1、高考资源网（） 您身边的高考专家数学试卷数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1设集合P=3，0，2，4，集合Q=x|1x3，则PQ=_2设复数（为虚数单位），则的虚部是_3如图是一个算法的流程图，它最后输出的k值为 4已知100名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如右图所示则这100名学生中，该月饮料消费支出超过150元的人数是 5将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，则 6从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是 7一个正四棱柱的侧面展开图是一
2、个边长为8cm的正方形，则它的体积是 cm28数列中，（，），则 9抛物线上的一点到其焦点距离为3，则该点坐标为 10已知向量，满足，若，则的最大值是 11设过曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总有过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为 12若满足对于时有恒成立，则称函数在上是“被k限制”，若函数在区间上是“被2限制”的，则的取值范围为 13已知，则的最小值为 14已知是定义在1，+）上的函数，且则函数在区间（1，2015）上零点的个数为 二、解答题 ：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）若为的
3、三内角，且其对边分别为若向量，向量，且（1）求的值；（2）若，三角形面积，求的值16（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，为菱形，平面，是棱上的动点，面积的最小值是3（1）求证：；（2）求四棱锥的体积17（本小题满分14分）我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形的空地上修建一个占地面积为（平方米）的矩形健身场地如图，点在上，点在上，且点在斜边上已知，米，米， 设矩形健身场地每平方米的造价为元，再把矩形以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（为正常数）（1）试用表示，并求的取值范围；（2）求总造价关于面积的函数；（3）如何选取，使总造价最低（不要求求出最低造价）18（本小题
4、满分16分）如图，已知椭圆（）经过点，离心率，直线的方程为（1）求椭圆的标准方程；（2）是经过椭圆右焦点的任一弦（不经过点），设直线与相交于点，记，的斜率分别为，问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由19（本小题满分16分）已知函数（1）若，求函数的极值，并指出极大值还是极小值；（2）若，求函数在上的最值；（3）若，求证：在区间上，函数的图象在的图象下方20（本小题满分16分）已知数列的前项和为，且（1）求的通项公式；（2）设，若恒成立，求实数的取值范围；（3）设,是数列的前项和，证明数学（附加题）21【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答
5、题区域内作答若多答，则按作答的前两小题给分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A【选修41：几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，过点作圆的割线与切线，为切点,连接，的平分线与分别交于，其中（1）求证：；（2）求的大小B【选修42：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵的一个特征值为，求C【选修44：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线过点的直线（为参数）与曲线相交于点两点（1）求曲线的平面直角坐标系方程和直线的普通方程；（2）若成等比数列，求实数的值D【选修45：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数（1）解不等
6、式；（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分)袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取直到袋中的球取完即终止.若摸出白球，则记2分，若摸出黑球，则记1分每个球在每一次被取出的机会是等可能的用x表示甲，乙最终得分差的绝对值（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量x的概率分布列及期望Ex23.（本小题满分10分)设个正数满足（且）（1）当时，证明：；（2）当时，
7、不等式也成立，请你将其推广到（且）个正数的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明参考答案及评分标准数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1【命题意图】本题考查集合的运算，解题关键是掌握集合的概念，确定集合的元素【答案】0，2【解析】P=3，0，2，4，集合Q=x|1x3，PQ=0，2，故答案为：0， 22【命题意图】本题考查复数的运算与复数的概念，解题关键是掌握复数的乘除法法则【答案】【解析】，所以虚部为3【命题意图】本题考查程序框图知识，解题的关键是理解框图中算法的实质，考查阅读图表能力和运算推理能力【答案】30【解析】模拟执行程序框图，
8、可得k=1，S=0满足条件S30，S=21，k=2满足条件S30，S=21+22，k=3满足条件S30，S=21+22+229，k=30不满足条件S30，退出循环，输出k的值为30故答案为：304【命题意图】本题考查频率分布直方图知识，考查数据处理能力【答案】30【解析】由频率分布直方图可知消费支出超过150元的频率为，所以相应人数为5【命题意图】本题考查三角函数的图象变换，考查三角函数的求值等基础知识，考查运算能力与推理能力【答案】【解析】将函数的图象向左平移个单位得的图象，再把图象上各点的横坐标扩大2倍，纵坐标不变得的图象，即，所以6【命题意图】本题考查古典概型概率计算，考查数据处理能力【
9、答案】【解析】从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，基本事件总数n=10，这2个数的和为偶数包含的基本事件个数m=4，这2个数的和为偶数的概率：故答案为： 7【命题意图】本题考查棱柱的体积，考查空间想象能力【答案】32【解析】正四棱柱的侧面展开图是一个边长为8cm的正方形，正四棱柱的底面边长为2，高为8正四棱柱的体积V=228=32故答案为328【命题意图】本题考查数列的通项公式，考查运算求解能力【答案】【解析】因为，所以，所以数列是以6为周期的周期数列，所以9【命题意图】本题考查抛物线的定义，考查运算求解能力【答案】【解析】由题意知抛物线的焦点为，准线为；根据抛物线的定义：抛
10、物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，知该点的横坐标为2，代入抛物线方程得该点坐标为【技巧点晴】本题主要考查的是抛物线的定义和抛物线的性质，属于容易题目；高考中对抛物线的考查有选择填空题和解答题，选择填空题目一般考查抛物线的定义，根据定义把到焦点的距离转化为该点到准线的距离，从而求出该点的坐标10【命题意图】本题考查向量的数量积与向量的垂直，考查向量的模等基础知识，考查运算求解能力【答案】【解析】试题分析：分析题意可知，设，则，设，又，而，即点在以为圆心，为半径的圆上，故填：11【命题意图】本题考查导数的几何意义，考查两直线垂直的条件考查运算求解能力【答案】.【解析】由，得，由，得，又，
11、 ，要使过曲线上任意一点的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则解得即a的取值范围为故答案应填：【方法点晴】本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是把问题转化为集合间的关系求解，是中档题首先求出函数的导函数，进一步求得，再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线上任意一点的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得转化为集合间的关系求解12【命题意图】本题考查新定义问题，考查二次函数的性质，考查学生的创新能力与阅读分析能力【答案】【解析】由题意可知恒成立函数图像的对称轴为，,所以时取得最小值,所以时取得最大值即解得综上可得 13【命题意图】本
12、题考查用基本不等式求最值问题，考查学生的推理论证能力【答案】【解析】，当且仅当时取等号14【命题意图】本题考查函数的零点与分段函数等基础知识，考查分类讨论的数学思想【答案】11【解析】令函数=0，得到方程，当x1，2）时，函数先增后减，在时取得最大值1，而在时也有y=1；当时，在处函数取得最大值，而在时也有；当时，在处函数取得最大值，而在时也有；，当时，在处函数取得最大值，而在时也有；综合以上分析，将区间（1，2015）分成11段，每段恰有一个交点，所以共有11个交点，即有11个零点故答案为：11二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演
13、算步骤15【命题意图】本题考查向量数量积的坐标运算，二倍角公式，余弦定理等基础知识，考查运算求解能力【答案】（1）；（2）【解析】（1）向量，向量，且，得，又，所以7分（2），又由余弦定理得：，所以 14分16【命题意图】本题考查线面垂直的的判断与性质棱锥的体积考查学生的空间想象能力与运算能力【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：ABCD是菱形，平面，又，平面，平面， 3分（2）解：连接且平面，又且为公共边，则，则6分，当面积的最小值是3时，有最小值1 9分当时，取最小值，由，得，又故 14分17【命题意图】本题考查的是函数在实际问题中的应用，及函数定义域值域和均值不等式求最值，
14、考查学生运用数学知识解决实际问题的能力【答案】（1），；（2），；（3）选取的长为12米或18米时总造价最低【解析】（1）在中，显然，矩形的面积，于是为所求4分（2）矩形健身场地造价,又的面积为，即草坪造价，由总造价，9分（3），当且仅当即时等号成立，此时，解得或，14分答：选取的长为12米或18米时总造价最低18【命题意图】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆相交的综合问题，考查学生的运算求解能力，方程思想【答案】（1）（2）存在常数符合题意【解析】（1）由点在椭圆上得，又，所以，由得，故椭圆的方程为 6分（2）假设存在常数，使得，由题意可设则直线的方程为， 代入椭圆方程，并整理得， 8分设，
15、则有， 9分在方程中，得，从而10分又因为共线，则有，即有，所以=， 13分将代入得，又，所以， 15分故存在常数符合题意 16分19【命题意图】本题考查利用导数判断函数的单调性、求函数的极值，考查转化与化归思想，考查学生的运算求解能力与推理分析能力【答案】（1）极小值是，无极大值（2）（3）详见解析【解析】（1）的定义域是当时在上递减；当时 在上递增，的极小值是，无极大值5分（2）恒成立对，在上递增， 10分（3）证明：令在上恒成立，在区间上递减，在区间上，函数的图象在的图象下方16分20【命题意图】本题考查由递推式求数列的通项公式，错位相减法求和等基础知识，考查学生的运算求解能力，转化与化
16、归的数学思想【答案】（1）（2）（3）证明过程见解析【解析】（1）由已知得，其中所以数列是公比为的等比数列，首项，所以 4分（2）由（1）知 所以所以 6分因此，所以，当即，即所以是最大项 所以 9分（3） 13分又令，显然在时单调递减，所以故而. 16分数学（附加题）21【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多答，则按作答的前两小题给分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A【选修41：几何证明选讲】（本小题满分10分）【命题意图】本题考查弦切角与圆周角定理，相似三角形的判断与性质，考查学生的推理论证能力【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1
17、）证明：由题意可知，则，则，又，则5分（2）由，可得在中，可知 10分B【选修42：矩阵与变换】（本小题满分10分）【命题意图】本题考查矩阵的运算，意在考查运算求解能力【答案】【解析】代入，得 5分矩阵， 10分C【选修44：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）【命题意图】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，等比数列，一元二次方程根的判别式，韦达定理等基础知识，考查学生的运算求解能力【答案】（1），；（2）1【解析】（1）曲线的直角坐标方程为；直线的普通方程为 4分（2）将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，得，（*）设点分别对应参数恰为上述方程的根，则由题设得
18、，即由（*）得，则有，得或因为，所以10分D【选修45：不等式选讲】（本小题满分10分）【命题意图】本题考查绝对值的概念、含绝对值不等式的解法、绝对值的性质，考查转化化归能力、分类讨论能力【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，由，此时无解当时，由当时，由，综上，所求不等式的解集为5分（2）由（1）的函数解析式可以看出函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故在处取得最小值，最小值为，不等式，对任意的恒成立即，解得故的取值范围为. 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分)【答案】（
19、1）3；（2）x的概率分布列为：.【解析】（1）设袋中原有n个白球，由题意,知，解之得n=3或n=-2（舍去），即袋中原有3个白球；4分（2）由（1）可知，袋中有3个白球、4个黑球.甲四次取球可能的情况是：4个黑球、3黑1白、2黑2白、1黑3白.相应的分数之和为4分、5分、6分、7分；与之对应的乙取球情况：3个白球、1黑2白、2黑1白、3黑，相应分数之和为6分、5分、4分、3分；即x可能的取值是0,2,4. 5分；，7分所以x的概率分布列为： 8分. 10分23.（本小题满分10分)【命题意图】本题考查基本不等式、数学归纳法等基础知识，考查分类讨论及运用数学归纳法的推理论证能力【答案】（1）详见解析，（2）（且）【解析】（1）因为（且）均为正实数，左右=0，所以，原不等式成立 4分（2）归纳的不等式为：（且）5分记，当（）时，由（1）知，不等式成立；假设当（且）时，不等式成立，即则当时，= =，因为，所以，所以当，不等式成立 9分综上所述，不等式（且）成立10分- 21 - 版权所有高考资源网
