1、2017新课标名师导学高考第一轮总复习同步测试卷理科数学(五)(导数及其应用)时间：60 分钟 总分：100 分一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30分.每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.若 f(x)在定义域为 R，f(x)2 恒成立，f(1)2，则 f(x)2x4 解集为()A.(1，1)B.(1，)C.(，1)D.(，)B【解析】设 F(x)f(x)2x4，则 F(x)f(x)2，因为 f(x)2 恒成立，所以 F(x)f(x)20，即函数 F(x)在 R 上单调递增，因为 f(1)2，所以 F(1)f(1)2(1)42240.所以有 F(x)f(x
2、)2x40，即 F(x)f(x)2x4F(1).所以 x1，即不等式的解集是(1，)，故选 B.2.函数 f(x)x3ax23x9，已知 f(x)在 x3时取得极值，则 a()A.2 B.3C.5 D.4C【解析】因为 f(x)x3ax23x9，f(x)3x22ax3，f(3)0，276a30，a5，经验证成立.3.f(x)是 f(x)的导函数，f(x)的图象如右图所示，则 f(x)的图象只可能是()D4.由曲线 y x，直线 yx2 及 y 轴所围成的图形的面积为()A.103B.4C.163D.6C【解析】如图所示，直线 yx2 与曲线 y x交于点(4，2)，直线的纵横截距均为 2，所以
3、所求面积为04 xdx23x32|40163.故选 C.5.已知函数 f(x)，g(x)分别是二次函数 f(x)和三次函数 g(x)的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数 h(x)f(x)g(x)，则()A.h(1)h(0)h(1)B.h(1)h(1)h(0)C.h(0)h(1)h(1)D.h(0)h(1)h(1)D【解析】取特殊值，令 f(x)12x2，g(x)13x3，则h(0)h(1)1 时，f(x)0恒成立，又 f(4)0，则(x3)f(x4)1 时，f(x)4 时，f(x)0，根据对称性可得当 x2 时，f(x)0，当2x1或 1x0.不 等 式(x 3)f(x 4)0，
4、f（x4）0或x30.当x30，f（x4）3，x44或x40；当x30时，x3，2x41或1x44，解得6x3.故不等式(x3)f(x4)0)，于是k112k1k101k0，F(x)在(，)上单调递增，即 h(x)在(，)上单调递增.(2)由(1)知 h(x)在(，)上单调递增，而 h(0)0，h(x)0 有唯一解 x0，x，h(x)，h(x)的变化情况如下表所示：x(，0)0(0，)h(x)0h(x)递减极小值递增又函数 y|h(x)a|1 有两个零点，方程|h(x)a|10 有两个根，即方程 h(x)a1 有两个根，而 a1a1，a1(h(x)minh(0)1，解得 0a2.所以，若函数
5、y|h(x)a|1 有两个零点，实数a 的取值范围是(0，2).12.(16 分)已知函数 f(x)xcos xsin x，x0，2.(1)求证：f(x)0；(2)若 asin xx b 对任意 x0，2 恒成立，求 a的最大值与 b 的最小值.【解析】(1)由 f(x)xcos xsin x 得 f(x)cos xxsin xcos xxsin x.因为在区间0，2 上 f(x)xsin x0 时，“sin xx a”等价于“sin xax0”，“sin xx b”等价于“sin xbx0 对任意 x0，2 恒成立.当 c1 时，因为对任意 x0，2，g(x)cos xc0，所以 g(x)在
6、区间0，2 上单调递减，从而 g(x)g(0)0 对任意 x0，2 恒成立.当 0cg(0)0.进一步，“g(x)0 对任意 x0，2 恒成立”当且仅当 g2 12 c0，即 00 对任意x0，2 恒成立；当且仅当 c1 时，g(x)0 对任意x0，2 恒成立.所以，若 asin xx 0 时，ex1，即 ex10.函数 x exx1 在，0 为减函数，在0，为增函数，x min0 0，即 x 0，对xR，都有 exx1，故，当 x0 时，x10，ex 1x1x1 1x12x1 1x12，ex 1x1a2a0，gx 0，若 a2，函数 ygx，在0，为增函数，当 x0 时，gx g0 0，当 a2 时，x0，有 fx ax1 成立.
