1、宁夏大学附属中学2021届高三数学上学期期中试题 理（含解析）卷I（选择题）一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5分，共计60分）1. “”是“”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】由求得，由求得，或，再结合充分必要条件的判定方法判断【详解】解：由，可得，故充分性成立；由，得，或， “”是“”的充分非必要条件故选：A【点睛】本题考查三角函数值的求法，考查充分必要条件的判定方法，属于基础题2. 已知集合中有且只有一个元素，那么实数的取值集合是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意分方程为
2、一次方程和二次方程两种情况分别求解.【详解】由集合中有且只有一个元素，得a=0或,实数a的取值集合是0, 故选B【点睛】本题考查实数的取值集合的求法，考查单元素集的性质等基础知识.3. 若命题是真命题，是真命题，则下列命题中，真命题是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意，命题是真命题，则是假命题，根据真值表，即可判定，得到答案.【详解】由题意，命题是真命题，则是假命题，由真值表可得，命题和和都为假命题，只有命题为真命题.故选D.【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判定，其中解答中熟记复合命题的真假判定的真值表，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与辨析能力，属于基础题
3、.4. 已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据图像判断出阴影部分表示，由此求得正确选项.【详解】根据图像可知，阴影部分表示，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查集合交集与补集的概念和运算，考查韦恩图，属于基础题.5. 函数f(2x)=x+1,则f(4)=（ ）A. 5B. 4C. 3D. 9【答案】C【解析】【分析】令即得解.【详解】当时，.故选C【点睛】本题主要考查函数值的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.6. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据偶函数
4、定义,结合对数函数、指数函数、二次函数以及幂函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项.【详解】对于，是偶函数，且在上单调递减，故正确.对于，是偶函数，且在区间上是单调递增，故错误.对于,是奇函数，不满足题意，故错误.对于，的图象不关于轴对称,不是偶函数，故错误，故选A.【点睛】本题主要考查偶函数的定义，对数函数、指数函数的图象、二次函以及幂函数的单调性，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.7. 函数零点是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】令，求出的值，即为的零点.【详解】由题意，令，则，解得，所以函数的零点是2.故选：A.8. 函数在闭区间上的最大值、
5、最小值分别是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先研究函数在区间上的单调性，再根据单调性求最值即可.【详解】解：，解得，再根据二次函数性质得在上，在上，所以函数在单调递增，在单调递减，所以，所以.所以函数在闭区间上的最大值、最小值分别是.故选：B.【点睛】本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值问题，是基础题.9. 已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数的图象关于y轴对称，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先将函数化简，并用辅助角公式化成一个形式，函数的图象关于轴对称，也就是说函数是偶函数，因此有，而，就能求的最小值
6、.【详解】 进行化简得，由题意可知，函数的图象关于轴对称也就是说函数是偶函数，所以有成立，即因为 所以的最小值为，此时，故本题选A.【点睛】本题考查了两角知差的余弦公式、三角函数图象的平移、辅助角公式、偶函数图象特征10. 在半径为2的圆中，长度为的弦与其所对劣弧围成的弓形的面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出扇形（圆心角为）的面积为，再结合弦与其所对劣弧围成的弓形的面积为，计算即可.【详解】如下图，圆的半径为2，弦的长度为2，则为正三角形，所以扇形（圆心角为）的面积为，又的面积为，所以弦与其所对劣弧围成弓形的面积为.故选：A.11. 如图是函数的部分图象，若是
7、在上的极小值点，则（ ）A. 4B. 0C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】根据图象求出解析式，根据是在上的极小值点求出，进而计算可得解.【详解】由图象可得：，最小正周期为，故，由在时取得最大值，所以，可得，因为，所以，得，所以，由是在上的极小值点，可得，所以，即，因为，所以，所以故选：D.【点睛】本题考查了由三角函数图象求解析式，考查了求函数的极值点，考查了三角函数值，属于中档题.12. 已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】函数有两个极值点，即有两不等实根，令，则与直线有两不同交点，对函数求导，判单调性求最值画图像，结合图像可
8、得答案.【详解】因为函数有两个极值点，所以方程有两不等实根，令，则与直线有两不同交点，又，由得，所以，当时，即单调递增；当时，即单调递减；所以，又，当趋向于正无穷时，趋于0，且；作出函数的简图如下：因为与直线有两不同交点，所以，即.故选：D【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值极值问题，考查学生分析问题能力和计算能力，属于中档题.卷II（非选择题）二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 已知，为单位向量，当与的夹角为时，则在方向上的投影为_.【答案】【解析】【分析】根据平面向量数量积的几何意义直接求解即可.【详解】因为，为单位向量，与的夹角为，所以在方向上的投
9、影为：.故答案为：【点睛】本题考查了平面向量数量积的几何意义，属于基础题.14. 在中，点，满足，若，则_.【答案】【解析】【分析】由已知得，由此能求出结果【详解】解：在中，点，满足，故答案为：【点睛】本题考查代数式求值，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用，属于基础题15. 若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先由题意得到，恒成立，推出，求解，即可得出结果.【详解】因为命题“，使得”为假命题，所以，恒成立，所以只需，解得.故答案为【点睛】本题主要考查由命题的真假求参数的问题，熟记一元二次不等式恒成立的判定条件即可，属于常考题型.16. 已知是定义
10、在上的奇函数，当时，若，则不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】令，对其求导，由时，可知，从而在上单调递减，由的奇偶性，可得是定义域上的偶函数，从而可得出在上的单调性，再结合，可求出的解集.【详解】由题意，令，则，因为时，则，故在上单调递减，又是定义在上的奇函数，所以，所以，即是上的偶函数，根据偶函数的对称性，可知在上单调递增，且，所以时，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式的解集，解题关键是求出函数的单调性.本题通过构造函数，求导并结合当时，可求出函数在上的单调性，再结合函数的奇偶性，可求出在定义域上的单调性.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题三、解答题（本题
11、共计 6 小题，每题 10 分，共计60分）17. 已知集合，（1）当时，求；（2）若，求取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由集合的交集、补集的定义运算即可得解；（2）转化条件为，按照、分类，运算即可得解.【详解】（1）当时，则或，又，所以；（2）因为，所以，当时，解得；当时，则，解得；综上，的取值范围为.18. 已知向量，满足：，且.（1）求向量与的夹角；（2）求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据，且，由求解.（2）由求解.【详解】（1）因为，且，所以，即，即，因为，所以.（2），.19. 某同学用“五点法”画函数在一个周期内的图象，列表并填入数据得到
12、下表：（1）求函数的解析式；（2）三角形中，角，所对的边分别是，若，求三角形的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由三角函数的图象与性质逐步计算出、，即可得解；（2）先计算出，利用降幂公式结合余弦定理可转化条件得，再由余弦定理可得，结合三角形面积公式即可得解【详解】（1）由题意可得，解得，函数的最小正周期满足，所以，又，所以，所以，即，由可得，所以；（2）由题意，所以，由可得，所以，即，又，所以，即，化简得，又，所以，由余弦定理得，即，所以，所以.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是熟练掌握三角函数的图象与性质及三角恒等变换、余弦定理的应用，细心运算即可得解.20. 在边长为的
13、正三角形中，已知，点是线段的中点，点在线段上，.（1）以为基底表示；（2）求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据平面向量的基本定理进而转化即可；（2）利用平面向量的数量积，计算即可.【详解】（1）由题意，；.（2）由题意得，.21. 已知向量，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为. （1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在区间上的值域.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示，及三角函数的恒等变换，可得，由图象的相邻两条对称轴之间的距离，可求出的周期，再结合公式，可求出，即可得到函数的解析式，从而求出单调递减区间即可；（2）由的范围，可得到的范围
14、，根据正弦函数的性质，可求出的取值范围，进而可求出函数在区间上的值域.【详解】（1）由题意，因为图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以的周期，所以，解得，故，令，解得，所以函数的单调递减区间为.（2）由，可得，根据正弦函数的性质，可得，所以.故函数在区间上的值域为.【点睛】方法点睛：求函数（或）的单调区间的方法：（1）把的系数化为正值（通过诱导公式转化）；（2）把“”视为一个整体，结合函数（或）的单调性，得到“”的取值范围；（3）解“”所对应的不等式，得到的取值范围，即可得到单调区间.22. 设函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）如果对于任意的，都有成立，试求的取值范围.【答案】（1）答案见
15、解析；（2）.【解析】【分析】（1）求导分和两种情况，分别分析导函数的正负，可得出原函数的单调性；（2）先求导，分析导函数的正负，得出函数的单调性，从而求得最值，运用不等式恒成立思想，将问题转化为在上恒成立，令，运用导函数得出函数的最大值，可求得实数a的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为， 当 时，所以函数 在 上单调递增；当 时，当 时， 则 ，函数单调递增，当时， ，函数单调递减，所以时，函数在 单调递减，在上递增；（2）由已知得，所以当时，所以函数在上单调递增，当时，所以函数在上单调递减，又，所以函数在上的最大值为1，依题意得，只需在，恒成立，即，也即是在上恒成立，令，则，有，当时，即在上单调递增，当时，所以在上单调递减，所以，当时，函数取得最大值，故，即实数a的取值范围是.【点睛】本题考查运用导函数分类讨论求得函数的单调性，解决不等式恒成立的问题，属于较难题. 不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，总有成立，故；（2）若，有成立，故；（3）若，有成立，故；（4）若，有，则的值域是值域的子集
