1、课时作业(五十)立体几何中的向量方法(二)求空间角和距离一、选择题1长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为A. B.C. D.解析：建立空间直角坐标系如图。则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)。(1,0,2)，(1,2,1)，cos，。答案：B2(2016宁波模拟)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A. B.C. D.解析：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB1，则(1,1,0)，(0,1,2)，(0,1,0)
2、，设平面DBC1的法向量为n(x，y，z)，则取z1，则y2，x2，所以n(2，2,1)，所以sin|cosn，|。答案：A3已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，CC12，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为()A. B.C. D.解析：如图建立空间直角坐标系，则B(4,0,0)，C(4,4,0)，C1(4,4,2)，显然AC平面BB1D1D，(4,4,0)为平面BB1D1D的一个法向量。又(0,4,2)，cos，。即BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.答案：C4(2016厦门模拟)二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于
3、AB。已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为()A150 B45C60 D120解析：由条件知0，0，。|2|2|2|2222624282268cos，(2)2。cos，120，60。二面角的大小为60。答案：C5(2016北京模拟)在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PAPBPCa，则点P到平面ABC的距离为()A.a B.aC.a D.a解析：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz，则P(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)。过点P作PH平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离。PAPBPC，H
4、为ABC的外心。又ABC为正三角形，H为ABC的重心，可得H点的坐标为。PH a。答案：B6如图，在四面体ABCD中，AB1，AD2，BC3，CD2，ABCDCB，则二面角ABCD的大小为()A. B.C. D.解析：二面角ABCD的大小等于AB与CD所成角的大小。而2|cos，即12194212cos，所以cos，所以AB与CD所成角为，即二面角ABCD的大小为。答案：B二、填空题7如图，在直三棱柱中，ACB90，ACBC1，侧棱AA1，M为A1B1的中点，则AM与平面AA1C1C所成角的正切值为_。解析：以C1为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
5、则平面AA1C1C的法向量为n(0,1,0)，AM(1,0，)，则直线AM与平面AA1C1C所在角的正弦值为sin|cos，n|，其中tan。答案：8(2016石家庄模拟)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1上的点，则点E到平面ABC1D1的距离是_。解析：以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设点E(1，a,1)(0a1)，连接D1E，则(1，a,0)。连接A1D，易知A1D平面ABC1D1，则(1,0,1)为平面ABC1D1的一个法向量。所以点E到平面ABC1D1的距离是d。答案：9(2016郑州模拟)正四棱锥S
6、ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是_。解析：如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz。设ODSOOAOBOCa，设A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P。则(2a,0,0)，(a，a,0)。设平面PAC的法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos，n。所以，n60.故直线BC与平面PAC所成的角为906030.答案：30三、解答题10.(2016杭州模拟)如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成一个直二面角，且EA平面ABD，AEa，(1)若a2，求证：AB平面CDE。(2)求实数a的值，使得二
7、面角AECD的大小为60。解析：(1)如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(1,1，)，D(0,2,0)，E(0,0,2)，(2,0,0)，(0，2,2)，(1，1，)，设平面CDE的一个法向量为n1(x，y，z)，则有2y2z0，xyz0，取z时，n1(0,2，)，所以n10，又AB不在平面CDE内，所以AB平面CDE。(2)如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(1,1，)，D(0,2,0)，E(0,0，a)，(0，2，a)，(1，1，)，设平面CDE的一个法向量为n2(x，y，z)，则有2yaz0，xyz0，取z2时，n2(a2，a,
8、2)，又平面AEC的一个法向量为n3(1,1,0)，因为二面角AECD的大小为60，所以，即a22a20，解得a2。11(2016西安模拟)如图，四棱锥ABCDE中，ABC是正三角形，四边形BCDE是矩形，且平面ABC平面BCDE，AB2，AD4。(1)若点G是AE的中点，求证：AC平面BDG。(2)试问点F在线段AB上什么位置时，二面角BCEF的余弦值为。解析：(1)设BD，CE交于点O，连接OG，易知OG为ACE的中位线，故OGAC，又AC平面BDG，OG平面BDG，得AC平面BDG。(2)如图，取BC的中点H，建立空间直角坐标系Hxyz，在RtACD中，斜边AD4，AC2，得CD2，所以
9、A(0,0，)，B(1,0,0)，C(1,0,0)，E(1，2，0)。设(01)，得F(1，0，)，设平面CEF的一个法向量为n(x，y，z)，由即取x，得n。而平面BCE的一个法向量n0(0,0,1)，所以由题意得，即，解得1(舍去)或。所以当点F为线段AB的中点时，二面角BCEF的余弦值为。12如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C。(1)证明：ACAB1；(2)若ACAB1，CBB160，ABBC，求二面角AA1B1C1的余弦值。解析：(1)连接BC1，交B1C于点O，连接AO。因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1，且O为B1C及BC1的中点。又ABB1C，所以B1C平面ABO。由于AO平面ABO，故B1CAO。又B1OCO，故ACAB1。(2)因为ACAB1，且O为B1C的中点，所以AOCO。又因为ABBC，所以BOABOC。故OAOB，从而OA，OB，OB1两两互相垂直。以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz。因为CBB160，所以CBB1为等边三角形。又ABBC，则A，B(1,0,0)，B1，C。，。设n(x，y，z)是平面AA1B1的法向量，则 即所以可取n(1，)。设m是平面A1B1C1的法向量，则同理可取m(1，)。则cosn，m。所以二面角AA1B1C1的余弦值为。
