1、第七章 立体几何第三节 空间图形的基本关系与公理基础梳理1四个公理(1)公理 1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线在此平面内(2)公理 2：过_的三点，有且只有一个平面(3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们_过该点的公共直线(4)公理 4：平行于同一条直线的两条直线_两点不在一条直线上有且只有一条互相平行2空间两条直线的位置关系(1)位置关系分类：位置关系共面直线直线：同一平面内，有且只有一个公共点；直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在内，没有公共点.相交平行任何一个平面(2)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_(3)异面直线所
2、成的角：定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 作直线 aa，bb，把 a与 b所成的_叫作异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)；范围：_相等或互补锐角(或直角)0，23空间直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点相交_个平行_个直线与平面在平面内_个aA1a0a无数平行_个平面与平面相交_个0l无数1公理的作用公理 1：可用来证明点、直线在平面内公理 2：可用来确定一个平面公理 3：(1)可用来确定两个平面的交线(2)判断或证明多点共线(3)判断或证明多线共点公理 4：(1)可用来判断空间两条直线平行(2)等角定理的理论依据2异面直线的两个结论(1)平面外一点
3、A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线(2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面四基自测1(基础点：平面的概念)下列命题中，真命题是()A空间不同三点确定一个平面B空间两两相交的三条直线确定一个平面C两组对边相等的四边形是平行四边形D和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内答案：D2(基础点：空间直线的关系)若空间三条直线 a，b，c 满足 ab，bc，则直线a 与 c()A一定平行 B一定相交C一定是异面直线D一定垂直答案：D3(易错点：异面直线所成角的概念)如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，则异面直线 B1C
4、与 EF 所成的角的大小为()A30 B45C60 D90答案：C4(拓展点：点、线、面关系的推理)设 P 表示一个点，a，b 表示两条直线，表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是_(填序号)Pa，Pa；abP，ba；ab，a，Pb，Pb；b，P，PPb.答案：考点一 平面的基本性质挖掘 1 共面问题/自主练透例 1(1)如图所示是正方体或四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个是()解析 A，B，C 图中四点一定共面，D 中四点不共面答案 D(2)如图所示，平面 平面 l，A，B，ABlD，C，Cl，则平面ABC 与平面 的交线是()A直线 AC B直线
5、ABC直线 CDD直线 BC解析 由题意知，Dl，l，所以 D，又因为 DAB，所以 D平面 ABC，所以点 D 在平面 ABC 与平面 的交线上又因为 C平面 ABC，C，所以点 C 在平面 与平面 ABC 的交线上，所以平面 ABC平面CD.答案 C破题技法 1.由元素确定平面时，要看元素满足的条件(1)由点确定平面：三点不共线；(2)由点和线确定平面：点不在直线上；(3)由线确定平面：两条相交线，两条平行线2共面问题的证明证明点或线共面，首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合挖掘 2 共点
6、、共线问题/互动探究例 2 如图所示，ABCDA1B1C1D1 是长方体，O 是 B1D1 的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M，则下列结论正确的是()AA，M，O 三点共线BA，M，O，A1 不共面CA，M，C，O 不共面DB，B1，O，M 共面解析 连接 A1C1，AC，则 A1C1AC，所以 A1，C1，C，A 四点共面，所以 A1C平面 ACC1A1，因为 MA1C，所以 M平面 ACC1A1，又 M平面 AB1D1，所以 M 在平面 ACC1A1 与平面 AB1D1 的交线上，同理 O 在平面 ACC1A1 与平面 AB1D1的交线上，所以 A，M，O 三点共线故选 A
7、.答案 A破题技法 1.证明点共线，(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定的直线上2证明线共点，先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点考点二 空间直线的位置关系挖掘 1 异面直线的判定/自主练透例 1 如图所示为正方体表面的一种展开图，则图中的 AB，CD，EF，GH 在原正方体中互为异面直线的有_对解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则 AB，CD，EF 和 GH在原正方体中，显然 AB 与 CD，EF 与 GH，AB 与 GH 都是异面直线，而 AB 与EF 相交，CD 与 GH 相交，CD 与 EF 平行故互为异面
8、直线的有 3 对答案 3破题技法 异面直线的判定方法(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到(2)定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线挖掘 2 平行与垂直的判定/自主练透例 2 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E，F 分别在 A1D，AC 上，且 A1E2ED，CF2FA，则 EF 与 BD1 的位置关系是()A相交但不垂直 B相交且垂直C异面D平行解析 连接 D1E 并延长交 AD 于 M 点(图略)
9、，因为 A1E2ED，可得，M 为 AD中点，连接 BF 并延长交 AD 于 N 点，因为 CF2FA，可得 N 为 AD 中点，所以M，N 重合且MEED112，MFFB12.所以MEED1MFFB，所以 EFBD1.答案 D破题技法 1.线线平行或垂直的判定方法(1)对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理 4 及线面平行与面面平行的性质定理来判断(2)对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直2注意几个“唯一”结论(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(
10、4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直考点三 异面直线所成的角挖掘 1 异面直线所成角的求法/自主练透例 1(1)(2020广东珠海模拟)如图所示，在矩形 ABCD 中，AB4，AD2，P为边 AB 的中点，现将DAP 绕直线 DP 翻转至DAP 处，若 M 为线段 AC 的中点，则异面直线 BM 与 PA所成角的正切值为()A.12 B2C.14D4解析 取 AD 的中点 N，连接 PN，MN，M 是 AC 的中点，MNCD，且 MN12CD，四边形 ABCD 是矩形，P 是 AB 的中点，PBCD，且 PB12CD，MNPB，且 MNPB，四边形 PBMN 为平行四边形，MBPN，
11、APN(或其补角)是异面直线 BM 与 PA所成的角在 RtAPN 中，tanAPNANAP12，异面直线 BM 与 PA所成角的正切值为12.故选 A.答案 A(2)如图所示，在三棱锥 A-BCD 中，ABACBDCD3，ADBC2，点 M，N 分别为 AD，BC 的中点，则异面直线 AN，CM 所成的角的余弦值是_解析 如图所示，连接 ND，取 ND 的中点 E，连接 ME，CE，则 MEAN，则异面直线 AN，CM 所成的角即为EMC.由题可知 CN1，AN2 2，ME 2.又 CM2 2，DN2 2，NE 2，CE 3，则 cos CMECM2EM2CE22CMEM82322 2 27
12、8.答案 78破题技法 求异面直线所成角的方法方法解读适合题型平移法将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解易于作出平行线的题目补形法在该几何体的某侧补接上同样一个几何体，在这两个几何体找异面直线相应的位置，形成三角形求解平行线不易作出的规则几何体挖掘 2 异面直线所成角的应用三种语言转化/互动探究例 2 如图，平面 l，AD 且 ADl，BC 且 BCl，A、Bl.AD与 BC 是异面直线，且所成的角为，ADb，BCc，ABa，求 DC 的长度解析 在平面 内，过 B 作 BE 綊 AD，由异面直线所成角的定义知CBE，四边形 ADEB 为矩形，DEa，在BEC 中，CE2b2c22bccos，由于 ABBC，ABAD，ABCE，即有 DECE.在 RtDEC 中，DC2a2CE2a2b2c22bccos，DC a2b2c22bccos.破题技法 将空间几何中的三种语言要灵活转化，同时，将位置关系转化到平面中：(1)平面 BCE 中，(2)平面 CED 中，利用解三角形求其边长
