1、第二节 随机抽样【教材知识精梳理】1.简单随机抽样(1)定义:设一个总体含有N个个体,从中_ _n个个体作为样本(nN),如果每次抽取时总体内 的各个个体被抽到的机会都_,就把这种抽样方法 叫做简单随机抽样.逐个不放回地 抽取 相等(2)常用方法:_和_.2.系统抽样(1)系统抽样是将总体中的个体进行_,等距分组,在第一组中按照_抽样抽取第一个样本,然后 按_(称为抽样距)抽取其他样本,这种抽样 方法有时也叫_或_.抽签法 随机数法 编号 简单随机 分组的间隔 等距抽样 机械抽样(2)适用范围:适用于_时.总体中的个数较多 3.分层抽样(1)将总体按其_分成若干类型(_),然后在每个类型中按照
2、所占比例_抽取一定的样本,这种抽样方法叫作分层抽样,有时也称为_.(2)适用范围:适用于总体_时.属性特征 有时称作层 随机 类型抽样 由差异明显的几部分组成【教材拓展微思考】1.把总体中的个体编号后,使用系统抽样方法抽取到的 样本号码有什么特点?提示:入样个体的编号相差 的整数倍.Nn2.简单随机抽样、系统抽样、分层抽样中每个个体被抽到的机会均等吗?提示:均等,三种抽样都是等概率抽样.【教材母题巧变式】题号 1 2 3 4 源自 P12例3 P12例3 P13例4 P13例5 1.某校高三年级有男生500人,女生400人.为了解该年级学生的健康情况,从男生中任意抽取25人,从女生中任意抽取2
3、0人进行调查,这种抽样方法是()A.抽签法 B.随机数法 C.分层抽样法 D.系统抽样法【解析】选C.根据题意有 ,由分层抽样的定义 可知,该题所用的抽样方法是分层抽样法.25205004002.某公司有高层管理人员45名,中层管理人员150名,其余为员工.在一次收入情况调查中,利用分层抽样共抽取了100人,其中中层管理人员抽取了10人,则该公司员工有_人.【解析】由已知抽样比为 .故该公司共有 =1500人,员工有1500-45-150=1305人.答案:1305 101150151001153.用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本,将160名学生从1160编号,按编号顺序平均
4、分成20组(18号,916号,153160号),若第16组抽出的号码为123,则第2组中应抽出个体的号码是_.【解析】由题意可知,系统抽样的组数为20,间隔为8,设第1组抽出的号码为x,则由系统抽样的法则可知,第n组抽出个体的号码应该为x+(n-1)8,所以第16组应抽出的号码为x+(16-1)8=123,解得x=3,所以第2组中应抽出个体的号码为3+(2-1)8=11.答案:11 4.某幼儿园共有303名幼儿,为调查幼儿对午餐是否满意,准备询问20名幼儿,若采用系统抽样抽取这20名幼儿,则抽样距为_.【解析】因为 =153,故应先随机抽取3名幼儿 不询问,其余人采取系统抽样,抽样距为15.答
5、案:15 30320考向一 简单随机抽样 夯基练透 【技法点拨】1.简单随机抽样的特点(1)抽取的个体数较少.(2)是逐个抽取.(3)是不放回抽取.(4)是等可能抽取.只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样.2.抽签法与随机数法的适用情况(1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况,随机数法适用于总体中个体数较多的情况.(2)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:一是抽签是否方便;二是号签是否易搅匀.一般地,当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.【基础保分题组】1.对于简单随机抽样,每个个体每次被抽到的机会 ()A.相等 B.不相等 C.无法确定 D.与抽取的次数有关【解析】选A.根据简单随机
6、抽样的定义可得,每个个体被抽到的机会都是相等的.2.用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本,则个体m被抽到的概率为 ()1111A.B.C.D.100209950【解析】选B.简单随机抽样中,每个个体被抽到的概率 为 ,即个体m被抽到的概率为 样本容量总体中的个体数51.100203.下列抽样试验中,适合用抽签法的是()A.从某厂生产的5000件产品中抽取600件进行质量检验 B.从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验 C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验 D.从某厂生产的5000件产品中抽取10件进行质量检验
7、【解析】选B.因为A,D中总体的个体数较大,不适合用抽签法;C中甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大,因此未达到搅拌均匀的条件,也不适合用抽签法;B中总体容量和样本容量都较小,且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了.【拓展提升高考模拟预测】4.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率:先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数,指定0,1表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 623
8、3 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 世纪金榜导学号99972336()A.0.852 B.0.8192 C.0.8 D.0.75【解析】选D.由题意知模拟射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数,在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有:7527 0293 9857 0347 4373 8636 6947 4698 6233 2616 8045 3661 9597 7424 4281,共15组随机数,所以所求概率为0.75.5.(2017西安模拟)用简单随机抽样的方法从含有6个个体
9、的总体中,抽取一个容量为2的样本,某一个体a“第一次被抽到”的可能性、“第二次被抽到”的可能性分别是_.【解析】简单随机抽样中每个个体每次被抽到的机会 均等.答案:,16166.大、中、小三个盒子中分别装有同一种产品120个、60个、20个,现在需从这三个盒子中抽取一个样本容量为25的样本,较为恰当的抽样方法为_.【解析】因为三个盒子中装的是同一种产品,且按比例抽取每盒中抽取的不是整数,所以将三盒中的产品放在一起搅匀按简单随机抽样法抽样较为适合.答案:简单随机抽样【加固训练】某大学为了支援我国西部教育事业,决定从应届毕业生报名的18名志愿者中选取6名组成志愿小组.请用抽签法和随机数法设计抽样方
10、案.【解析】(抽签法)第一步:将18名志愿者编号,编号为1,2,3,18;第二步:将18个号码分别写在18张外形完全相同的纸条上,并揉成团,制成号签;第三步:将18个号签放入一个不透明的盒子里,充分搅匀;第四步:从盒子中逐个抽取6个号签,并记录上面的编号;第五步:所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员.(随机数法)第一步:将18名志愿者编号,编号为01,02,03,18;第二步:在随机数表中任选一数作为开始,按任一方向读数,比如从第8行第29列的数1开始,向右读;第三步:从数7开始,向右读,每次取两位,凡不在0118中的数或已读过的数,都跳过去不记录,依次可得到18,05,09,12,03,0
11、8;第四步:找出以上号码对应的志愿者,即是志愿小组的成员.考向二 系统抽样 提能互动【典例】(1)为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为()A.50 B.40 C.25 D.20(2)(2017抚州模拟)从编号为0,1,2,79的80件产品中,采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本,若编号为42的产品在样本中,则该样本中产品的最小编号为 世纪金榜导学号99972337()A.8 B.10 C.12 D.16【解题指南】(1)用总体容量除以样本容量即得.(2)根据系统抽样的定义和方法,所抽取的个体的编号成等差数列,据此可得.【规范解答】(1
12、)选C.分段的间隔为100040=25.(2)选B.系统抽样的分段间隔为 =16,设样本中产品 的最小编号是x,42是第三个编号,因此x+216=42,得 x=10.805【母题变式】1.把典例(2)条件“若编号为42的产品在样本中”改为“抽到编号之和为185”,则抽到的最小编号为_.【解析】系统抽样的抽取间隔为k=16.设抽到的最小编号为x,则x+(16+x)+(32+x)+(48+x)+(64+x)=185,所以x=5.答案:5 8052.把典例(2)条件“若编号为42的产品在样本中”改为“已知编号为10,a,42,b,74号在样本中”,则a+b=_.【解析】系统抽样的抽取间隔为k=16.
13、因为编号为10,a,42,b,74号在样本中,所以a=26,b=58,所以a+b=84.答案:84 805【技法点拨】系统抽样的特点(1)适用于元素个数很多且均衡的总体.(2)各个个体被抽到的机会均等.(3)总体分组后,在起始部分抽样时采用的是简单随机抽样.(4)如果总体容量N能被样本容量n整除,则抽样间隔为 k=.提醒:如果总体容量N不能被样本容量n整除,可随机地 从总体中剔除余数,然后再按系统抽样的方法抽样.Nn【拓展提升高考模拟预测】1.(2017南昌模拟)从匀速传递的新产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件新产品进行某项指标检测,这样的抽样是()A.系统抽样 B.分层抽样 C.
14、抽签法 D.随机数法【解析】选A.根据定义易判断这样的抽样为系统抽样.2.现用系统抽样方法从已编号(160)的60枚新型导弹中,随机抽取6枚进行试验,则所选取的6枚导弹的编号可能是()A.5,10,15,20,25,30 B.2,4,8,16,32,48 C.5,15,25,35,45,55 D.1,12,34,47,51,60【解析】选C.从60枚新型导弹中随机抽取6枚,采用系 统抽样间隔应为 =10,只有C选项中导弹的编号间隔为10.6063.(2017咸阳模拟)将参加夏令营的600名学生编号为001,002,600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003.这6
15、00名学生分住在三个营区,从001到300在第营区,从301到495在第营区,从496到600在第营区.三个营区被抽中的人数依次为 世纪金榜导学号99972338()A.25,17,8 B.25,16,9 C.26,16,8 D.24,17,9【解析】选A.依题意及系统抽样的意义可知,将这600 名学生按编号依次分成50组,每一组各有12名学生,第 k(kN*)组抽中的号码是3+12(k-1).令3+12(k-1)300得k ,因此第营区被抽中的人数是25;令300 3+12(k-1)495得 k42,因此第营区被抽中的 人数是42-25=17;同理可知第营区被抽中的人数是8.10341034
16、【加固训练】1.高三(1)班有学生52人,现将所有学生随机编号,用系统抽样方法,抽取一个容量为4的样本,已知5号,31号,44号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号是()A.8 B.13 C.15 D.18【解析】选D.根据系统抽样的定义和方法,所抽取的4个个体的编号成等差数列,已知其中三个个体的编号为5,31,44,故还有一个抽取的个体的编号为18.2.有20位同学,编号从120,现在从中抽取4人的作文卷进行调查,用系统抽样方法确定所抽的编号可能为 ()A.5,10,15,20 B.2,6,10,14 C.2,4,6,8 D.5,8,11,14【解析】选A.根据题意编号间隔为204=5,
17、则只有A满足条件.3.在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示:若将运动员按成绩由好到差编为135号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间139，151上的运动员人数是_.【解析】由茎叶图可知,在区间139,151的人数为20,再由系统抽样的性质可知人数为20 =4.答案:4 735考向三 分层抽样 高频考点微课【考情快递】命题点命题视角1.求各层抽取数量已知总体容量,确定各层抽取数量2.总体的确定已知抽取人数,确定总体或各层人数【考题例析】命题点1:求各层抽取数量【微思考】适用分层抽样的总体有什么特点?【微提示】总体由差异明显的几个部分组成,且部分与部分
18、之间互不重叠.【典例】(2017吉安模拟)某校共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为()A.24 B.18 C.16 D.12 一年级 二年级 三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z【解题指南】根据题意先计算二年级女生的人数,则可算出三年级的学生人数,根据抽取比例再计算在三年级抽取的学生人数.【规范解答】选C.依题意我们知道二年级的女生有380 人,那么三年级的学生人数应该是500,即总体中各个年 级的人数比例为332,故在分层抽样中应在三年
19、级 抽取的学生人数为64 =16.28命题点2:总体的确定【微思考】在分层抽样中,每一层入样的个体数是按照什么来确定的?【微提示】每一层都是按照相同抽样比来确定的.【典例】(2017武汉模拟)某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取20名学生进行心理测试,其中高三有学生900人,已知高一与高二共抽取了14人,则全校学生的人数为 世纪金榜导学号99972339()A.2400 B.2700 C.3000 D.3600【解题指南】设全校学生的人数为n,利用高三抽取的人数和高三学生总数得出抽样比,即可求出答案.【规范解答】选C.设全校学生的人数为n,则 解得n=3000.2020 14n90
20、0，【技法点拨】分层抽样问题类型及解题思路(1)求某层应抽个体数量:按该层所占总体的比例计算.(2)已知某层个体数量,求总体容量或反之:根据分层抽样就是按比例抽样,列比例式进行计算.(3)分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解,其中“抽样比=”.提醒:分层抽样时,每层抽取的个体可以不一样多,但必 须满足抽取ni=n (i=1,2,k)个个体(其中i是层 数,n是抽取的样本容量,Ni是第i层中个体的个数,N是 总体容量).样本容量各层样本数量总体容量各层个体数量iNN【拓展提升高考模拟预测】1.某公司共有1000名员工,下设若干部门,现采用分层抽样方法,从全体员工中抽取一个样本容量为80的样本,
21、已告知广告部门被抽取了4个员工,则广告部门的员工人数为()A.30 B.40 C.50 D.60【解析】选C.每个个体被抽到的概率等于 设广告部门的员工人数为n,则 ,解得n=50.8021 00025，42n252.(2017宜春模拟)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示,为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是()A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100,10【解析】选A.样本容量为100002%=200,抽取的高中生近视人数为20002%50%=20.3.(2017南昌模拟)
22、交通管理部门为了解机动车驾驶 员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员 的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为()世纪金榜导学号99972340 A.101 B.808 C.1212 D.2012【解析】选B.因为甲社区有驾驶员96人,在甲社区中抽 取驾驶员的人数为12,所以每个个体被抽到的概率为 ,样本容量为12+21+25+43=101,所以这四个社区驾驶员的总人数N为 121968101808.18【加固训练】1.某学校有体育特长
23、生25人,美术特长生35人,音乐特长生40人.用分层抽样的方法从中抽取40人,则抽取的体育特长生、美术特长生、音乐特长生的人数分别为 ()A.8,14,18 B.9,13,18 C.10,14,16 D.9,14,17【解析】选C.因为25+35+40=100,用分层抽样的方法从中抽取40人,所以每个个体被抽到的概率是P=0.4,所以体育特长生25人应抽250.4=10(人),美术特长生35人应抽350.4=14(人),音乐特长生40人应抽400.4=16(人).40210052.某单位有业务人员120人,管理人员24人,后勤人员16人.现用分层抽样的方法,从该单位职工中抽取一个容量为n的样本
24、,已知从管理人员中抽取3人,则n为()A.20 B.30 C.40 D.50【解题指南】各层抽取的比例相等,所以只需计算出管理人员中的抽样比,再乘以总人数即可.【解析】选A.管理人员中的抽样比为 ,而此单位 的总人数为120+24+16=160,故n=160 =20.31248183.某市共有初中学生270 000人,其中初一年级,初二年级,初三年级学生人数分别为99 000,90 000,81 000,为了解该市学生参加“开放性科学实验活动”的意向,现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为3 000的样本,那么应该抽取初三年级的人数为()A.800 B.900 C.1 000 D.1 100【解析】选B.每个个体被抽到的概率等于 则抽取初三年级的人数应为81000 =900人.3 0001270 00090，190
