1、专题升级训练 计数原理(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)1.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为()A.24B.18C.12D.62.6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为()A.1或3B.1或4C.2或3D.2或43.(2013江西,理5)展开式中的常数项为()A.80B.-80C.40D.-404.某市汽车牌照号码可以上网自编,但规定从左到右第二个号码只能从字母
2、B,C,D中选择,其他四个号码可以从09这十个数字中选择(数字可以重复),某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择,其他号码只想在1,3,6,9中选择,则他的车牌号码可选的所有可能情况有()A.180种B.360种C.720种D.960种5.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是()A.74B.121C.-74D. -1216.形如34021这样的数称为“波浪数”,即十位上的数字、千位上的数字均比与它们各自相邻的数字大,则由0,1,2,3,4,5组成的无重复数字的五位数是“波浪数”的所有可能情况有()A.66种B.69种C.
3、61种D.71种二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)7.某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为(用数字作答).8.在二项式的展开式中,各项系数之和为A,各项二项式系数之和为B,且A+B=72,则n=.9.若将(x-a)(x-b)逐项展开得x2-ax-bx+ab,则x2出现的概率为,x出现的概率为,如果将(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)逐项展开,那么x3出现的概率为.三、解答题(本大题共3小题,共46分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10.(本小题满分
4、15分)用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图),要求在A,B,C,D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色.(1)若n=6,为着色时共有多少种不同的方法?(2)若为着色时共有120种不同的方法,求n.11.(本小题满分15分)(1)若(1+x)n的展开式中,x3的系数是x的系数的7倍,求n.(2)已知(ax+1)7(a0)的展开式中,x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项,求a.12.(本小题满分16分)6个人坐在一排10个座位上,问(1)空位不相邻的坐法有多少种?(2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种?(3)4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种?#1.B解析:先分成两类:
5、(一)从0,2中选数字2,从1,3,5中任选两个所组成的无重复数字的三位数中奇数的个数为4=12;(二)从0,2中选数字0,从1,3,5中任选两个所组成的无重复数字的三位数中奇数的个数为2=6.故满足条件的奇数的总个数为12+6=18.2.D解析:6人之间互相交换,总共有=15种,而实际只交换了13次,故有2次未交换.不妨设为甲与乙、丙与丁之间未交换或甲与乙、甲与丙之间未交换,当甲与乙、丙与丁之间未交换时,甲、乙、丙、丁4人都收到4份礼物;当甲与乙、甲与丙之间未交换时,只有乙、丙两人收到4份礼物,故选D.3.C解析:展开式的通项为Tr+1=x2(5-r)(-2)rx-3r=(-2)rx10-5
6、r.令10-5r=0,得r=2,所以T2+1=(-2)2=40.故选C.4.D解析:由于数字可以重复,故该车主的车牌号码共有=960种可选情况.5.D解析:(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8=,展开式中含x3的项的系数为(1-x)5,(1-x)9的展开式中含x4的项的系数,为=-121.选D.6.D解析:由题意得波浪数有5类,分别为十位、千位上为5,4;5,3;5,2;4,3;4,2;所有情况总数为)+1=71.故选D.7.解析:基本事件总数为=720,事件“相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课”所包含的基本事件可分为三类,第一类:三节艺术课各不相邻有=144;第二类:有两
7、节艺术课相邻有=216;第三类:三节艺术课相邻有=72.由古典概型概率公式得概率为.8.3解析:由题意可知,B=2n,A=4n,由A+B=72,得4n+2n=72,即2n=8,n=3.9.解析:基本事件总数为=32,其中x3有个,所以概率为.10.解:(1)分两类:A,D着同色有6541=120种;A,D着异色有6543=360种.共120+360=480种不同的着色方法.(2)由n(n-1)(n-2)(n-3)=120,用赋值法得n=5.11.解:(1)=7=7n,n2-3n-40=0,由nN*,得n=8.(2)由题意知,a2+a4=2a3,21a2+35a4=70a3,a0,得5a2-10a+3=0a=1.12.解:6个人坐在一起有种坐法,6人坐好后包括两端共有7个 “间隔”可以插入空位.(1)空位不相邻相当于将4个空位安插在上述7个“间隔”中,有=35种插法,故空位不相邻的坐法有=25 200种.(2)将相邻的3个空位当作一个元素,另一空位当作另一个元素,往7个“间隔”里插有种插法,故4个空位中只有3个相邻的坐法有=30240种.(3)4个空位至多有2个相邻的情况有三类:4个空位各不相邻有种坐法;4个空位有2个相邻,另有2个不相邻有种坐法;4个空位分两组,每组都有2个相邻,有种坐法.综上所述,应有)=115920种坐法.
