1、2017新课标名师导学高考第一轮总复习同步测试卷理科数学(八)(平面向量、复数的概念及运算)时间：60 分钟 总分：100 分一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30分.每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.若复数 z1i，i 为虚数单位，则(1z)z()A.13iB.33iC.3iD.3A【解析】(1z)zzz21i(1i)21i2i13i.2.设向量 a(1，0)，b12，12，则下列结论中正确的是()A.|a|b|B.ab 22C.ab 与 b 垂直D.abC【解析】排除法.|a|1，|b|22，排除 A，ab12，排除 B.012112，排除 D.故选
2、 C.3.向量 a，b 均为单位向量，其夹角为，则“ab1”是“2，56”的()A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充分必要条件 D.非充分非必要条件B【解 析】ab 1(a b)21a2 2ab b21ab 12 cos 1，反之不成立.4.已知正方形 ABCD(字母顺序是 ABCD)的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点(可以与 A 或 B 重合)，则DE CD 的最大值是()A.1 B.12C.0 D.1C【解析】建立直角坐标系如图所示，设 E(x，0)，x0，1，则 D(0，1)，C(1，1)，B(1，0)，所以DE CD(x，1)(1，0)x，当 x0 时取得最大值 0.5
3、.已知不共线向量 a，b，|a|b|ab|，则 ab与 a 的夹角是()A.12 B.6 C.4D.3B【解析】解法一：根据|a|b|，有|a|2|b|2，又由|b|ab|，得|b|2|a|22ab|b|2，ab12|a|2.而|ab|2|a|22ab|b|23|a|2，|ab|3a.设 a 与 ab 的夹角为，则 cos a（ab）|a|ab|a|212|a|2|a|3|a|32，6.解法二：根据向量加法的几何意义，在平面内任取一点 O，作OA a，OBb，以 OA、OB 为邻边作平行四边形 OACB.|a|b|，即|OA|OB|，OACB 为菱形，OC平分AOB，这时OC ab，BA ab
4、.而|a|b|ab|，即|OA|OB|BA|.AOB 为正三角形，则AOB60，于是AOC30，即 a 与 ab 的夹角为6.6.O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足OP OA AB|AB|AC|AC|，0，)，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的()A.外心B.内心C.重心D.垂心B【解析】如图，OP OA AP，OP OA AB|AB|AC|AC|，APAB|AB|AC|AC|，0，).0，)，设 AB|AB|AD，AC|AC|AE，D，E 在直线 AB 和 AC 上，APAD AE，AP 是ADPE 的对角线，又|AD|AE|，四边形 ADPE 是菱形，即
5、点 P 在EAD(也就是CAB)的平分线上，点 P 的轨迹一定通过ABC 的内心，故选 B.二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分，将各小题的结果填在题中横线上.)7.复平面内表示复数 i(13i)的点位于第_象限.三【解析】i(13i)3i，位于第三象限.8.在ABC 中，AC AB|AB|12，BC BA|BA|32，则 AB的长为_.2【解析】依题设知 bcos A12，acos B32，根据正弦定理得 2Rsin Bcos A12，2Rsin Acos B32，两式相加得 2Rsin(AB)2，即 2Rsin C2.9.已知平面上四个互异的点 A、B、C、D 满足：
6、(AB AC)(2AD BD CD)0，则ABC 的形状是.等腰三角形【解析】2AD BD CD(AD DB)(AD DC)AB AC，AB AC BC，由(AB AC)(2AD BDCD)0，即BC(AB AC)，由四边形垂直平分可得ABC 的是等腰三角形.10.如图，在ABC 中，AD BC 0，BC 3BD，过点 D 的直线分别交直线 AB，AC 于点 M，N.若AM AB，AN AC(0，0)，则 2 的最小值是_.83【解析】由题AD AB BD AB 13(AC AB)23AB 13AC.设AD xAM yAN(xy1)，则AD xAB yAC，则x23y13，故 23x 13y.
7、故 2231x1y231yxxy1 2322yxxy 83.当且仅当 xy12时，等号成立.三、解答题(本大题共 3 小题，共 50 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)11.(16 分)设向量 a(3sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x0，2.(1)若|a|b|，求 x 的值；(2)设函数 f(x)ab，求 f(x)的最大值.【解析】(1)由|a|2(3sin x)2(sin x)24sin2x，|b|2(cos x)2(sin x)21，及|a|b|，取得 4sin2x1.又 x0，2，从而 sin x12，所以 x6.(2)f(x)ab 3sin xcos
8、 xsin2x 32 sin 2x12cos 2x12sin2x6 12，当 x3 0，2 时，sin2x6 取最大值 1.所以 f(x)的最大值为32.12.(16 分)在ABC 中，内角 A、B、C 所对边长分别为 a、b、c，AB AC 8，BAC，a4.(1)求 bc 的最大值和 的取值范围；(2)求函数 f()2 3sin24 2cos2 3的最大值.【解析】(1)AB AC 8，BAC，bccos 8.又 a4，由余弦定理得 42b2c22bccos.得 b2c232.故 bcb2c2216.即当 bc 时，bc 取最大值 16.而 bc8cos，8cos 16，cos 12.又
9、0.故 03.(2)f()2 3sin24 2cos2 3 31cos2 2 1cos 2 3 3sin 2cos 212sin26 1，0 3，6 2 6 56，12sin26 1，故当 6 时，f()max3.当 3 时，f()min2.所以 f()的最大值为 24.13.(18 分)已知 f(x)ab，其中 a(2cos x，3sin 2x)，b(cos x，1)(xR).(1)求 f(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，f(A)1，a 7，AB AC 3，求边长 b 和 c 的值(bc).【解析】(1)由题意知，f(x)2cos2x 3sin 2x 1cos 2x 3sin 2x12cos2x3，f(x)的最小正周期 T.ycos x 在2k，2k(kZ)上单调递减，令 2k2x3 2k(kZ)，得 k6xk3(kZ).f(x)的单调递减区间为k6，k3，kZ.(2)f(A)12cos2A3 1，cos2A3 1.又3 2A3 73，2A3，A 3.AB AC 3，即 bc6，由余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)23bc，即 7(bc)218，bc5，又 bc，b3，c2.
