1、3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域学 习 目 标核 心 素 养1.会从实际情景中抽象出二元一次不等式(组).2.理解二元一次不等式(组)的几何意义3.会画二元一次不等式(组)表示的平面区域(重点、难点)通过二元一次不等式(组)表示的平面区域及其应用的学习，培养直观想象素养1二元一次不等式的概念我们把含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数是1的不等式称为二元一次不等式2二元一次不等式组的概念我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组思考：点(2，1)是否是不等式3x2y10的解？提示是把(2，1)代入，不等式成立3二元一次不
2、等式(组)的解集概念满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成一个有序数对(x，y)，称为二元一次不等式(组)的一个解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集思考：把二元一次不等式的解看作有序数对，它与平面内的点之间有什么关系？提示一一对应4二元一次不等式表示的平面区域及确定(1)直线l：axbyc0把直角坐标平面分成了三个部分：直线l上的点(x，y)的坐标满足axbyc0直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足axbyc0，另一侧平面区域内的点(x，y)的坐标满足axbyc0表示的是直线axbyc0哪一侧的平面区域5二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不
3、等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分思考：yaxb所表示的平面区域与yaxb表示的平面区域有什么不同？如何体现这种区别？提示前者表示的平面区域含有该直线上的点，后者表示的平面区域不含该直线上的点画图时用实线表示前者，用虚线表示后者1以下不等式所表示的平面区域中包含原点的是()Axy10B2x3y60C2x5y100 D4x3y12D将点(0，0)代入不等式验证即可2直线x2y10右上方的平面区域可用不等式 表示x2y10用右上方特殊点(1，1)代入x2y1得结果为20.所以所求为x2y10.3不等式组所表示的平面区域的面积是 10画出不等式组表示的平面区域(图略)，它是一个
4、底边长为5，高为4的三角形区域，其面积S5410.4已知点A(1，0)，B(2，m)，若A，B两点在直线x2y30的同侧，则m的取值集合是 因为A，B两点在直线x2y30的同侧，所以把点A(1，0)，B(2，m)代入可得x2y3的符号相同，即(1203)(22m3)0，解得m.二元一次不等式表示的平面区域【例1】(1)画出不等式3x2y60表示的区域；(2)写出如图表示平面区域的二元一次不等式：解(1)如图：第一步：画出直线3x2y60(注意应画成虚线)，第二步：直线不过原点，把原点坐标(0，0)代入3x2y6得60，不等式表示的区域为原点所在的一侧(2)xy10；x2y20；xy0.二元一次
5、不等式表示平面区域的判定方法第一步：直线定界画出直线axbyc0，不等式为axbyc0(0)时直线画虚线，不等式为axbyc0(0)时画成实线；第二步：特殊点定域在平面内取一个特殊点，当c0时，常取原点(0，0).若原点(0，0)满足不等式，则原点所在的一侧即为不等式表示的平面区域；若原点不满足不等式，则原点不在的一侧即为不等式表示的平面区域当c0 时，可取(1，0)或(0，1)作为测试点简记为：直线定界，注意虚实；特殊点定域，常取原点1画下列不等式表示的平面区域：(1)2xy100；(2)y2x3.解(1)先画出直线2xy100(画成虚线).取原点(0，0)，代入2xy10200100，原点
6、在2xy100表示的平面区域内，不等式2xy100表示的平面区域如图所示(2)先画出直线2xy30(画成实线).取原点(0，0)，代入2xy320030，即(m5)(m2)0，所以m5或m2.2不等式组表示的区域是什么图形，你能求出它的面积吗？该图形若是不规则图形，如何求其面积？提示不等式组表示的平面区域如图阴影部分ABC，该三角形的面积为SABC639.若该图形不是规则的图形我们可以采取“割补”的方法，将平面区域分为几个规则图形求解3点(0，0)，(1，0)，(2，1)，(3，4)在不等式组表示的平面区域内吗？该平面区域内有多少个纵、横坐标均为整数的点？提示若所给点在不等式组所表示的平面区域
7、内，则该点的坐标一定适合不等式组，否则，该点不在这个不等组表示的平面区域内经代入检验可知，在(0，0)，(1，0)，(2，1)，(3，4)中只有点(2，1)在不等式组表示的平面内在寻求平面区域内整数点时，可根据不等式组表示的平面区域(探究2提示中的图形)边界的顶点，先给其中的一个未知数赋值，如x1，则不等式组可化为显然该不等式组无解；再令x2，则原不等式组化为则0y0表示直线x0右方的所有点的集合；y0表示直线y0上方的所有点的集合，故不等式组表示的平面区域如图(1)所示(1)(2)(2)如图(1)所示，不等式组表示的平面区域为直角三角形，其面积S436.(3)当x1时，代入4x3y12，得y
8、，整点为(1，2)，(1，1).当x2时，代入4x3y12，得y，整点为(2，1).区域内整点共有3个，其坐标分别为(1，1)，(1，2)，(2，1).如图(2).1(变条件)若将例题中的条件“”变为“”求此不等式组所表示区域的面积解如图所示，其中的阴影部分便是不等式组所表示的平面区域由得A(1，3).同理得B(1，1)，C(3，1).|AC|2，而点B到直线2xy50的距离为d，SABC|AC|d26.2若将例题中的条件“”变为“”求此不等式组所表示的平面区域的面积解可将原不等式组分解成如下两个不等式组：或上述两个不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，所围成的面积S42213.1在应用平
9、面区域时，准确画出不等式组表示的平面区域是解题的关键2画出不等式组表示的平面区域后，常常要求区域面积或区域内整点的坐标(1)求区域面积时，要先确定好平面区域的形状，注意与坐标轴垂直的直线及区域端点的坐标，这样易求底与高必要时分割区域为特殊图形(2)整点是横、纵坐标都是整数的点，求整点坐标时要注意虚线上的点和靠近直线的点，以免出现错误1对于任意的二元一次不等式AxByC0(或0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数，当B0时，(1)AxByC0表示直线AxByC0上方的区域；(2)AxByC0表示直线AxByC0下方的区域2画平面区域时，注意边界线的虚实问题1判断正误(1)由
10、于不等式2x10不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一区域()(2)点(1，2)不在不等式2xy10表示的平面区域内()(3)不等式AxByC0与AxByC0表示的平面区域是相同的()(4)二元一次不等式组中每个不等式都是二元一次不等式()(5)二元一次不等式组所表示的平面区域都是封闭区域()答案(1)(2)(3)(4)(5)提示(1)错误不等式2x10不是二元一次不等式，表示的区域是直线x的右侧(不包括边界).(2)错误把点(1，2)代入2xy1，得2xy130，所以点(1，2)在不等式2xy10表示的平面区域内(3)错误不等式AxByC0表示的平面区域不包括边界，而不等式AxByC0表示
11、的平面区域包括边界，所以两个不等式表示的平面区域是不相同的(4)错误在二元一次不等式组中可以含有一元一次不等式，如也称为二元一次不等式组(5)错误二元一次不等式组表示的平面区域是每个不等式所表示的平面区域的公共部分，但不一定是封闭区域2点(2，t)在直线2x3y60的上方，则t的取值范围是 因为直线2x3y60的上方区域可以用不等式2x3y60表示，所以由点(2，t)在直线2x3y60的上方得43t6.3平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的形状是 等腰直角三角形画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知平面区域为等腰直角三角形4画出不等式组表示的平面区域解不等式x0表示直线x0(y轴)右侧的点的集合(不含边界).不等式y0表示直线y0(x轴)上方的点的集合(不含边界).不等式xy30表示直线xy30左下方的点的集合(不含边界).所以原不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分
