1、考纲定位掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题教材回归1正弦定理和余弦定理思考探究1：在ABC中，sinAsinB是AB的什么条件？提示：充要条件因为 sinAsinB a2R b2RabAB.思考探究 2：如何利用余弦定理判定三角形的形状？(以角 A为例)提示：cosA 与 b2c2a2 同号，当 b2c2a20 时，角 A 为锐角；当 b2c2a20 时，三角形为直角三角形；当 b2c2a2b Ba12.A30.B180120Ab.答案：C2已知圆的半径为 4，a、b、c 为该圆的内接三角形的三边，若 abc16 2，则三角形的面积为()A2 2B8 2C.2D.22解析
2、：asinA bsinB csinC2R8，sinCc8，SABC12absinC 116abc 11616 2 2.3ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c2a，则cosB等于()答案：BA.14B.34C.24D.23解析：由已知得 b2ac，c2a，cosBa2c2b22ac5a22a24a234.4在ABC中，(abc)(abc)3ab且acosBbcosA，则ABC的形状为_答案：等边三角形解析：由(abc)(abc)3ab，得 a2b2c2ab，则 cosCa2b2c22ab12，得 C3，由 acosBbcosA，得 sinAcosBsinBc
3、osA，sin(AB)0.A、B 为ABC 的内角，AB，ABC 为等边三角形5(20102011年江西吉安一中高三上学期开学模拟)在测量学中，把斜坡的坡面与水平面所成二面角的大小叫做坡角若要将坡长为100 m，坡角为45的坡面，改造成角为30的坡面，则坡底要伸长_ m.解析：设坡底伸长 x m，在原图左侧的虚线三角形中，由xsin15 100sin30，由此解得 x50(6 2)答案：50(6 2)考点一 利用正、余弦定理解三角形1已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、无解三种情况，应根据已知条件判断解的情况，主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断2应熟练掌握余弦定理及其推论解三
4、角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷3三角形中常见的结论(1)ABC.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边例 1(2010 年浙江高考)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，设 S 为ABC 的面积，满足 S 34(a2b2c2)(1)求角 C 的大小；(2)求 sinAsinB 的最大值【解】(1)由题意可知12absinC 34 2abcosC，2 分所以 tanC 3.4 分因为 0C0 知 B2，由已知得 cosB1213，sinADC45，从而 sinBADsin(ADCB)s
5、inADCcosBcosADCsinB45121335 5133365.由正弦定理得 ADsinBBDsinBAD，AD BDsinBsinBAD33 513336525.考点二 利用正、余弦定理判定三角形形状依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两种方法：1利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论【分析】用正弦定理或余弦定理边角互化统一成边的关系或角的关系化简整理判断三角形形状例 2
6、 在ABC 中，已知 a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，若abcosBcosA，试确定ABC 的形状【解】解法一：由abcosBcosA，得 acosAbcosB，ab2c2a22bcba2c2b22ac，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，c2(a2b2)(a2b2)(a2b2)，(a2b2)(a2b2c2)0，ab 或 a2b2c2，ABC 是等腰三角形或直角三角形解法二：由abcosBcosA，得sinAsinBcosBcosA，sinAcosAcosBsinB，sin2Asin2B，A、B 为ABC 的内角，2A2B 或 2A2B，AB 或 AB2.ABC 为等腰三角形或
7、直角三角形变式迁移2 在ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，且AB，求证：ABC是直角三角形证明：由已知得：a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)利用两角和、差的三角函数公式可得2a2cosAsinB2b2sinAcosB.由正弦定理得 asinBbsinA，acosAbcosB.又由正弦定理得 2RsinAa,2RsinBb，2RsinAcosA2RsinBcosB，即 sin2Asin2B.AB，2A2B，AB2.ABC 是直角三角形考点三 正、余弦定理的应用1有关距离测量问题，主要是利用可
8、以测量的数据，通过解三角形计算出不易测量的数据；遇到多边形问题，可以分割为n个三角形来解决2测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯角等数据计算物体的高度，这类问题一般用到立体几何知识，先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加以解决3测量角度，首先应明确方位角、方向角的含义4根据题意正确画出示意图，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需求哪些量，然后采用正弦定理或余弦定理解决例3(2010年陕西高考)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距
9、海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【解】由题意知 AB5(3 3)海里，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105.在DAB 中，由正弦定理得DBsinDABABsinADB，DBABsinDABsinADB53 3sin45sin10553 3sin45sin45cos60cos45sin605 3 3131210 3(海里)又DBCDBAABC30(9060)60，BC20 3海里，在DBC 中，由余弦定理得CD2BD2BC22BDBCcosDBC3001200210 320 312900，CD30(海里)
10、，则需要的时间 t30301(小时)答：救援船到达 D 点需要 1 小时分析：利用平面向量的数量积公式表示 f(x)，再求其最值，由bc8可知需先求sinA，再求面积变式迁移 3 已知向量OP(2sinx，1)，OQ(cosx，cos2x)，定义函数 f(x)OP OQ.(1)求函数 f(x)的表达式，并指出其最大值和最小值；(2)在锐角ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c 且 f(A)1，bc8，求ABC 的面积 S.解：(1)f(x)OP OQ(2sinx，1)(cosx，cos2x)sin2xcos2x 2sin(2x4)f(x)的最大值、最小值分别为 2，2.(2)f(
11、A)1，sin(2A4)22，2A44或 2A44，A4或 A2.ABC 为锐角三角形，A4.又 bc8，ABC 的面积 S12bcsinA128 22 2 2.考情分析1正弦定理和余弦定理是每年高考的必考内容，其考查题型多为选择题和解答题，主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形以及三角形面积公式的应用，常与三角恒等变换结合2高考对正弦定理和余弦定理在实际中的应用的考查，其常规考法为：依据实际问题背景，直接给出测量数据，通过考生作图分析，然后选用恰当的公式直接计算3要求考生亲临实际问题的环境里进行具体操作，找到解决问题的方案，并设计出计算步骤，可以说是一道真正意义上的应用题，是一个新的考查方向
12、考场样题2011江西卷 在ABC 中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，已知 sinCcosC1sinC2.(1)求 sinC 的值；(2)若 a2b24(ab)8，求边 c 的值【解答】(1)由已知得 sinCsinC21cosC，即 sinC22cosC21 2sin2C2，由 sinC20 得 2cosC212sinC2，即 sinC2cosC212，两边平方得：sinC34.(2)由 sinC2cosC2120 得4C22，即2C，则由sinC34得 cosC 74，由 a2b24(ab)8 得：(a2)2(b2)20，则 a2，b2.易错盘点1不讨论造成失误纠错训练1 在ABC
13、中，已知axcm，b2cm，B45，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的范围是_【答案】2x2 22解三角形出现漏解而出错纠错训练 2 在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 a1，c 3.(1)若角 C3，则角 A_；(2)若角 A6，则 b_.【解析】(1)由正弦定理 asinA csinC，得 sinAasinCc12，又ac，A BC90D180【解析】根据仰角与俯角的含义，画图即可得知【答案】B4如何将实际问题的角、长度归结到三角形中，及解后考虑实际问题的实际意义纠错训练4 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量已知AB50m，BC120m，于A处测得水深AD80m，于B处测得水深BE200m，于C处测得水深CF110m，求DEF的余弦值【解】作 DMAC 交 BE 于 N，交 CF 于 M.DF MF2DM2 302170210 298(m)，DE DN2EN2 5021202130(m)，EFBEFC2BC2 9021202150(m)在DEF 中，由余弦定理得cosDEFDE2EF2DF22DEEF1302150210229821301501665.【答案】cosDEF1665
