1、第9讲函数模型的应用1常见的函数模型 函数模型函数解析式一次函数型f(x)axb(a，b为常数，a0)二次函数型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数型f(x)baxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)对数函数型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)幂函数型f(x)axnb(a，b，n为常数，a0)2指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值
2、变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax形如f(x)x(a0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(，和，)上单调递增，在，0)和(0，上单调递减(2)当x0时，x时取最小值2，当x0时，x时取最大值2.1设甲、乙两地的距离为a(a0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()答案D解析y为小王从出发到返回原地所经过的路程，而不是位移，故排除A，C；又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B.故选D.2在某个物理实验中，测量出变量x
3、和变量y的几组数据如下表： x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是()Ay2x Byx21Cy2x2 Dylog2x答案D解析根据x0.50，y0.99，代入各选项计算，可以排除A；根据x2.01，y0.98，代入其余各选项计算，可以排除B，C；将各数据代入函数ylog2x，可知满足题意故选D.3下列函数中，随着x的增大，y也增大，且增长速度最快的是()Ay0.001ex By1000ln xCyx1000 Dy10002x答案A解析在对数函数、幂函数、指数函数中，指数函数的增长速度最快，故排除B，C；指数函数中，当底数大于1时，底数越
4、大，函数的增长速度就越快，系数的影响可忽略不计故选A4某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y300020x0.1x2(0x240，xN*)，若每台产品的售价为25万元，且销量等于产量，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A100台 B120台C150台 D180台答案C解析设利润为f(x)万元，则f(x)25x(300020x0.1x2)0.1x25x3000(0x0)若物体的温度总不低于2摄氏度，则m的取值范围是_.答案解析由题意得，m2t21t2恒成立(t0，且m0)，又m2t21t2，22，m.考向一利用函数图象刻画实际问题例1(1)(2021遵义模
5、拟)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0a12)不考虑树的粗细，现用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数uf(a)(单位：m2)的图象大致是()答案B解析设AD的长为x m，则CD的长为(16x) m，则矩形ABCD的面积为x(16x) m2.因为要将点P围在矩形ABCD内，所以ax12.当0a8时，当且仅当x8时，u64；当8a12时，ua(16a)画出函数图象可得其形状与B选项接近故选B.(2)(多选)血药浓度(Plasma Concentration)是指药物吸
6、收后在血浆内的总浓度药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是()A首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用B每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒C每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒答案ABC解析从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用该药物1单位
7、约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误故选ABC 用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可1.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油
8、效率情况下列叙述中正确的是()A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油答案D解析从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h时的燃油效率大于5 km/L，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A错误；由图可知甲车消耗汽油最少，所以B错误；甲车以80 km/h的速度行驶时的燃油效率为10 km/L，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L汽油，所以C错误；当最高限速为80 km/h且速度相同时丙车的燃油效率大
9、于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D正确2(多选)(2021淄博模拟)一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示，下列四个论断一定正确的是()A0点到3点只进水不出水B3点到4点不进水只出水C3点到4点总蓄水量降低D4点到6点不进水不出水答案AC解析由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的，所以0点到3点不出水，A正确；3点到4点一个进水口进水，一个出水口出水，总蓄水量降低，B错误，C正确；4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，D错误考向二已知函数模型解决实际问题例2(1)(2021连云港模拟)高压10 kV输
10、电线路电压损失估算口诀：架空铝线十千伏，电压损失百分数；输距电流积六折，再被导线截面除；输距千米电流安，截面毫方记清楚其意义为“对于高压10 kV的架空铝线，若输电线路的输距为x km，电流为y A，导线截面为z mm2，则电压损失百分数U%.”据此可知，对于一条长度为10 km，高压为10 kV的输电线路，若当导线截面为50 mm2，电流为30 A时的电压损失百分数为U1%，当导线截面为40 mm2，电流为35 A时的电压损失百分数为U2%，则()A B C D答案C解析由题意可知U1%，U2%，.故选C(2)(2021江西九江模拟)碳14年代测定法由时任美国芝加哥大学教授威拉得法兰克利比(
11、Willard Frank Libby)发明，威拉得法兰克利比因此获得诺贝尔化学奖碳是有机物的元素之一，生物在生存的时候，由于需要呼吸，其体内的碳14含量大致不变，生物死去后会停止呼吸，此时体内的碳14开始减少，人们可通过检测一件古物的碳14含量，来估计它的大概年龄，这种方法称之为碳定年法设Nf是生物样品中的碳14的含量，N0是活体组织中碳14的含量，t为生物死亡的时间(单位：年)，已知NfN0 (其中T为碳14半衰期，且T5730)，若2021年测定某生物样本中NfN0，则此生物大概生活在()(参考资料：log231.585.西周：公元前1046年前771年；晋代：公元265年公元420年；
12、宋代：公元907年公元1279年；明代：公元1368年公元1644年)A西周 B晋代 C宋代 D明代答案C解析2021年测定某生物样本中NfN0，已知NfN0，N0N0，得，则(log28log29)(32log23)(321.585)0.17，T5730，t0.175730974.1，2021974.11046.9，故此生物大概生活在宋代故选C 利用已知函数模型解决实际问题的步骤若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象，求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值，再用求得的函数解析式解决实际问题3.为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中需要对文件加密，有一种加
13、密密钥密码系统(PrivateKey Cryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文密文(加密)，接收方由密文明文(解密)现在加密密钥为ykx3，若明文“4”通过加密后得到密文“2”，则接收方接到密文“”，解密后得到的明文是()A B C2 D答案A解析由已知，可得当x4时，y2，所以2k43，解得k，故yx3.令yx3，即x3，解得x.故选A4(2021合肥模拟)声强级(单位：dB)由公式LI10lg 给出，其中I为声强(单位：W/m2)某班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，恐惊读书人”主题活动，要求课下同学之间交流时，每人的声强级不超过40 dB，现已
14、知4位同学课间交流时，每人的声强分别为107 W/m2，2109 W/m2，51010 W/m2,91011 W/m2，则这4人中达到班级要求的有()A1人 B2人 C3人 D4人答案C解析依题意，当I107 W/m2时，LI10lg 10lg 10550；当I2109 W/m2时，LI10lg 10lg (2103)10(lg 23)3010lg 23010lg 1040；当I51010 W/m2时，LI10lg 10lg (5102)10(lg 52)2010lg 52010lg 1030；当I91011 W/m2时，LI10lg 10lg (910)10(lg 91)1010lg 90)
15、模型例4在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200 m2的矩形区域(如图所示)，按规划要求：在矩形内的四周安排2 m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2，设矩形的长为x(m)(1)求总造价y(元)关于长度x(m)的函数；(2)当x(m)取何值时，总造价最低，并求出最低总造价解(1)由矩形的长为x m，得矩形的宽为 m，则中间区域的长为(x4) m，宽为 m，定义域为x(4,50)则y100(x4)200，整理得y18400400，x(4,50)(2)因为x220，当且仅当x，即x10(4,
16、50)时取等号所以当x10时，总造价最低为(184008000)元 应用函数f(x)ax(ab0)模型的关键点(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)ax与反比例函数f(x)叠加而成的(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)ax(ab0)的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f(x)ax(ab0)的形式(3)利用模型f(x)ax(ab0)求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件6. (2021福州月考)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运
17、年数为_.答案5解析根据图象求得y(x6)211，年平均利润12，x10，当且仅当x5时等号成立，为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为5.角度构造指数函数、对数函数模型例5(1)(2020新高考卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R01rT.有学者基于已有数据估计出R03.28，T6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为
18、(ln 20.69)()A1.2天 B1.8天C2.5天 D3.5天答案B解析因为R03.28，T6，R01rT，所以r0.38，所以I(t)erte0.38t.设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，则e0.38(tt1)2e0.38t，所以e0.38t12，所以0.38t1ln 2，所以t1 1.8天故选B.(2)(2021益阳模拟)我们检测视力时会发现对数视力表中有两列数据，分别是小数记录与五分记录，如图所示(已隐去数据)，其部分数据如表：小数记录x0.10.120.150.2？五分记录y4.04.14.24.34.7小数记录x1.01.21.52.0五分记录
19、y5.05.15.25.3现有如下函数模型：y5lg x，y5lg ，x表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为()(附：100.30.5,50.220.7,100.10.8)A0.3 B0.5 C0.7 D0.8答案B解析由数据可知，当x1时，y5，两个都符合，但当x0.1时，由y5lg x，得y5lg 0.14，与表中的数据符合，而y5lg 105.1，与表中的数据不符合，所以选择模型y5lg x更合适，此时令y4.7，则lg x0.3，所以x100.30.5.故选B. 指数(对数)函数模
20、型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率、细胞分裂有关的问题都属于指数函数模型对数模型(底数大于1)是增长速度越来越慢的一类函数模型(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数7.(2021聊城一模)果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t(天)满足的函数关系式为hmat.若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20
21、天，这种水果失去的新鲜度为20%.那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度(已知lg 20.3，结果取整数)()A23天 B33天C43天 D50天答案B解析故a，故h.令h，10，lg 21，故t33.故选B.8(2021浙江省台州市模拟)5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：CWlog2.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至2000，则C大约增加了()A10% B30%C50% D100%答案A解析当1000时，CWlog
22、2(11000)，当2000时，CWlog2(12000)，则11lg 2，又lg lg 2lg ，根据选项分析，lg 20.1，所以信噪比从1000提升至2000，则C大约增加了10%.故选A一、单项选择题1(2021全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L5lg V已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1.259)()A1.5 B1.2 C0.8 D0.6答案C解析将L4.9代入L5lg V，得lg V0.1，所以V0.8.故选C2某公司租地建
23、仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万和8万，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A5千米处 B4千米处C3千米处 D2千米处答案A解析设仓库建在离车站x千米处，则y1，y2k2x，根据给出的初始数据可得k120，k20.8，两项费用之和为y0.8x8，当且仅当x5时，等号成立3据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：min)为f(x)(A，c为常数)已知某工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是
24、()A75,25 B75,16 C60,25 D60,16答案D解析由题意可知41时，甲走在最前面B当x1时，乙走在最前面C当0x1时，丁走在最后面D如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲答案CD解析甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i1,2,3,4)关于时间x(x0)的函数关系式分别为f1(x)2x1，f2(x)x2，f3(x)x，f4(x)log2(x1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型当x2时，f1(2)3，f2(2)4，所以A不正确；当x5时，f1(5)31，f2(5)25，所以B不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度
25、是先快后慢，又当x1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0x1时，丁走在最后面，所以C正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确11. 小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系f(x)则下列说法正确的是()A随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低B第一天小菲的单词记忆保持量下降最多C9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%D26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%
26、答案ABC解析由函数解析式可知f(x)随着x的增加而减少，故A正确；由图象可得B正确；当1，故D错误12已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用PAlg nA来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数现有以下几种说法，其中正确的是()APA1BPA10C若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10D假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5PA5.5(注：lg 20.3)答案BD解析当nA1时，PA0，故A错误；又nAnB1010且nA，nBN*，nA 1010，PAlg 101010，故B正确；若PA
27、1，则nA10；若PA2，则nA100，故C错误；B菌的个数为nB5104，nA2105，则PAlg nA5lg 2.又lg 20.3，5PA0，可得2x6，yBC2x2 6，当且仅当(2x6)，即x2时等号成立16. (2021重庆调研)为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y(mg/m3)与时间t(h)的函数关系式为y(如图所示)，实验表明，当药物释放量y，故为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过6040(分钟)人方可进入房间四、解答题17国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张
28、收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠；每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解设该旅行团的人数为x人，每张飞机票的价格为y元，旅行社可获得的利润为w元(1)当0x30时，y900，当30x75时，y90010(x30)10x1200，综上，y(2)当0x30时，w900x15000，wmax900301500012000(元)；当300，且b1)；yloga(xb)(a0，且a1)(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系；(2)试判断该企业年利润为6百万元时，该企业是否要考虑转型解(1)将(3,1)，(5,2)代入ykxb(k0)，得解得yx.当x9时，y4，不符合题意；将(3,1)，(5,2)代入yabx(a0，b0，且b1)，得解得y()x.当x9时，y8，不符合题意；将(3,1)，(5,2)代入yloga(xb)(a0，且a1)，得解得ylog2(x1)当x9时，ylog283；当x17时，ylog2164.故可用来描述x，y之间的关系(2)令log2(x1)6，则x65.年利润10%，该企业要考虑转型