1、第三节 空间图形的基本关系与公理 基础梳理名称 图形 文字语言 符号语言 公理1 如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 公理2 经过_的三个点确定一个平面 公理3 若P，P，则a，且_ 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 若ab，bc，则_ 1.平面的基本性质两条平行直线确定一个平面 推论3 两条相交直线确定一个平面 推论2 若点A直线a，则A和a确定一个平面 推论1 公理2的推论 符号语言 文字语言 图形 名称 2.空间直线与直线的位置关系 公共点个数(2)公理4(平行公理)：平行于同一直线的两条直线_(3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个
2、角_(4)异面直线的夹角 定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O作直线aa，bb，我们把两相交直线a、b所成的_叫做异面直线a、b所成的角(或夹角)范围：(0,/2.特别地，如果两异面直线所成的角是，我们就称这两条直线_，记作ab.3.空间中的直线与平面的位置关系 答案：1.Al，Bl，Aa，Bala 不在同一条直线上 A、B、C不共线A、B、C平面a且a是唯一的 如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线 Pa ac 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面 ab=P有且只有一个平面a，使aa，ba ab有且只有一个平面a，使aa，ba 2.(1)共
3、面 平行 相交 异面 一个公共点 无公共点(2)互相平行(3)相等或互补(4)角 垂直 3.无数 有且只有一个 无 4.无公共点 有且只有一条公共直线 基础达标1.(教材改编题)若点M在直线b上，b在平面内，则M，b，之间的关系可表示为 ()A.Mb B.Mb C.Mb D.Mb 2.(教材改编题)下列命题中正确的是()A.三点确定一个平面 B.两条直线确定一个平面 C.两两相交的三条直线一定在同一平面内 D.过同一点的三条直线不一定在同一平面内 3.在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，如果EF与HG相交于一点M，那么()A.M一定在直线AC上 B.M一定在
4、直线BD上 C.M可能在直线AC上，也可能在直线BD上 D.M既不在直线AC上，也不在直线BD上 4.给出下面四个命题：如果直线ac，bc，那么a，b能确定一个平面；如果直线a和b都与直线c相交，那么a，b能确定一个平面；如果ac，bc，那么a，b能确定一个平面；直线a过平面内一点与平面外一点，直线b在平面内且不过该点，那么a和b是异面直线 上述命题中，真命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4 答案：1.B 2.D 解析：A、B、C均不满足公理2及其推论，故D正确 3.A 解析：MEF，EF平面ABC.M平面ABC，同理M平面ACD，MAC.4.B 解析：中，由公理4知，ab，故正确；
5、中，a，b可能异面，故错误；中，a，b可能异面，故错误；正确 经典例题题型一 证明三点共线【例1】已知ABC的三个顶点都不在平面内，它的三边AB、BC、AC延长后分别交平面于点P、Q、R.求证：P、Q、R三点在同一条直线上 证明：由已知条件易知，平面a与平面ABC相交 设交线为l，即l=a面ABC.PAB，P面ABC.又P(ABa)，Pa，即P为平面a与面ABC的公共点，Pl.同理可证，点R和Q也在交线l上，故P、Q、R三点共线于l.变式11 已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD(四条线段首尾相接，且连接点不在同一平面内，所组成的空间图形叫空间四边形)各边AB、AD、CB、CD上的点，且
6、直线EF和GH交于点P，如图所示求证：点B、D、P在同一条直线上 证明：直线EF和GH交于点P，PEF，又EF平面ABD，P平面ABD.同理，P平面CBD.P在平面ABD与平面CBD的交线BD上，即B、D、P三点在同一条直线上 题型二 证明点线共面【例2】如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC AD，BE FA，G，H分别为FA、FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？1/21/2解：(1)证明：G、H分别为FA、FD的中点，GH AD，BC AD，BC GH，四边形BCHG是平行四边形(2)C、D、F、E四点共面
7、 G为AF中点，且BE FA，BE GF，四边形BEFG为平行四边形，EFBG，BGCH，EFCH.E、F、H、C四点共面，点D直线FH，D点在EF、CH确定的平面内，C、D、F、E四点共面 1/21/21/21/21/2题型三 证明三线共点【例3】已知四面体ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且 =2.求证：直线EG、FH、AC相交于同一点P.BGDHGCHC证明：如图，E、F分别是AB、AD的中点，EFBD且EF=1/2BD.又 =2，GHBD且GH=BD/3，EFGH且EFGH，四边形EFHG是梯形，其两腰所在直线必相交，设两腰EG、FH的延长线相交于
8、一点P，EG平面ABC，FH平面ACD，P平面ABC，P平面ACD.又平面ABC平面ACD=AC，PAC，故直线EG、FH、AC相交于同一点P.BGDHGCHC题型四 异面直线及其所成角的问题【例4】(2010天津改编)如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA平面ABCD，CD=1，AD=，求异面直线CE与AF所成角的余弦值 2 2解：因为四边形ADEF是正方形，所以FAED.故CED为异面直线CE与AF所成的角 因为FA平面ABCD，所以FACD，故EDCD.在RtCDE中，CD=1，222 232 232 2.3EDCECDEDEDCEDCE，故cos，所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为链接高考(2010湖南)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点求异面直线A1M和C1D1所成的角的正值 知识准备：1.会找异面直线所成的角；2.会进行三角形的运算求解 解：因为C1D1A1B1，所以MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角，因为A1B1平面BCC1B1，所以A1B1M=90，而A1B1=1，B1M=22111111111112tan2,2.B CMCB MMA BA BA MC D，故即异面直线与所成的角的正切值为
