1、第5讲函数yAsin(x)的图象及应用1yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)振幅周期频率相位初相ATfx2用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：xx02yAsin(x)0A0A03函数ysinx的图象经变换得到yAsin(x)(A0，0)的图象的步骤1对函数yAsin(x)b(A0，0，0，b0)，其图象的基本变换有：(1)振幅变换(纵向伸缩变换)：是由A的变化引起的，A1时伸长，A1时缩短，0时左移，0时上移，b0，0，0，b0)的图象得到ysinx的图象，可采用逆向思维，将原变换反过来逆推得到1函数y2sin的振幅、频率和初相分别为()A
2、2， B2，C2， D2，答案A解析由振幅、频率和初相的定义可知，函数y2sin的振幅为2，频率为，初相为.故选A.2函数ysin在区间上的简图是()答案A解析令x0得ysin，排除B，D.由x时，y0，x时，y0，排除C.故选A.3(2022辽宁锦州月考)将曲线C1：y2cos上的所有点向右平移个单位，再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线C2，则C2的方程为()Ay2sin4x By2sinCy2sinx Dy2sin答案A解析曲线C1上的所有点向右平移个单位，得到曲线y2cos2cos2sin2x，再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线C2：y2sin4x.4函数f(
3、x)2sin(x)的部分图象如图所示，则，的值分别是()A2， B2，C4， D4，答案A解析由图可知，T，所以T，2.因为点在图象上，所以22k，kZ，所以2k，kZ.又0,0)，则这段曲线的函数解析式为_.答案y10sin20，x6,14解析从图中可以看出，从614时的是函数yAsin(x)b的半个周期，所以A(3010)10，b(3010)20，又146，所以.又1022k，kZ,00，0)的图象由ysinx的图象的变换，先将ysinx的图象向左(向右)平移|个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短(1)或伸长(01)或缩短(0A0，得2k，kZ，所以ysinsin，同理，当2时，2k，k
4、Z，所以ysincos.故选BC. 确定yAsin(x)b(A0，0)的解析式的步骤(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A，b.(2)求.确定函数的周期T，则.(3)求.常用的方法如下：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象上的最高点或最低点代入五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口3.(2021全国甲卷)已知函数f(x)2cos(x)的部分图象如图所示，则满足条件0的最小正整数x为_.答案2解析由，得T，|2，不妨取2，则f(x)2cos(2x)，将点看作“五点作图法”中的第二个点，则，所以f(x)2cos.则0
5、，即(f(x)1)f(x)0，解得f(x)1.所以cos或cos0.当x1时，2x2，cos，不符合题意；当x2时，2x4，cos0，符合题意所以满足题意的最小正整数x为2.多角度探究突破考向四函数yAsin(x)的图象与性质角度函数图象与性质的综合应用例4(2021山东泰安模拟)在函数f为奇函数；当x时，f(x)；是函数f(x)的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答已知函数f(x)2sin(x)，f(x)的图象相邻两条对称轴间的距离为，_.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在0,2上的单调递增区间注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解函数f(x)的
6、图象相邻对称轴间的距离为，T2，1，f(x)2sin(x)选条件：f2sin为奇函数，k，kZ，解得k，kZ.(1)0，f(x)2sin.(2)由2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ，令k0，得x，令k1，得x，函数f(x)在0,2上的单调递增区间为，.选条件：f2sin，sin，2k，kZ或2k，kZ.(1)0，f(x)2sin.(2)同选条件.选条件：是函数f(x)的一个零点，f2sin0，k，kZ.(1)00)的形式(2)把x看成一个整体(3)借助正弦函数ysinx的图象与性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题4.(2021潍坊一模)已知函数f(x)Asin(
7、x)(A0，0,0)是偶函数，将yf(x)的图象沿x轴向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为yg(x)已知yg(x)的图象相邻对称中心之间的距离为2，则_，若yg(x)的图象在其某对称轴处对应的函数值为2，则g(x)在0，上的最大值为_.答案1解析把yAsin(x)的图象沿x轴向左平移个单位，所得图象的解析式为yAsinAsin，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的解析式为yAsing(x)由题意可知g(x)的周期为4，所以4，1.因为yg(x)的图象在其某条对称轴处对应的函数值为2，A0，所以A2，所以f(x)2sin
8、(x)因为f(x)2sin(x)是偶函数，0，所以，所以g(x)2sin2cos，当x0，时，则g(x)在0，上的最大值为g(0).角度函数零点(方程根)问题例5(2022湖南郴州期中)已知关于x的方程2sin2xsin2xm10在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是_.答案(2，1)解析方程2sin2xsin2xm10可转化为m12sin2xsin2xcos2xsin2x2sin，x.设2xt，则t，题目条件可转化为sint，t有两个不同的实数根y和ysint，t的图象有两个不同的交点，如图：由图象观察知，的取值范围是，故m的取值范围是(2，1) 巧用图象解决三角函数中的零点(方程根)问题
9、解决三角函数中的零点(方程根)问题的关键是根据条件作出对应函数的图象，然后再将方程根的问题转化为图象的交点问题，利用数形结合思想解决5.(2021潍坊二模)已知函数f(x)sin，若函数g(x)f(x)a(aR)在x上恰有三个零点x1，x2，x3(x1x2x3)，则x3x1的值是()A. B C D2答案C解析当x时，2x，函数g(x)f(x)a(aR)在x上恰有三个零点x1，x2，x3(x1x2x3)，两式相减得x3x1.故选C.角度三角函数模型的简单应用例6某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10costsint，t0,24)(1)求实验室这一天
10、的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ，则在哪段时间实验室需要降温？解(1)f(t)102102sin，因为0t24，所以t11时实验室需要降温由(1)得f(t)102sin，故有102sin11，即sin.又因为0t24，因此t，即10t0)的图象向右平移个单位长度后，与函数ytan的图象重合，则的最小值为()A. B C D答案D解析将函数ytan(0)的图象向右平移个单位长度得到ytantan的图象，所以k，kZ，解得6k，kZ，又0，所以的最小值为.6(2021咸阳模拟)已知点P是函数yAsin(x)(0)图象上的一个最低点，M，N是与点P相邻的两个最高点，若MPN60，则该函
11、数的最小正周期是()A3 B4 C5 D6答案D解析由点P是函数yAsin(x)(0)图象上的一个最低点，M，N是与点P相邻的两个最高点，知|MP|NP|，又MPN60，所以MPN为等边三角形由点P，得|MN|26.故该函数的最小正周期T6.7(2021黄冈中学高三模拟)将函数f(x)sin(2x)的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为()A B C D答案A解析将函数f(x)sin(2x)的图象向左平移个单位长度得到ysinsin的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则k(kZ)，又|0)个单位后，得到函数g(x)的图象，若对于任意的xR，g(x)|g|，则a
12、的值可以为()A. B C D答案C解析由函数f(x)2sin(x)的部分图象知，f(x)的图象过点(0,2)，所以f(0)2sin2，可得sin，因为|，即0，所以k0，2，可得f(x)2sin.因为g(x)f(xa)2sin，所以g2sin2sin，又对于任意的xR，g(x)|g|，所以g2sin2，可得2ak，kZ，解得ak，kZ，所以当k1时，可得a.故选C.二、多项选择题9(2021辽宁省实验中学高三模考)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数下列函数中是“互为生成”函数的是()Af1(x)sinxcosxBf2(x)(sinxcosx)Cf3(x)s
13、inxDf4(x)sinx答案AD解析f1(x)sinxcosxsin的图象向右平移个单位长度，然后向上平移个单位长度后能够与f4(x)sinx的图象重合；f2(x)(sinxcosx)2sin，与其他函数前面系数不同，平移后不能重合，函数f3(x)sinx与其他函数前面的系数也不同，平移后不能重合故选AD.10(2021江苏南通高三模拟)如图，摩天轮的半径为40 m，其中心O点距离地面的高度为50 m，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，且20 min转一圈，若摩天轮上点P的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中()A经过10 min，P点距离地面10 mB若摩天轮转速减半，则其周期变为原来的C第
14、17 min和第43 min时，P点距离地面的高度相同D摩天轮转动一圈，P点距离地面的高度不低于70 m的时间为 min答案ACD解析设点P距离地面的高度与时间的关系式为f(t)Asin(t)h.依题意，A40，h50，T20，则，因为f(0)40sin5090，所以，所以f(t)40sin50(t0)对于A，f(10)40sin5010，A正确；对于B，若摩天轮转速减半，则其周期变为原来的2倍，B错误；对于C，f(17)40sin5040cos5040cos50，f(43)40sin5040cos50，所以f(17)f(43)，C正确；对于D，令f(t)70，得40sin5070，所以cos
15、t，所以2kt2k，kZ，解得20kt20k，kZ，即摩天轮转动一圈，P点距离地面的高度不低于70 m的时间为min，D正确故选ACD.11.(2021菏泽模拟)已知函数f(x)Asin(x4)的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列命题正确的是()A函数f(x)的解析式为f(x)2sinB函数g(x)的解析式为g(x)2sinC函数f(x)图象的一条对称轴是直线xD函数g(x)在区间上单调递增答案ABD解析由图可知，A2，T4，得，f(x)2sin，将(0,1)代入得sin4，结合0，所以x0，于是xB，4
16、xI4，即3.5xI3.75，所以m可取3.8,3.9，m4时至少有11个零点，故选AB.三、填空题13(2021北京海淀模拟)去年某地的月平均气温y()与月份x(月)近似地满足函数yabsin(a，b为常数)若6月份的月平均气温约为22 ，12月份的月平均气温约为4 ，则该地8月份的月平均气温约为_.答案31解析将(6,22)，(12,4)代入函数，解得a13，b18，所以y1318sin.当x8时，y1318sin31.14(2020江苏高考)将函数y3sin的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是_.答案x解析将函数y3sin的图象向右平移个单位长度，所得图象
17、对应解析式为y3sin3sin，令2xk(kZ)，得x(kZ)当k1时，x，故与y轴最近的对称轴方程为x.15已知x(0，关于x的方程2sina有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为_.答案(，2)解析令y12sin，x(0，y2a，作出y1的图象如图所示若2sina在(0，上有两个不同的实数解，则y1与y2的图象应有两个不同的交点，所以a2.16(2021德州二模)声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数yAsint，已知函数f(x)2cos(2x)()的图象向右平移个单位后，与纯音的数学模型函数y2sin2x的图象重合，则_；若函数f(x)在a，a上是减函数，则a的最大值是_
18、.答案解析将函数y2sin2x的图象向左平移个单位后可得到函数yf(x)的图象，则f(x)2sin2sin2sin2cos，又f(x)2cos(2x)()，所以.令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，所以函数yf(x)的单调递减区间为(kZ)，由0(kZ)，可得k0，由于函数yf(x)在区间a，a上单调递减，则a，a，所以解得0a，则a的最大值为.四、解答题17(2021福建龙岩模拟)把函数f(x)2sinx的图象向左平移个单位，得到函数yg(x)的图象，函数yg(x)的图象关于直线x对称，记函数h(x)f(x)g(x)(1)求函数yh(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)画出函数yh
19、(x)在区间上的大致图象解(1)由题意知g(x)2sin(x)，根据函数yg(x)的图象关于直线x对称，得m(mZ)，即m(mZ)，又0，所以，则g(x)2sin.则h(x)f(x)g(x)4sinxsin4sinx2sin2x2sinxcosx1cos2xsin2x2sin1，则函数yh(x)的最小正周期T.令2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，故函数yh(x)的单调递增区间是(kZ)(2)列表如下：x2x0sin0101h(x)211132故yh(x)在区间上的大致图象如下：18(2021山东青岛高三月考)已知函数f(x)Asin(A0，0)只能同时满足下列三个条件中的两个：函数f(x
20、)的最大值为2；函数f(x)的图象可由ysin的图象平移得到；函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.(1)请写出这两个条件的序号，并求出f(x)的解析式；(2)求方程f(x)10在区间，上所有解的和解(1)函数f(x)Asin满足的条件为.理由如下：由题意可知条件相互矛盾，故为函数f(x)Asin满足的条件之一由可知，函数f(x)的最小正周期T，所以2，故不符合题意，所以函数f(x)Asin满足的条件为.由可知A2，所以f(x)2sin.(2)因为f(x)10，所以sin，所以2x2k(kZ)或2x2k(kZ)，所以xk(kZ)或xk(kZ)又x，所以x的取值为，.所以方程f(x)10
21、在区间，上所有解的和为.19.(2021合肥一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆的交点为A，圆C：x2y23与x轴正半轴的交点是P0.若圆C上一动点从P0开始，以 rad/s的角速度逆时针做圆周运动，t s后到达点P.设f(t)|AP|2.(1)若且t(0,2)，求函数f(t)的单调递增区间；(2)若f2，求f.解由已知和三角函数的定义可知，A(cos，sin)，P(cost，sint)，所以f(t)|AP|2(coscost)2(sinsint)242cos(t)(1)若，则f(t)42cos，令2kt2k，kZ，解得2kt2k，kZ，又t(0,2)，所以函数f(t)的单调递增区间为.(2)若f42cos2，则cos，因为，所以0，故sin，所以f42cos42cos42sin4242，故f42.