1、山西省孝义市2021届高三下学期理数第十一次模拟试卷一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合 ，非空集合A满足 ，则符合条件的集合A的个数为（ ） A.3B.4C.7D.82.已知复数 满足 ，则 （ ） A.B.C.D.3.某街道甲，乙、丙三个小区的太极拳爱好者人数如下的条形图所示该街道体协为普及群众健身养生活动，准备举行一个小型太极拳表演，若用分层抽样的方法从这三个小区的太极拳爱好者中抽取12名参加太极拳表演；则丙小区应抽取的人数为（ ） A.2B.3C.4D.64.已知椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆 的上顶点，
2、若 则 （ ） A.3B.5C.7D.95.在平面直角坐标系 中，已知点 和圆 ，在圆 上任取一点 ，连接 ，则直线 的斜率大于 的概率是（ ） A.B.C.D.6.数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，用以下方法画出了如图所示的螺旋线.具体作法是：先作边长为1的正三角形ABC，分别记射线AC，BA，CB为l1 ， l2 ， l3 ， 以C为圆心CB为半径作劣弧BC1交l1于点C1；以A为圆心AC1为半径作劣弧C1A1交l2于点A；以B为圆心BA1为半径作劣弧A1B1交l3于点B1 ，
3、 ，依此规律作下去，就得到了一系列圆弧形成的螺旋线.记劣弧BC1的长，劣弧C1A1的长，劣弧A1B1的长，依次为 则 （ ） A.30B.45C.60D.657.已知 是边长为4的等边三角形， 为 的中点，点 在边 上；且 ；设 与 交于点 ，当 变化时，记 ，则下列说法正确的是（ ） A. 随 的增大而增大B. 先随 的增大而增大后随 的增大而减少C. 随 的增大而减少D. 为定值8.设 是给定的平面， 和 是不在 内的任意两点，给定下列命题： 在 内存在直线与直线 异面 在 内存在直线与直线 相交存在过直线 的平面与 垂直 存在过直线 的平面与 平行以上一定正确的是（ ）A.B.C.D.9
4、.快递行业的高速发展极大地满足了人们的购物需求，也提供了大量的就业岗位，出现了大批快递员某快递公司接到甲、乙两批快件，基本数据如下表：体积（立方分米/件）重量（千克/件）快递员工资（元/件）甲批快件20108乙批快件102010快递员小马接受派送任务；小马的送货车载货的最大容积为350立方分米，最大截重量为250千克，小马一次送货可获得的最大工资额为（）A.150元B.170元C.180元D.200元10.已知函数 则方程 的所有实根之和为（ ） A.2B.3C.4D.111.已知函数 ，若 在区间 上不存在零点，则 的取值范围是（ ） A.B.C.D.12.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，
5、过 作圆 的切线，切点为 ，延长 交双曲线 的左支于点 若 ，则双曲线 的离心率的取值范围是（ ） A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 展开式中的常数项等于_. 14.设 为等比数列 的前 项和，且 ，则 的值是_ 15.已知曲线 和直线 ，点 在曲线 上，点 在直线 上，则 的最小值是_ 16.已知四面体 的棱长均为 分别为棱 上靠近点 的三等分点，过 三点的平面与四面体 的外接球 的球面相交,得圆 ，则球 的半径为_，圆 的面积为_ 三、解答题（本大题共7小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.在 中，角A，B，C的对边分别
6、为a，b，c，且 . （1）求角B的大小； （2）设D为边AC上一点， ， ，求 面积的最小值. 18.张先生到一家公司参加面试，面试的规则是；面试官最多向他提出五个问题，只要正确回答出三个问题即终止提问，通过面试根据经验，张先生能够正确回答面试官提出的任何一个问题的概率为 ，假设回答各个问题正确与否互不干扰 （1）求张先生通过面试的概率； （2）记本次面试张先生回答问题的个数为 ，求 的分布列及数学期望 19.如图；在梯形 中， 为 的中点； 为 的中点，沿 将三角形 折起 （1）证明：在折起过程中，平面 平面 ， （2）当折起到平面 平面 时，求二面角 的余弦值， 20.已知抛物线 的焦点
7、为 ，准线为 ，以 为圆心的圆与 相切；与抛物线 相交于 两点，且 （1）求抛物线的方程 （2）不与坐标轴垂直的直线与抛物线 交于 两点：与 轴交于 点；线段 的垂直平分线与 轴交于 点，若 ，求 点的坐标 21.已知函数 （1）当 时，判定 有无极值，并说明理由； （2）若 对任意的 恒成立，求 的最小值 22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为 ，曲线C的参数方程为 (t为参数).以O点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l和曲线C的极坐标方程； （2）设射线 与直线l和曲线C分别交于点M，N，求 的最小值. 23.已知函数 . （1）求不等式 的解集； （2）记
8、 的最小值为m，正实数a，b满足 ，证明： . 答案解析部分一、单选题1.已知集合 ，非空集合A满足 ，则符合条件的集合A的个数为（ ） A.3B.4C.7D.8【答案】 A 【考点】集合的包含关系判断及应用 【解析】【解答】根据题意，得 ，即求 的非空子集个数， ， 的非空子集个数是 ，所以集合A的个数是3故答案为：A 【分析】由集合之间的关系结合交集的定义即可求出集合A的个数。2.已知复数 满足 ，则 （ ） A.B.C.D.【答案】 C 【考点】复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】由 ，得 故答案为：C 【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理即可得出答案。3.某街道甲，乙、丙三个小
9、区的太极拳爱好者人数如下的条形图所示该街道体协为普及群众健身养生活动，准备举行一个小型太极拳表演，若用分层抽样的方法从这三个小区的太极拳爱好者中抽取12名参加太极拳表演；则丙小区应抽取的人数为（ ） A.2B.3C.4D.6【答案】 C 【考点】频率分布直方图 【解析】【解答】由图知三个小区太极拳爱好者的人数共有 ，抽取比例为 ，所以丙小区抽取人数为 故答案为：C 【分析】由频率直方图中的数据计算出结果即可。4.已知椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆 的上顶点，若 则 （ ） A.3B.5C.7D.9【答案】 A 【考点】椭圆的简单性质 【解析】【解答】因为 ， 所以 所以 又 所以 故答案为：
10、A. 【分析】根据题意由椭圆的性质结合三角形内的几何计算关系计算出b的值即可。5.在平面直角坐标系 中，已知点 和圆 ，在圆 上任取一点 ，连接 ，则直线 的斜率大于 的概率是（ ） A.B.C.D.【答案】 D 【考点】几何概型，直线的斜率 【解析】【解答】如图： 当直线 的斜率为 时，倾斜角为 ， ，当点 在优弧 (不含端点)上时，直线 的斜率大于 ；优弧 的长度为 ，圆的周长为 ，根据几何概型的概率公式可得所求概率为 故答案为：D 【分析】根据题意由直线的斜率以及倾斜角的关系，求出直线 的斜率大于 ， 结合圆的几何性质即可求出弧长，再由弧长公式计算出圆的周长，结合几何概型公式代入数值计算
11、出结果即可。6.数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，用以下方法画出了如图所示的螺旋线.具体作法是：先作边长为1的正三角形ABC，分别记射线AC，BA，CB为l1 ， l2 ， l3 ， 以C为圆心CB为半径作劣弧BC1交l1于点C1；以A为圆心AC1为半径作劣弧C1A1交l2于点A；以B为圆心BA1为半径作劣弧A1B1交l3于点B1 ， ，依此规律作下去，就得到了一系列圆弧形成的螺旋线.记劣弧BC1的长，劣弧C1A1的长，劣弧A1B1的长，依次为 则 （ ） A.30B.45C.60
12、D.65【答案】 A 【考点】等差数列的前n项和 【解析】【解答】由题意，第 个劣弧的半径为 ，圆心角为 ， 所以第 个劣弧的弧长 ，所以 .故答案为：A. 【分析】由圆的几何性质求出圆心角的大小，再由已知条件即可得出第 个劣弧的弧长 ，由等差数列的前n项和公式计算出结果即可。7.已知 是边长为4的等边三角形， 为 的中点，点 在边 上；且 ；设 与 交于点 ，当 变化时，记 ，则下列说法正确的是（ ） A. 随 的增大而增大B. 先随 的增大而增大后随 的增大而减少C. 随 的增大而减少D. 为定值【答案】 D 【考点】向量的线性运算性质及几何意义 【解析】【解答】如图，根据向量数量积的几何
13、意义， ，即 为定值。故答案为：D 【分析】利用数量积的几何意义结合三角形法则和数量积的运算法则，再利用数量积的定义，从而求出m为定值。8.设 是给定的平面， 和 是不在 内的任意两点，给定下列命题： 在 内存在直线与直线 异面 在 内存在直线与直线 相交存在过直线 的平面与 垂直 存在过直线 的平面与 平行以上一定正确的是（ ）A.B.C.D.【答案】 D 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系 【解析】【解答】因为 和 是不在 内的任意两点，若直线 ，则在平面 内不过点 的直线与 都异面，正确， 在平面 内过点 的直线与 都相交，正
14、确，此时不存在过直线 的平面与 平行，错误（反证法：若存在平面 ，与 矛盾）；若直线 ，显然在 内存在直线与直线 异面，正确，在 内不存在直线与直线 相交，错误，此时存在过直线 的平面与 平行，正确，所以一定正确，不一定正确，不一定正确 无论直线 与平面 相交或平行，都能过点 作 ，根据面面垂直的判定定理可知，过直线 的平面 与 垂直，正确，特别地，若 ，则存在无数个过直线 的平面与 垂直，综上，一定正确的是故答案为：D 【分析】由直线与直线、平面与直线、平面与平面的位置关系对选项逐一判断即可得出答案。9.快递行业的高速发展极大地满足了人们的购物需求，也提供了大量的就业岗位，出现了大批快递员某
15、快递公司接到甲、乙两批快件，基本数据如下表：体积（立方分米/件）重量（千克/件）快递员工资（元/件）甲批快件20108乙批快件102010快递员小马接受派送任务；小马的送货车载货的最大容积为350立方分米，最大截重量为250千克，小马一次送货可获得的最大工资额为（）A.150元B.170元C.180元D.200元【答案】 B 【考点】简单线性规划 【解析】【解答】设一次派送甲种快件 件、乙种快件 件， 则 满足，即 小马派送完毕获得的工资 元，画出可行域(如图阴影部分)，由 ，解得 ，所以目标函数在点 处取得最大值，故 元所以小马一次送货可获得的最大工资额为170元.故答案为：B 【分析】根据
16、题意作出可行域再由已知条件找出目标函数，把目标函数化为直线方程的截距由数形结合法即可得出当直线经过点M时，z取得最大值并由直线的方程求出点M的坐标，然后把坐标代入到目标函数计算出z的值即可。10.已知函数 则方程 的所有实根之和为（ ） A.2B.3C.4D.1【答案】 A 【考点】分段函数的应用 【解析】【解答】当 时， ，所以 ， 当 时， ，所以 ，当 时， ，所以函数 的图象关于点 对称显然 不是方程的根，当 时，原方程可变为 ，画出函数 和 的图象(如图所示)，由图知，二者仅有两个公共点设为 ，因为函数 和 的图象都关于点 对称，所以 关于点 对称，所以 ，即 故答案为：A 【分析】
17、由已知条件结合对数函数和一次函数的图象和性质找出分段函数的图象，再由图象的对称性即可得出答案。11.已知函数 ，若 在区间 上不存在零点，则 的取值范围是（ ） A.B.C.D.【答案】 B 【考点】余弦函数的图象，余弦函数的单调性，函数的零点 【解析】【解答】函数 的最小正周期为 ，由函数 在 上不存在零点，可得 ，所以 函数 的零点为 即 若 则 所以 因为 所以 当 时，得 当 时，得 又 所以 因为函数 在 上不存在零点所以在 内去掉上述范围，得符合条件的 取值范围为 故答案为：B. 【分析】根据题意利用余弦型函数的性质的应用和不等式组的解法的应用求出结果.12.已知双曲线 的左、右焦
18、点分别为 ，过 作圆 的切线，切点为 ，延长 交双曲线 的左支于点 若 ，则双曲线 的离心率的取值范围是（ ） A.B.C.D.【答案】 C 【考点】双曲线的简单性质，圆与圆锥曲线的综合 【解析】【解答】解：如图，连接 ，设 ( 为 的半焦距)，在直角三角形 中 ，则 所以 在 中， 即 所以 所以 又 所以 化简得 所以 所以 即 解得 即 故答案为：C 【分析】由已知条件找出双曲线的图象再由双曲线的定义，结合三角形内的几何计算关系由勾股定理代入整理得出a、b、c的关系，结合离心率公式即可得出e的取值范围。二、填空题13. 展开式中的常数项等于_. 【答案】 -160 【考点】二项式定理 【
19、解析】【解答】 ，令 ，得 ， 所以常数项为 . 【分析】根据题意由二项式的通项公式结合已知条件，求出r的值并代入计算出结果即可。14.设 为等比数列 的前 项和，且 ，则 的值是_ 【答案】 4 【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和 【解析】【解答】因为 所以 ，解得 又因为 ，所以 且 解得 故答案为：4 【分析】首先由等比数列的通项公式整理计算出q的值，再由等比数列的前n项和公式计算出m的值即可。15.已知曲线 和直线 ，点 在曲线 上，点 在直线 上，则 的最小值是_ 【答案】【考点】函数的最值及其几何意义，利用导数研究曲线上某点切线方程，点到直线的距离公式 【解析】【解答】
20、由曲线 ，可得 ，则 ， 由直线 的斜率为 ，得 ，解得 ，因为曲线 关于坐标原点对称，不妨取 ，结合 ，解得 ，所以在曲线 上与直线 平行的切线的切点坐标为 ，因此 的最小值即为该点到直线 的距离，即 ，即 的最小值是 .故答案为： . 【分析】 由题意根据导数的几何意义，求出曲线C上与直线|平行的切线的切点坐标，利用点到直线的距离公式，计算求得结果.16.已知四面体 的棱长均为 分别为棱 上靠近点 的三等分点，过 三点的平面与四面体 的外接球 的球面相交,得圆 ，则球 的半径为_，圆 的面积为_ 【答案】 3；【考点】球的体积和表面积，球内接多面体 【解析】【解答】设点A在平面 上的射影为
21、 ，则 为 的中心， 所以 ，由于 为正三角形，故四面体外接球的球心 在线段 上，设球 的半径为 ，则 ，即 ，解得 ；设 在平面 上的射影为 ，则 即为过 三点的平面截球 所得截面圆的圆心设 在平面 上的射影为 与 交于点 在 中， 为 高的 ,所以 所以 由 得 由球的截面性质得 平面 ，所以截面圆 的半径 ，所以圆 的面积为 .故答案为：3； . 【分析】根据题意设点A在平面BCD上的射影为G，则G为BCD的中心，设球O的半径为R，通过出 ， 求出R；设O在平面AEF上的射影为O，则O即为过A，E，F三点的平面截球O所得截面圆的圆心.设G在平面AEF上的射影为G，EF与BG交于点H.转化
22、为求截面圆O的半径，然后求出面积即可.三、解答题17.在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 . （1）求角B的大小； （2）设D为边AC上一点， ， ，求 面积的最小值. 【答案】 （1）解：由正弦定理，得 , 由 得 ，由 ，得， ，所以 ，由 ，得 ；（2）由（1）知 ，又 ，所以 ， 所以 ，化简得 ，由基本不等式，得 ，即 (当且仅当 时取等号)所以 面积 (当且仅当 时取等号)，故 面积的最小值为 .【考点】正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算 【解析】【分析】(1)根据题意由正弦定理集合两角和的正弦公式得出cosB的值，由此得出角B的大小。 (2)由(1)的结论得出角的
23、大小，再由三角形的面积公式整理得出 ， 集合基本不等式即可求出 ， 由此即可求出三角形面积的最小值。18.张先生到一家公司参加面试，面试的规则是；面试官最多向他提出五个问题，只要正确回答出三个问题即终止提问，通过面试根据经验，张先生能够正确回答面试官提出的任何一个问题的概率为 ，假设回答各个问题正确与否互不干扰 （1）求张先生通过面试的概率； （2）记本次面试张先生回答问题的个数为 ，求 的分布列及数学期望 【答案】（1）解：记张先生第i次答对面试官提出的问题为事件，则，张先生前三个问题均回答正确为事件；前三个问题回答正确两个且第四个又回答正确为事件，前四个问题回答正确两个且第五个又回答正确为
24、事件，张先生通过面试为事件则根据题意，得因为事件互斥，所以即张先生能够通过面试的概率为（2）根据题意，表明前面三个问题均回答错误(淘汰)或均回答正确(通过)，所以表明前面三个问题中有两个回答错误且第四个问题又回答错误(淘汰)，或者前面三个问题中有两个回答正确且第四个问题回答正确(通过)，所以表明前面四个问题中有两个回答错误、两个回答正确，所以所以的分布列为：345故【考点】互斥事件的概率加法公式，n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差 【解析】【分析】(1)由已知条件结合n次独立重复试验的概率公式代入数值计算出事件B、C、D的概率，然后由概率
25、的加法公式计算出结果即可。 (2)据题意即可得出X的取值，再由n次独立重复试验的概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。19.如图；在梯形 中， 为 的中点； 为 的中点，沿 将三角形 折起 （1）证明：在折起过程中，平面 平面 ， （2）当折起到平面 平面 时，求二面角 的余弦值， 【答案】 （1）证明：在平面图形中，因为 为 的中点且 ， 所以 又 所以 为正三角形所以 又 所以 又 所以 所以 为等边三角形在折起过程中，因为 为 的中点，所以 因为 ；所以 ，所以四边形 为菱形，所以 ，所以 又 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 （
26、2）解：由 知 因为平面 平面 平面 平面 平面 ，所以 平面 ，从而 ，又 所以 两两垂直以点 为坐标原点， 的正方向分别为 轴的正方向建立空间直角坐标系 (如图)则 即 所以 设平面 的法向量为 ，则即 令 ，可得平面 的一个法向量 设平面 的法向量为 ，则即令 ，可得平面 的一个法向量 所以 由于二面角 为锐二面角，故二面角 的余弦值为 【考点】直线与平面垂直的性质，平面与平面垂直的判定，空间向量的数量积运算，用空间向量求平面间的夹角 【解析】【分析】(1)根据题意结合折叠的性质，即可得出边之间的关系在意三角形内的几何计算关系即可得出线线平行，由此得出三角形的形状由等边三角形的性质即可得
27、出角的大小以及线线垂直，集合线面垂直的判定定理即可得出线面垂直，再由面面垂直的判定定理即可得证出结论。 (2)由(1) 的结论即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到 二面角 的余弦值。20.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，以 为圆心的圆与 相切；与抛物线 相交于 两点，且 （1）求抛物线的方程 （2）不与坐标轴垂直的直线与抛物线 交于 两点：与 轴交于 点；线段 的垂直平分线与 轴交于 点，若 ，求 点的坐标 【
28、答案】 （1）解：以 为圆心与 相切的圆的方程为 将 代入并整理，得 即 因为 所以 代入 ，解得 所以点 的坐标为 所以 解得 故抛物线 的方程为 （2）设 ，直线 的方程为 代入 并整理得 由题意，得 即 设 则 所以 设 的中点为 ，则 即 所以直线 的方程为 令 ，得 所以 所以 由 得 解得 ，适合 即点 的坐标为 【考点】抛物线的定义，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】(1)首先求出 以 为圆心与 相切的圆的方程，再把抛物线与圆联立整理即可得出 ， 代入抛物线方程计算出点M、N的坐标，然后由抛物线的定义求出P的值，由此得到抛物线的方程。 (2)根据题意联立
29、直线与抛物线的方程消元后得到关于y的方程，结合韦达定理求出两根之和与两根之积，再由弦长公式代入整理得到关于n的代数式，再由中点的坐标公式整理得到直线的方程，结合两点间的距离公式整理后得到 ， 即计算出n的值，由此得到点P的坐标。 21.已知函数 （1）当 时，判定 有无极值，并说明理由； （2）若 对任意的 恒成立，求 的最小值 【答案】 （1）解：函数 的定义域为 ， 令 ，则 所以 在 上为增函数又 所以存在 ，使得 所以当 时， 当 时， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增所以 是 的极小值点综上， 有一个极小值，但没有极大值（2）不等式 ，即 即 即 对任意的 恒成立令 ，则 ，从而
30、 在 上单调递减当 时， ；又 时， 不等式 转化为 该不等式恒成立等价于 恒成立，即 对任意 恒成立，即 对任意 恒成立令 则 所以，当 时， 当 时， 所以函数 在 单调递增，在 单调递减所以 所以 故 的最小值为 【考点】函数单调性的性质，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值 【解析】【分析】(1)首先求出函数的定义域，再对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性结合极值的定义即可得出答案。 (2)由已知条件整理即可得出 恒成立，构造函数对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由此得出即 对任意 恒成立，由此得出 对任意 恒成立，令 对其求导结合导函数
31、的性质即可得出函数的单调性，由此得出即从而求出最小值。22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为 ，曲线C的参数方程为 (t为参数).以O点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l和曲线C的极坐标方程； （2）设射线 与直线l和曲线C分别交于点M，N，求 的最小值. 【答案】 （1）将 代入 ， 得直线 的极坐标方程为 ，即 ，由 消去参数，得曲线 的普通方程为 ，将 代入 ，得曲线 的极坐标方程为 ，（2）由射线 与 交于点 ， 得 ，即 ，由射线 与曲线 交于点 ，得 ，即 ，则 ，所以当 时，得 时， 取得最小值 .【考点】函数的最值及其几何意义，正弦函数的单调性，
32、简单曲线的极坐标方程 【解析】【分析】(1)由极坐标和普通方程的互化公式整理即可得出曲线的方程，结合极坐标与普通方程互化的公式整理即可求出曲线C的极坐标方程。 (2)根据题意把极坐标方程代入整理得到 ， 结合正弦函数的性质即可求出 当 时，即时原式即可得到最小值。23.已知函数 . （1）求不等式 的解集； （2）记 的最小值为m，正实数a，b满足 ，证明： . 【答案】 （1）解：函数 当 时，由 ，得 ，所以 当 时由 得 ，所以 ，当 时，由 ，得 ，所以 综上，不等式 的解集为 （2）证明：由 的最小值 ， 所以 当且仅当 时等号成立所以 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法，基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【分析】(1)由绝对值的几何意义整理函数的解析式，再由不等式的解法求解出不等式的解集即可。 (2)首先由已知条件即可得出即 ， 整理化简原式再结合基本不等式即可得证出结论。
