1、南宁市银海三美学校高二下学期3月月考理科数学试题一、选择题（每小题5分，共60分，请把答案填到答题卡上）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由交集定义计算【详解】根据集合交集中元素的特征，可得，故选：A.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题2. i（1+i）=（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘法运算得到结果.【详解】根据复数的乘法运算得到：原式i（1+i）=i-1 故选A【点睛】这个题目考查了复数的乘法运算，题目简单基础.3. 某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有（ ）A. 32种B. 9种C
2、. 12种D. 20种【答案】C【解析】【分析】根据加法原理直接计算可得答案【详解】从8名男生4名女生选取一名当组长，是男生的选法有8种，是女生选法的有4种，共有12种.故选：C.【点睛】本题考查了加法原理，属于基础题.4. 已知曲线通过伸缩变换后得到的曲线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可得：，代入方程，整理即可得解【详解】由伸缩变换可得：，代入方程，可得：，所以所求曲线方程为，故选：A.【点睛】本题考查了伸缩变化，根据变换前后的关系代入是解此类问题的关键，属于基础题.5. 已知直线的参数方程是，则直线的斜率为A. B. C. 1D. 【答案】D【解析】【
3、分析】由（为参数）得（为参数），将两式相加，得直线的普通方程，得到直线斜率为【详解】根据题意，直线l的参数方程是，其普通方程为，即，直线l的斜率为；故选D【点睛】消去参数的方法一般有三种：（1）利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数（2）利用三角恒等式消去参数（3）根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去参数6. 用数学归纳法证明，且时，第一步应验证的不等式是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用数学归纳法写出时左边的表达式即可.【详解】解：用数学归纳法证明，且时，时，第一步应验证不等式为：.故选：.【点睛】在数学归纳法中，第一步是论证时结论是否成立，此时
4、一定要分析不等式左边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误，属于基础题.7. 椭圆的参数方程为（为参数），则它的两个焦点坐标是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】消去参数可得椭圆的标准方程，所以椭圆的半焦距 ，两个焦点坐标为，故填(4, 0). 8. 用反证法证明“已知，求证：.”时，应假设( )A. B. C. 且D. 或 【答案】D【解析】分析：根据反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得结论.详解：根据反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，而的否定为“不都为零”，故选D.点睛：本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和
5、步骤，求一个命题的否定，属于简单题.9. 已知a为函数f（x）=x312x的极小值点，则a=A. 4B. 2C. 4D. 2【答案】D【解析】试题分析：，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故的极小值点为2，即，故选D.【考点】函数的导数与极值点【名师点睛】本题考查函数的极值点在可导函数中，函数的极值点是方程的解，但是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在附近，如果时，时，则是极小值点，如果时，时，则是极大值点.10. 如图，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有多少种（ ）A. 2
6、80B. 180C. 96D. 60【答案】B【解析】【分析】按区域分四步，由分步乘法计数原理，即可求得结论.【详解】按区域分四步：第1步，A区域有5种颜色可选；第2步，B区域有4种颜色可选；第3步，C区域有3种颜色可选；第4步，D区域也有3种颜色可选.由分步乘法计数原理，共有5433=180种不同涂色方案. 选选：B.【点睛】本题主要考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确分步是关键，属于基础题.11. 已知是椭圆（为参数）上任意一点，则点P到的距离的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】设的坐标为，利用点到直线的距离公式将距离表示为关于的三角函数，由三角
7、函数的性质即可得结果.【详解】根据题意是椭圆（为参数）上任意一点，设的坐标为，则点到的距离，当时，d取得最大值.故选：B.【点睛】本题主要考查参数方程的应用，注意点到直线的距离公式的应用，属于基础题.12. 椭圆的左、右焦点为，过垂直于x轴的直线交C于A，B两点，若为等边三角形，则椭圆C的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用椭圆方程，求出焦点坐标，通过三角形是等边三角形求解椭圆的离心率即可.【详解】椭圆的左、右焦点为，过垂直于x轴的直线交C于A，B两点，若为等边三角形，可得，所以：，即，解得，故选：D.【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计
8、算能力，属于基础题.二、填空题（每小题5分，共20分，请把答案填到答题卡上）13. 定积分_【答案】【解析】【分析】直接利用牛顿莱布尼兹公式计算定积分即可【详解】解：由定积分公式可得，故答案为【点睛】本题考查定积分的计算，解决本题的关键在于寻找被积函数的原函数，属于基础题14. 若以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标化成直角坐标为_.【答案】【解析】【分析】利用极坐标化直角坐标公式将点的极坐标化为直角坐标.【详解】由题意可知，点的横坐标为，纵坐标为，因此，点的直角坐标为，故答案为.【点睛】本题考查点的极坐标化直角坐标，解题时要熟悉极坐标与直角坐标的互化公式，
9、考查计算能力，属于基础题.15. 复数z满足（i是虚数单位），则z_.【答案】5【解析】【分析】首先根据复数的运算法则，得到，之后利用复数模的公式求得结果.【详解】因为，所以，所以，故答案是：5.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的模，属于简单题目.16. 已知抛物线的参数方程为（t为参数），若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则线段的长为_.【答案】8【解析】【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去，根据韦达定理求得的值，进而根据抛物线的定义可知 求得答案【详解】抛物线的参
10、数方程为，普通方程为，抛物线焦点为 ，且直线斜率为1，则直线方程为 ，代入抛物线方程得，设，所以，根据抛物线的定义可知|，故答案为：8.【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质对学生基础知识的综合考查关键是：将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系，利用弦长公式即可求得值，从而解决问题.三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知等差数列中，（1）求数列的通项公式；（2）若等比数列满足，求的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，则，由，可
11、得，解得，求出. （2）设等比数列的公比为求出利用等比数列前n项和公式，求出【详解】（1）设等差数列的公差为，则由，可得，解得从而.即数列的通项公式（2）设等比数列的公比为，则 由， ，解得， 所以的前项和公式【点睛】本题考查的是等差数列与等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式的应用，属于基础题.18. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，.（1）求的面积.（2）求b的值；【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理可得边的关系，即，再由三角形的面积公式即可得结果；（2）直接由余弦定理得结果.【详解】（1）因为，所以由正弦定理得：，即，所以（2）由余弦定理得.所以.
12、【点睛】本题主要考查由正弦定理得边的关系，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于基础题.19. 在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线的极坐标方程是.（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设点.若直与曲线相交于两点,求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用代入法消去参数方程中的参数可求直线的普通方程，极坐标方程展开后，两边同乘以，利用 ，即可得曲线的直角坐标方程；（2）直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义即可得结果.【详解】（1
13、）将直线l的参数方程消去参数t并化简，得直线l普通方程为.将曲线C的极坐标方程化为.即.x2+y2=2y+2x.故曲线C的直角坐标方程为. （2）将直线l的参数方程代入中，得.化简，得. 0，此方程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2.由根与系数的关系，得，即t1，t2同正. 由直线方程参数的几何意义知,.【点睛】本题主要考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的应用，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：代入消元法；加减消元法；乘除消元法；三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将
14、和换成和即可.20. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为梯形，E为PC的中点证明：平面PAD；求二面角的余弦值【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】设F为PD的中点，连接EF，证明，推出四边形ABEF为平行四边形，所以然后证明平面PAD取AB中点M，连接DM，证明，以DM、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，平面PCD的一个法向量，设二面角的平面角为，利用空间向量的数量积求解即可【详解】证明：设F为PD的中点，连接EF，FA因为EF为的中位线，所以，且又，所以，且故四边形ABEF为平行四边形，所以又平面PAD，平面PAD，所以平面
15、解：取AB中点M，连接DM，为等边三角形从而，中线，且，又，故D如图所示，以DM、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，4，0，于是，设平面PBC的一个法向量为y，则，从而，解得令，得，且易知，平面PCD的一个法向量为，且设二面角的平面角为，则【点睛】本题考查空间向量的数量积求解二面角的平面角以及直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力21. 已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在上的最大值为，求实数a的值.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）代入求出在点处的导数值和函数值，进而求出切线方程；（2）首先求出的导数，再分类讨论
16、的不同取值范围对应的在上的最大值，进而求得符合题意得实数a的值.【详解】解：（1）当时，所以曲线在点处的切线方程为.（2），当时，在上单调递减，所以；当时，在上单调递增，所以，所以，舍去；当时，在上单调递增，在上单调递减，所以，所以.综上，或.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的切线方程、单调性、最值，考查运算求解能力，属于基础题型.22. 已知椭圆的短轴长为2，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的上焦点作相互垂直的弦，求为定值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意得到b,a，即可得结果.（2）通过分直线AB、CD中有一个斜率不存在与均存在两种情况讨论当直线AB、C
17、D中有一个斜率不存在时，通过计算可知|AB|、|CD|，进而可得结论；当直线AB、CD斜率均存在时，设直线AB方程为：yk（x），则直线CD方程为：y（x），通过联立直线与椭圆方程、利用韦达定理、两点间距离公式计算可知|AB|，进而计算可得结论【详解】（1）由题意可知，.又椭圆的离心率为，则，故椭圆的方程为（2）当直线的斜率不存在或为零时，当直线的斜率存在，且不为零时，设直线的方程为，联立消去，整理得，则，故 .同理可得：， 【点睛】本题考查椭圆的方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系，直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力和计算能力，注意解题方法的积累，属于难题
