin4-=-1-925=-45.因为0,4,所以4+4,2,所以cos4+=1-144169=513,所以cos(+)=cos4+-4-=cos4+cos4-+sin4+sin4-=51335+1213-45=-3365,故选C.6.解析(1)为锐角,sin =13,cos =1-sin2=223.cos-3=cos cos3+sin
8、 sin3=22312+1332=22+36.(2),为锐角,+(0,),由cos(+)=45得sin(+)=1-cos2(+)=35,sin =sin(+)-=sin(+)cos -cos(+)sin =35223-4513=62-415.7.Acos 70cos 335+sin 110sin 25=cos 70cos 25+sin 70sin 25=cos(70-25)=cos 45=22.故选A.8.Bsin x-sin y=-23,cos x-cos y=23,(sin x-sin y)2=49,(cos x-cos y)2=49,两式左、右两边分别相加得2-2sin xsin y-2
9、cos xcos y=89,cos(x-y)=59.x,y为锐角,sin x-sin y0,xy,sin(x-y)=-1-cos2(x-y)=- 2149,tan(x-y)=sin(x-y)cos(x-y)=-214959 =-2145.故选B.思想方法练1.Ctan2(+8)=2tan(+8)1-tan2(+8)=221-4=-43,又tan2(+8)=tan2+4=1+tan21-tan2=-43,tan 2=7,sin22=tan221+tan22=491+49=4950.是锐角,02,sin 2=7210,故选C.2.Btan4+=1+tan1-tan=3,tan =12,则sin 2
10、-2cos2=sin2-2cos21=2sincos-2cos2sin2+cos2=2tan-2tan2+1=-45.故选B.3.答案-12解析cos +cos =12,sin +sin =32,两式两边分别平方并相加得cos2+cos2+2cos cos +sin2+sin2+2sin sin =1,整理得cos cos +sin sin =cos(-)=-12.4.解析(1)f(x)=cos2x+12+32sin 2x+1=12cos 2x+32sin 2x+32=sin2x+6+32,函数f(x)的最小正周期是,最大值为52,最小值为12.(2)f+12=2110,sin2+12+6+3
11、2=2110,故sin2+3=35.12,3,2+32,cos2+3=-45.cos2+12=cos2+3-4=cos2+3cos4+sin2+3sin4=-45+3522=-210.5.By=2cos2x2+1=2cos2x2-1+2=cos x+2,函数的最小正周期T=2.6.解析(1)因为f(x)=a+2cos2x2cos(x+)是奇函数,所以a+2cos2x2cos(x+)=-a+2cos2x2cos(-x+),整理得cos xcos =0,所以cos =0.又(0,),所以=2,所以f(x)=-sin xa+2cos2x2,由f2=0,得-(a+1)=0,即a=-1.(2)由(1)知
12、f(x)=-12sin 2x,因为f2+8+25cos+4cos 2=0,所以sin+4=45cos+4cos 2.因为cos 2=sin2+ 2=sin2+4=2sin+4cos+4,所以sin+4=85cos2+4sin+4,又2,所以+434,54,所以sin+4=0或cos2+4=58.由sin+4=0,34+454,得+4=,所以=34,所以cos -sin =cos 34-sin 34=-2.由cos2+4=58,34+454,得cos+4=-104,所以22(cos -sin )=-104,所以cos -sin =-52.综上,cos -sin 的值为-2或-52.7.解析(1)
13、f(x)=sin x+3cos x+a=212sinx+32cosx+a=2sinx+3+a, 函数f(x)=sin x+3cos x+a在(0,2)内有两个不同的零点,关于x的方程sin x+3cos x+a=0在(0,2)内有两个不同的解,即方程sinx+3=-a2在(0,2)内有两个不同的解.作出y=sinx+3在(0,2)上的图象.结合图象可得,若方程有两个不同的解,则满足-1- a21且-a232,解得-2a2且a-3.实数a的取值范围是(-2,-3)(-3,2).(2) ,是方程sin x+3cos x+a=0的两个不同的解,sin +3cos +a=0, sin +3cos +a
14、=0, -得(sin -sin )+3(cos -cos )=0,2sin-2cos+2-23sin+2sin-2=0,又sin-20,tan+2=33,tan(+)=2tan+21-tan2+2=3.8.解析(1)f(x)=cos2x-3+2sinx-4cosx-4=cos2x-3+sin2x-2=12cos 2x+32sin 2x-cos 2x=32sin 2x-12cos 2x=sin2x-6,f(x)a恒成立,只需f(x)mina即可.x-12,2,2x-6-3,56,当2x-6=-3,即x=-12时,f(x)有最小值-32,故a-32.(2)令f(x)=t,t-32,1,(t)=t2+2mt+2m+1=(t+m)2-m2+2m+1,当-m-32,即m32时,h(m)=-32=(2-3)m+74;当-32-m1,即-1m1,即m-1时,h(m)=(1)=4m+2.综上,h(m)=4m+2,m-1,-m2+2m+1,-1m32,(2-3)m+74,m32.
