1、4.5.3 函数模型的应用 核心互动探究探究点一 指数函数模型【典例1】某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下列问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人).(3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人(精确到1年).(取1.012101.127，log1.0121.2015).【思维导引】具体列出一年后、二年后、三年后的人口总数，利用归纳的方法，确定函数关系【解析】(1)1 年后该城市人口总数为：y1001001.2%100(11.2%)；2 年后该城市人口总数为：y100(11.2%
2、)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2；3 年后该城市人口总数为：y100(11.2%)2100(11.2%)21.2%100(11.2)3；x 年后该城市人口总数为：y100(11.2%)x.(2)10 年后该城市人口数为：100(11.2%)10112.7(万).(3)设 x 年后该城市人口将达到 120 万，即 100(11.2%)x120，所以 1.012x1.20.所以 xlog1.012 1.2015(年).【类题通法】指数型函数模型在生活中的应用(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示通常可以表示为yN(1p)x(其
3、中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式(2)增长率问题多抽象为指数函数形式，当由指数函数形式来确定相关的量的值要求不严格时，可以通过图象近似求解用函数的图象求解未知量的值或确定变量的取值范围，是数学常用的方法之一【定向训练】把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1，空气的温度是0，那么t分钟后物体的温度(单位：)满足等式0(10)ekt，其中k为常数现有62 的物体放到22 的空气中冷却2分钟后，物体的温度为42，再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却到()A22B24.5C25D27【解析】选D.依题意4222(6222)e2k，e2k 12，故再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却
4、到22(4222)e4k2220(e2k)2222014 27.【跟踪训练】每次用同体积的水清洗一件衣物，且每次能洗去污垢的45，若洗 x 次后存留的污垢在1%以下，则 x 的最小值是_【解析】每次洗去污垢的45，就是存留了15，故洗 x 次后，还有原来的15x(xN*)，故有15x100，解得 x 的最小值为 3.答案：3探究点二 对数函数模型【典例 2】候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度 v(单位：m/s)与其耗氧量 Q 之间的关系为 vablog3Q10(其中 a、b 是实数).据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为 30 个单位，而其
5、耗氧量为 90 个单位时，其飞行速度为 1 m/s.(1)求出 a、b 的值(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？【思维导引】(1)根据已知列出方程组，解方程组求 a、b 的值；(2)由(1)列出不等式，解不等式求 Q 的最小值【解析】(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故有ablog33010 0，即ab0；当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s，故ablog39010 1，整理得a2b1.解方程组ab0，a2b1得a1，b1.(2)由(1)知，vablog3Q10 1log3Q10.所以要使飞行速度
6、不低于2 m/s，则有v2，即1log3Q10 2，即log3Q10 3，解得Q10 27，即Q270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位【类题通法】对数函数ylogax(x0，a1)经复合可以得到对数型函数，其函数值变化比较缓慢直接以对数型函数作为模型的应用问题不是很多，但我们知道，对数运算实际上是求指数的运算，因此在指数函数模型中，也常用对数计算【定向训练】1在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v2 000ln 1Mm.当燃料质量是火箭质量的_倍时，火箭的最
7、大速度可达12千米/秒【解析】由题意可得12 0002 000ln 1Mm，ln 1Mm6，解得1Mm e6，所以Mm e61.答案：e612地震的等级是用里氏震级M表示，其计算公式为，Mlg Alg A0，其中A是地震时的最大振幅，A0是“标准地震的振幅”(使用标准地震振幅是为了修正测量中的误差).一般5级地震的震感已比较明显，则8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_倍【解析】因为8lg A1lg A0，5lg A2lg A0，所以A1108A0，A2105A0，所以A1A2108A0105A01 000.答案：1 0003燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子
8、的飞行速度可以表示为函数v5log2Q10，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？【解题指南】(1)燕子静止时的耗氧量即v0时Q的值(2)两岁燕子的耗氧量是80个单位时，求它的飞行速度，即为当Q80时v的值【解析】(1)由题意，当燕子静止时，它的速度v0，代入题中给出的公式可得：05log2Q10，解得Q10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位(2)将耗氧量Q80代入题中给出的公式得：v5log28010 5log2815(m/s).探究点三 拟合函数模型的应用【典例3】某学习小组在暑期社会实践活动
9、中，通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现：该服装在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(百元)与时间x(天)的函数关系近似满足P(x)1 kx(k为正常数)，日销售量Q(x)(件)与时间x(天)的部分数据如下表所示：x(天)10202530Q(x)(件)110120125120已知第10天的日销售收入为121(百元).(1)求k的值(2)给出以下四种函数模型：Q(x)axb，Q(x)a|x25|b，Q(x)abx，Q(x)alogbx.请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)(件)与时间x(天)的变化关系，并求出该函数的解析式(3)求该服装的
10、日销售收入f(x)(百元)的最小值【思维导引】(1)根据题中条件求k的值(2)选择一种函数模型，根据待定系数法求其解析式(3)借助(2)中函数解析式求其最值【解析】(1)依题意知第10天的日销售收入为P(10)Q(10)1 k10110121，解得k1.(2)由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选Q(x)a|x25|b.从表中任意取两组值代入可求得Q(x)125|x25|(1x30，xN*).(3)由(2)知Q(x)125|x25|100 x（1x25，xN*），150 x（25x30，xN*），所以f(x)P(x)Q(x)x100 x 101（1x25，xN*），1
11、50 x x149（25x30，xN*）.当1x25时，yx100 x在1，10上是减函数，在10，25)上是增函数，所以当x10时，f(x)取得最小值，f(x)min121；当25x30时，y150 xx为减函数，所以当x30时，f(x)取得最小值f(x)min124.综上所述，当x10时，f(x)取得最小值f(x)min121.所以该服装的日销售收入的最小值为121百元【类题通法】数据拟合问题的三种求解策略(1)直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解(2)列式比较法：若题目所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格
12、中的数据先列式，然后进行比较(3)描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用的数学模型，问题即可顺利解决【知识延拓】数据拟合的作用一般情况下数学建模，是离不开假设的，假设的作用主要表现在以下几个方面：(1)进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中的作用(2)降低解题难度，经过适当的假设就可以有能力建立数学模型，并且得到相应的解(3)一般情况下，是先在最简单的情况下组建模型，然后通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际，从而得到更满意的解【定向训练】1小明在调查某网店每月的销售额时
13、，得到了下列一组数据：t(月份)23456y(万元)1.402.565.311121.30现用下列函数模型中的一个近似地模拟这些数据的规律，其中最接近的一个是()Ay tBy13 2tCytDy12 t2【解析】选B.根据表中数据，画出散点图，如图所示：A选项yt 增长较平缓，故排除，C选项为一次函数，图象为直线，故排除，D选项中当x3时，y4.5，当x4时，y8，当x5时，y12.5，所以当x2，3，4时，y 12t2增长较快，与图象不符，题中图象前期增加缓慢，后期增长较快，与B选项y13 2t图象较接近2某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1
14、.37万双由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程厂里也暂时不准备增加设备和工人假如你是厂长，就月份x，产量为y给出三种函数模型：yaxb，yax2bxc，yabxc，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？【分析】本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型【解析】由题意，知将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1，1)，B(2，1.2)，C(3，1.3)，D(4，1.37)这4个数据(1)设模拟函数为yaxb时，
15、将B，C两点的坐标代入函数式，得3ab1.3，2ab1.2.解得a0.1，b1.所以有关系式y0.1x1.由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1 000双，这是不太可能的(2)设模拟函数为yax2bxc时，将A，B，C三点的坐标代入函数式，得abc1，4a2bc1.2，9a3bc1.3.解得a0.05，b0.35，c0.7.所以有关系式y0.05x20.35x0.7.结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下，对称轴为x3.5)，不合实际(3)设模拟函数为yabxc时，将A，B，C三点
16、的坐标代入函数式，得abc1，ab2c1.2，ab3c1.3.由，得ab1c，代入，得b（1c）c1.2，b2（1c）c1.3.则c1.2b1b，c1.3b21b2 解得b0.5，c1.4.则a1cb0.8.所以有关系式y0.80.5x1.4.结论为当把x4代入得y0.80.541.41.35.比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模型恰好反映了这种趋势因此选用
17、指数函数y0.80.5x1.4模拟比较接近客观实际【课堂小结】课堂素养达标1在一次数学实验中，采集到如下一组数据：x2.01.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02则x，y的函数关系最接近(其中a，b为待定系数)函数()Ayabx BybxCyax2b Dybx【解析】选B.散点图如图所示：由散点图可知，此函数图象不是直线，排除A；此函数图象是上升的，是增函数，排除C，D.2某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林()A14 400亩 B172 800亩C17 280亩D20 736亩【解析】选 C.因为年增长率为 20%
18、，所以第四年造林为 10 000(120%)317 280(亩)，故选 C.3据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2 000年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2 000年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是()Ay0.95x50 m By(10.05x50)mCy0.9550 xm Dy(10.0550 x)m【解析】选A.设北冰洋冬季冰雪覆盖面积每年为上一年的q%，则(q%)500.95，所以q%1500.95，即x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积为yx500.95m.4为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：已知加密函数为yax2(x为明文、y为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是_【解析】依题意yax2中，当x3时，y6，故6a32，解得a2，所以加密函数为y2x2，因此当y14时，由142x2，解得x4.答案：4
