1、1如图，ABCDA1B1C1D1是正方体，E、F分别是AD、DD1的中点，则平面EFC1B和平面BCC1所成二面角的正切值等于()A2BC. D解析：选A.设正方体的棱长为2，建立以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，则E(1，0，0)，F(0，0，1)，(1，2，0)，(1，0，1)易知平面BCC1的一个法向量为(0，2，0)，设平面EFC1B的法向量为m(x，y，z)，则mx2y0，mxz0，令y1，则m(2，1，2)，故cosm，tanm，2.故所求二面角的正切值为2.2(2016唐山统考)已知点A、B、C、D均在球O上，ABBC，AC3，若三棱锥
2、DABC体积的最大值为，则球O的表面积为 ()A36 B16C12 D解析：选B.由题意可得，ABC，ABC的外接圆半径r，当三棱锥的体积取最大值时，VDABCSABCh(h为点D到底面ABC的距离)hh3，设R为球O的半径，则(3R)2R2r2R2，所以球O的表面积为42216.3已知多面体ABCA1B1C1的直观图和三视图如图所示，则平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值是_解析：由题意知AA1，AB，AC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(1，1，2)，则(1，1，2)，(1，1，0)，(0，2，2)
3、设平面C1A1C的法向量为m(x，y，z)，则由得取x1，则y1，z1.故m(1，1，1)，而平面A1CA的一个法向量为n(1，0，0)，则cosm，n，故平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值为.答案：4.如图，梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ADBCAB234，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出下列四个结论：DFBC；BDFC；平面BDF平面BCF；平面DCF平面BCF，则上述结论可能正确的是_解析：对于，因为BCAD，AD与DF相交但不垂直，所以BC与DF不垂直，则不成立；对于，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BPCF时就有BDFC，而AD
4、BCAB234可使条件满足，所以正确；对于，当点D在平面BCF上的射影P落在BF上时，DP平面BDF，从而平面BDF平面BCF，所以正确；对于，因为点D在平面BCF上的射影不可能在FC上，所以不成立答案：5(2016九江统考)如图所示，在长方体ABCDABCD中，ABADAA(0)，E，F分别是AC和AD的中点，且EF平面ABCD.(1)求的值；(2)求二面角CABE的余弦值解：以D为原点，DA，DC，DD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系设AAAD2，则AB2，D(0，0，0)，A(2，0，2)，D(0，0，2)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(1，2)，F(1，0，0)(
5、1)(0，2)，(2，0，0)，(0，2，2)，因为EFDA，EFAB，所以0，0，即2240，所以.(2)设平面EAB的一个法向量为m(1，y，z)，则因为(0，2，2)，(1，0)，所以所以y，z1，所以m.由已知得为平面ABC的一个法向量，又(0，2)，所以cosm，.又二面角CABE为锐二面角，所以二面角CABE的余弦值为.6(2015高考江苏卷)如图，在四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，ABCBAD， PAAD2，ABBC1.(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的
6、长解：以，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则各点的坐标为B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)(1)由题意知，AD平面PAB，所以是平面PAB的一个法向量，(0，2，0)因为(1，1，2)，(0，2，2)设平面PCD的法向量为m(x，y，z)，则m0，m0，即令y1，解得z1，x1.所以m(1，1，1)是平面PCD的一个法向量从而cos，m，所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为.(2)因为(1，0，2)，设(，0，2)(01)，又(0，1，0)，则(，1，2)，又(0，2，2)，从而cos，.设12t，t1，3，则cos2，.当且仅当t
7、，即时，|cos，|的最大值为.因为ycos x在上是减函数，所以此时直线CQ与DP所成角取得最小值又因为BP，所以BQBP.1(2016宣城一模)如图，已知矩形ABCD中，AB2AD2，O为CD的中点，沿AO将三角形AOD折起，使DB.(1)求证：平面AOD平面ABCO；(2)求直线BC与平面ABD所成角的正弦值解：(1)证明：在矩形ABCD中，因为AB2AD2，O为CD的中点，所以AOD，BOC为等腰直角三角形，所以AOB90，即OBOA.取AO的中点H，连接DH，BH，则OHDHAO，在RtBOH中，BH2BO2OH2，在BHD中，DH2BH23，又DB23，所以DH2BH2DB2，所以
8、DHBH.又DHOA，OABHH，所以DH平面ABCO.而DH平面AOD，所以平面AOD平面ABCO.(2)分别以OA，OB所在直线为x轴，y轴，O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0)，A(，0，0)，D，C.所以(，0)，.设平面ABD的法向量为n(x，y，z)，由得即xy，xz，令x1，则yz1，n(1，1，1)设为直线BC与平面ABD所成的角，则sin ，即直线BC与平面ABD所成角的正弦值为.2.如图，ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，AFDE，DE3AF，BE与平面ABCD所成的角为60.(1)求证：AC平面BDE；(2)求二面角FBED的余弦值；(3
9、)设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM平面BEF，并证明你的结论解：(1)证明：因为DE平面ABCD，所以DEAC.因为四边形ABCD是正方形，所以ACBD，又DEBDD，所以AC平面BDE.(2)因为DE平面ABCD，所以EBD就是BE与平面ABCD所成的角，即EBD60.所以.由AD3，得BD3，DE3，AF.如图，分别以DA，DC，DE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(3，0，0)，F(3，0，)，E(0，0，3)，B(3，3，0)，C(0，3，0)所以(0，3，)，(3，0，2)设平面BEF的一个法向量为n(x，y，z)，则即令z，则n(4，2，)因为AC平面BDE，所以(3，3，0)为平面BDE的一个法向量因为cosn，.故二面角FBED的余弦值为.(3)依题意，设M(t，t，0)(t0)，则(t3，t，0)，因为AM平面BEF，所以n0，即4(t3)2t0，解得t2.所以点M的坐标为(2，2，0)，此时，所以点M是线段BD上靠近B点的三等分点