1、第七章 立体几何第四节 平行关系基础梳理1直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与_的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行 线面平行)因为_，所以 l此平面内la，a，l性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的_与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”)因为_，_，所以 lb交线l，lb2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条_与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)因为_，_，所以相交直线a，b，abPa，b性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面_
2、，那么它们的_平行因为_，_，所以 ab相交交线，ab1判定定理序号文字语言图形语言符号语言判定定理 2如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行ll 判定定理 3平行于同一个平面的两个平面平行 2.性质定理序号文字语言图形语言符号语言性质定理 2如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 且 a a性质定理 3如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 且 l l3.线线平行、线面平行、面面平行的相互转化利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化，解决平行关系的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再
3、到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反在实际应用中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用四基自测1(易错点：线面平行的性质)下列命题中正确的是()A若 a，b 是两条直线，且 ab，那么 a 平行于经过 b 的任何平面B若直线 a 和平面 满足 a，那么 a 与 内的任何直线平行C平行于同一条直线的两个平面平行D若直线 a，b 和平面 满足 ab，a，b，则 b答案：D2(基础点：线面平行的判定)下列四个正方体图形中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB平面 MNP 的图形的序号是()A BCD答案：C3(基础点：空间平行关系的判定)在正方
4、体 ABCD-A1B1C1D1 中，下列结论正确的是_(填序号)AD1BC1；平面 AB1D1平面 BDC1；AD1DC1；AD1平面 BDC1.答案：4(易错点：面面平行的性质)如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M、N、E、F 分别为棱的中点，则AMN 与梯形 DBEF 的各边关系中，相互平行的有_答案：MNEFBD，AMDF，ANBE考点一 直线与平面平行的判定与性质挖掘 线面平行的条件与结论/自主练透例(1)(2020河南洛阳联考)设 l，m 是两条不同的直线，是两个不同的平面，且 l，m，下列结论正确的是()A若，则 l B若 lm，则 C若，则 lD若 lm，则 解析
5、对于 A，l，只有加上 l 垂直于 与 的交线，才有 l，所以 A 错误；对于 B，若 lm，l，m，则 与 可能平行，也可能相交但不垂直，所以 B 错误；对于 C，若，l，由面面平行的性质可知，l，所以 C 正确；对于 D，若 lm，l，m，则 与 可能平行，也可能相交，所以 D 错误答案 C(2)(2019高考全国卷节选)如图，直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点证明：MN平面 C1DE.证明 因为 M，E 分别为 BB1，BC 的中点，所以 MEB1C，且 ME12B1C.又因为 N 为 A1D
6、 的中点，所以 ND12A1D.由题设知 A1B1 綊 DC，可得 B1C 綊 A1D，故 ME 綊 ND，因此四边形 MNDE 为平行四边形，MNED.又 MN平面 C1DE，所以 MN平面 C1DE.(3)如图所示，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 3 的菱形，ABC60.PA平面 ABCD，且 PA3.F 在棱 PA 上，若 F 为 PA 的中点，求证 PC平面 BDF；若 AF1，E 在棱 PD 上，且 CE平面 BDF，求 PEED 的值解析 证明：连接 AC，ACBDO，由 ABCD 为菱形知 O 为 AC 的中点，F 为 PA 的中点，OFPC.OF平面 BDF，
7、PC平面 BDF.PC平面 BDF.过 E 作 EGFD 交 AP 于 G，连接 CG，FO.EGFD，EG平面 BDF，FD平面 BDF，EG平面 BDF，又 EGCEE，CE平面 BDF，EG，CE平面 CGE，平面 CGE平面 BDF，又 CG平面 CGE，CG平面 BDF，又平面 BDF平面 PACFO，CG平面 PAC，FOCG.又 O 为 AC 的中点，F 为 AG 中点，FGGP1，E 为 PD 的中点，PEED11.破题技法 线线、线面平行的证明方法方法关键适用题型利用线面平行的判定定理证线面平行在该平面内找或作一直线，证明其与已知直线平行平行线易作出利用面面平行的性质证线面平
8、行过该线找或作一平面，证明其与已知平面平行面面平行较明显利用线面平行性质证线线平行过线作平面，产生交线已知线面平行考点二 平面平行的判定与性质挖掘 平面平行的判定与应用/自主练透例(1)已知 m，n，l1，l2 表示不同直线，、表示不同平面，若 m，n，l1，l2，l1l2M，则 的一个充分不必要条件是()Am 且 l1 Bm 且 nCm 且 nl2Dml1 且 nl2解析 对于选项 A，当 m，且 l1 时，可能平行也可能相交，故 A 中条件不是 的充分条件；对于选项 B，当 m 且 n 时，若 mn，则，可能平行也可能相交，故 B 中条件不是的充分条件；对于选项 C，当 m且 nl2 时，
9、可能平行也可能相交，故 C 中条件不是 的充分条件；对于选项 D，当 ml1，nl2 时，由线面平行的判定定理可得 l1，l2，又 l1l2M，由面面平行的判定定理可以得到，但 时，ml1 且 nl2 不一定成立，故 D 中条件是 的一个充分条件故选 D.答案 D(2)(2020安徽蚌埠二模改编)如图所示，菱形 ABCD 的边长为 2，D60，点 H为 DC 的中点，现以线段 AH 为折痕将菱形折起，使点 D 到达点 P 的位置且平面PHA平面 ABCH，点 E，F 分别为 AB，AP 的中点求证：平面 PBC平面 EFH.证明 菱形 ABCD 中，E，H 分别为 AB，CD 的中点，所以 B
10、E 綊 CH，所以四边形 BCHE 为平行四边形，则 BCEH，又 EH平面 PBC，所以 EH平面 PBC.又点 E，F 分别为 AB，AP 的中点，所以 EFBP，又 EF平面 PBC，所以 EF平面 PBC.而 EFEHE，所以平面 EFH平面 PBC.(3)如图所示，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 是菱形，四边形 BDEF 是矩形，平面 BDEF平面 ABCD，G 和 H 分别是 CE 和 CF 的中点求证：平面 BDGH平面 AEF.证明 在CEF 中，因为 G，H 分别是 CE，CF 的中点，所以 GHEF，又因为 GH平面 AEF，EF平面 AEF，所以 GH平面 A
11、EF，连接 AC，设 ACBDO，连接 OH(图略)，在ACF 中，因为 OAOC，CHHF，所以 OHAF，又因为 OH平面 AEF，AF平面 AEF，所以 OH平面 AEF.又因为 OHGHH，OH，GH平面 BDGH，所以平面 BDGH平面 AEF.破题技法 判定面面平行的 4 种方法(1)面面平行的定义，即判断两个平面没有公共点(2)面面平行的判定定理(3)垂直于同一条直线的两平面平行(4)平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行考点三 平行关系的探索问题挖掘 1 探索条件(开放性问题)/自主练透例 1(1)(2020福建泉州模拟)如图所示，在正方体 ABCD
12、-A1B1C1D1 中，O 为底面 ABCD 的中点，P 是 DD1 的中点，设 Q 是 CC1 上的点，当点 Q_时，平面 D1BQ平面 PAO()A与 C 重合 B与 C1 重合C为 CC1 的三等分点D为 CC1 的中点解析 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，O 为底面 ABCD 的中心，P 是 DD1 的中点，POBD1，当点 Q 为 CC1 的中点时，连接 PQ，则 PQ 綊 AB，四边形 ABQP 是平行四边形，APBQ，APPOP，BQBD1B，AP、PO平面 PAO，BQ、BD1平面 D1BQ，平面 D1BQ平面 PAO.故选 D.答案 D(2)如图所示，在斜三棱柱 A
13、BCA1B1C1 中，D，D1 分别是 AC，A1C1 上的点，当ADDC，A1D1D1C1分别为何值时，平面 BC1D平面 AB1D1.解析 如图所示，连接 A1B 与 AB1 交于点 O，连接 OD1.因为平面 BC1D平面AB1D1，且平面 A1BC1平面 BDC1BC1，平面 A1BC1平面 AB1D1OD1，所以BC1OD1.同理 AD1DC1.由 BC1OD1，得A1D1D1C1A1OOB 1，即 A1D1D1C1.由 AD1DC1，ADD1C1，得四边形 ADC1D1 是平行四边形，所以 ADD1C1，所以 A1D1DC.所以DCADA1D1D1C11，即当ADDCA1D1D1C
14、11 时，平面 BC1D平面 AB1D1.破题技法 对平行关系条件的探索常采用以下三种方法：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；(3)把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件挖掘 2 探究结论(创新性问题)/互动探究例 2(1)如图，透明塑料制成的长方体容器 ABCD-A1B1C1D1 内灌进一些水，固定容器底面一边 BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：没有水的部分始终呈棱柱形；水面 EFGH 所在四边形的面积为定值；棱 A1D1 始终与水面所在平面平行；当容器倾斜如图所示时，BEBF
15、 是定值其中正确命题的个数是()A1 B2C3 D4解析 由题图，显然是正确的，是错误的；对于，A1D1BC，BCFG，A1D1FG 且 A1D1平面 EFGH，FG平面 EFGH，A1D1平面 EFGH(水面)是正确的；对于，水是定量的(定体积 V)，SBEFBCV，即12BEBFBCV.BEBF2VBC(定值)，即是正确的，故选 C.答案 C(2)(2018高考全国卷)已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为()A.3 34B2 33C.3 24D.32解析 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，平面 AB1D1 与棱
16、 A1A，A1B1，A1D1 所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与 A1A，A1B1，A1D1 平行，故正方体 ABCD-A1B1C1D1 的每条棱所在直线与平面 AB1D1 所成的角都相等如图所示，取棱 AB，BB1，B1C1，C1D1，DD1，AD 的中点 E，F，G，H，M，N，则正六边形 EFGHMN 所在平面与平面 AB1D1 平行且面积最大，此截面面积为S 正六边形 EFGHMN612 22 22 sin 603 34.故选 A.答案 A破题技法 对平行关系结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设
