1、巩固层知识整合提升层题型探究利用正、余弦定理解三角形【例1】在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2a cos B.(1)证明：A2B；(2)若ABC的面积S，求角A的大小解(1)证明：由正弦定理得sin Bsin C2sin A cos B，故2sin A cos Bsin Bsin (AB)sin Bsin A cos Bcos A sin B，于是sin Bsin (AB).又A，B(0，)，故0AB，所以B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A2B.(2)由S，得ab sin C，故有sin B sin Csin 2Bsin B cos B，因为sin
2、B0，所以sin Ccos B，又B，C(0，)，所以CB.当BC时，A；当CB时，A.综上，A或A.解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由ABC求C，由正弦定理求a，b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用ABC，求另一角(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由ABC求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况(4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C.1如图，在ABC中，B，AB8，点D在BC边上，CD2，cos ADC.(1)求sin BA
3、D；(2)求BD，AC的长解(1)在ADC中，因为cos ADC，所以sin ADC.所以sin BADsin (ADCB)sin ADC cos Bcos ADC sin B.(2)在ABD中，由正弦定理，得BD3.在ABC中，由余弦定理，得AC2AB2BC22ABBCcos B825228549.所以AC7.判断三角形的形状【例2】在ABC中，若B60，2bac，试判断ABC的形状思路探究：利用正弦定理将已知条件中边的关系，转化为角的关系求角或利用余弦定理，由三边之间的关系确定三角形的形状解法一：(正弦定理边化角)由正弦定理，得2sin Bsin Asin C.B60，AC120.2sin
4、 60sin (120C)sin C.展开整理得sin Ccos C1.sin (C30)1.0C8，应舍去，所以x433.9，即这条公路的长约为3.9 km.(2)在ABD中，由正弦定理得，所以sin ABDsin CBDsin ADB0.8，所以cos CBD0.6.在CBD中，sin DCBsin (CBDBDC)sin (CBD75)0.80.260.60.970.79，由正弦定理得CDsin DBC3.9.故景点C与景点D之间的距离约为3.9 km.正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用常用的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等解决的基本思路是画出正确的示意图，把已
5、知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求3如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20 km和54 km处某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后监测点A，20 s后监测点C相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(精确到0.01 km).解(1)由题意得PAPB1.
6、5812(km)，PCPB1.52030(km).PBx12，PC18x.在PAB中，AB20 km，cos PAB.同理cos PAC.cos PABcos PAC，解得x.(2)作PDa于D，在RtPDA中，PDPA cos APDPA cos PABx17.71(km).所以静止目标P到海防警戒线a的距离为17.71 km.与三角形有关的综合问题探究问题1如图所示，向量与的夹角是B吗？在ABC中，的数量积与余弦定理有怎样的联系？提示向量与的夹角是B的补角，大小为180B，由于|cos Abc cos A.所以bc cos A(b2c2a2)，有时直接利用此结论解决与向量数量积有关的解三角
7、形问题2在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？提示用余弦定理可以根据角的余弦值的符号直接判断是锐角还是钝角，但计算比较复杂用正弦定理计算相对比较简单，但仍要结合已知条件中边的大小来确定角的大小，所以一般选择用正弦定理去计算比较小的边所对的角，避免讨论【例4】在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ac，已知2，cos B，b3.求：(1)a和c的值；(2)cos (BC)的值思路探究：(1)由平面向量的数量积定义及余弦定理，列出关于a，c的方程组即可求解(2)由(1)结合正弦定理分别求出B，C的正、余弦值，利用差角余弦公式求解解
8、(1)由2得ca cos B2.又cos B，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22ac cos B.又b3，所以a2c292613.解得或因为ac，所以a3，c2.(2)在ABC中，sin B，由正弦定理，得sin Csin B.因为abc，所以C为锐角，因此cos C.于是cos (BC)cos B cos Csin B sin C.1(变条件，变结论)将本例中的条件“ac，2，cos B，b3”变为“已知SABC30且cos A”求的值解在ABC中，cos A，A为锐角且sin A，SABCbc sin Abc30.bc156.|cos Abc cos A156144.2(变条件，变结论)在“母题探究1”中再加上条件“cb1”能否求a的值？解由余弦定理得a2b2c22bc cos A(bc)22bc(1cos A)1215625，a5.正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题(1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解(2)解三角形与其他知识的交汇问题，可以运用三角形的基础知识、正余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换，通过等价转化或构造方程及函数求解
