1、计时双基练十六导数与函数的综合问题A组基础必做1统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为yx3x8(0x120)。已知甲、乙两地相距100米。(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解(1)当x40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，共耗油17.5(升)。因此，当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5升。(2)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)x2
2、(0x120)，h(x)(0x120)。令h(x)0，得x80。当x(0,80)时，h(x)0，h(x)是增函数，所以当x80时，h(x)取得极小值h(80)11.25。易知h(80)是h(x)在(0,120上的最小值。故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，为11.25升。2(2015江苏卷)已知函数f(x)x3ax2b(a，bR)。(1)试讨论f(x)的单调性；(2)若bca(实数c是与a无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是(，3)，求c的值。解(1)f(x)3x22ax，令f(x)0，解得x10，x2。当a0时，因为f(x)3x20(
3、x0)，所以函数f(x)在(，)上单调递增；当a0时，x(0，)时，f(x)0，x时，f(x)0，所以函数f(x)在，(0，)上单调递增，在上单调递减；当a0，x时，f(x)0，所以函数f(x)在(，0)，上单调递增，在上单调递减。(2)由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)b，fa3b，则函数f(x)有三个零点等价于f(0)fb0时，a3ac0或当a0时，a3ac0。设g(a)a3ac，因为函数f(x)有三个零点时，a的取值范围恰好是(，3)，则在(，3)上g(a)0均恒成立，从而g(3)c10，且gc10，因此c1。此时，f(x)x3ax21a(x1)x2(a1)x1a，因函数有三个
4、零点，则x2(a1)x1a0有两个异于1的不等实根，所以(a1)24(1a)a22a30，且(1)2(a1)1a0，解得a(，3)。综上c1。3(2015山西四校联考)已知f(x)ln xxa1。(1)若存在x(0，)使得f(x)0成立，求a的取值范围；(2)求证：当x1时，在(1)的条件下，x2axaxln x成立。解(1)原题即为存在x0使得ln xxa10，aln xx1，令g(x)ln xx1，则g(x)1。令g(x)0，解得x1。当0x1时，g(x)1时，g(x)0，g(x)为增函数，g(x)ming(1)0，ag(1)0。故a的取值范围是0，)。(2)证明：原不等式可化为x2axx
5、ln xa0(x1，a0)。令G(x)x2axxln xa，则G(1)0。由(1)可知xln x10，则G(x)xaln x1xln x10，G(x)在(1，)上单调递增，G(x)G(1)0成立，x2axxln xa0成立，即x2axaxln x成立。B组培优演练1(2015东北三校联考)已知函数f(x)(e为自然对数的底数)。(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设函数(x)xf(x)tf(x)，存在实数x1，x20,1，使得2(x1)(x2)成立，求实数t的取值范围。解(1)函数的定义域为R，f(x)，当x0，当x0时，f(x)0，f(x)在(，0)上单调递增，在(0，)上单调递减。(2)
6、假设存在x1，x20,1，使得2(x1)(x2)成立，则2(x)min(x)max，(x)xf(x)tf(x)ex，(x)。当t1时，(x)0，(x)在0,1上单调递减，2(1)31。当t0时，(x)0，(x)在0,1上单调递增，2(0)(1)，即t32e0。当0t1时，若x0，t)，(x)0，(x)在(t,1上单调递增，所以2(t)max(0)，(1)，即2max，(*)由(1)知，g(t)2在0,1上单调递减，故22，而，所以不等式(*)无解。综上所述，存在t(，32e)，使得命题成立。2(2015山东卷)设函数f(x)(xa)ln x，g(x)。已知曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切
7、线与直线2xy0平行。(1)求a的值；(2)是否存在自然数k，使得方程f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由。(3)设函数m(x)minf(x)，g(x)(minp，q表示p，q中的较小值)，求m(x)的最大值。解(1)由题意知，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为2，所以f(1)2。又f(x)ln x1，所以a1。(2)k1时，方程f(x)g(x)在(1,2)内存在唯一的根。设h(x)f(x)g(x)(x1)ln x，当x(0,1时，h(x)110，所以存在x0(1,2)，使得h(x0)0。因为h(x)ln x1，所以当x(1,2)时，h(x)10，当x(2，)时，h(x)0，所以当x(1，)时，h(x)单调递增。所以k1时，方程f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根。(3)由(2)知方程f(x)g(x)在(1,2)内存在唯一的根x0，且x(0，x0)时，f(x)g(x)，所以m(x)当x(0，x0)时，若x(0,1，m(x)0；若x(1，x0)，由m(x)ln x10，可知00，m(x)单调递增；x(2，)时，m(x)0，m(x)单调递减；可知m(x)m(2)，且m(x0)m(2)。综上可得，函数m(x)的最大值为。
