1、2011届高考数学百题精炼系列11一、选择题：（每小题仅有一个选项符合题意，共512=60分）【解析】当时，由于函数是奇函数，故。【考点】基本初等函数。【点评】已知函数的奇偶性和函数在一个区间上的解析式求这个函数在其关于坐标原点对称的区间上的函数解析式，就是根据函数的奇偶性进行转化的，这类试题重点考查化归转化思想是运用。3抛物线上一点到直线的距离最短，则该点的坐标是（ ）A B C D【答案】C 【分析】根据题意，直线必然与抛物线相离，抛物线上的点到直线的最短距离就是与直线平行的抛物线的切线的切点。【解析】，由得，故抛物线的斜率为的切线的切点坐标是，该点到直线的距离是最短。【考点】导数及其应用
2、。【点评】本题以数形结合思想为指导命制，通过形的分析把问题转化为求抛物线的斜率为的切线的切点坐标。本题也可以直接根据点到直线的距离公式求解，即抛物线上的点到直线的距离是，显然这个函数当时取得最小值，此时。4已知三棱锥底面是边长为的等边三角形，侧棱长均为，则侧棱与底面所成角的余弦值为（ ）A B C D【答案】D 【分析】由于是三棱锥，故顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心，底面的一个顶点到这个中心的距离是，侧棱与底面所成角的余弦值就是这个数值除以侧棱长。【解析】根据分析，所求的余弦值是。【考点】空间点、线、面位置关系。【点评】正三棱锥的底面边长为，侧棱长为时，三棱锥的高是，侧棱与底面所成角的
3、余弦值是等。5双曲线的离心率为2，则的最小值为（ ）A B C D 【答案】A【分析】根据基本不等式，只要根据双曲线的离心率是，求出的值即可。【解析】由于已知双曲线的离心率是，故，解得，所以的最小值是。【考点】圆锥曲线与方程。【点评】双曲线的离心率和渐近线的斜率之间有关系，从这个关系可以得出双曲线的离心率越大，双曲线的开口越大。6极坐标方程表示的图形是（ ）A两个圆 B两条直线 【解析】当为直角时，根据椭圆的对称性，这样的点有两个；同理当为直角时，这样的点有两个；由于椭圆的短轴端点与两个焦点所张的角最大，这里这个角恰好是直角，这时这样的点也有两个。故符合要求的点有六个。【考点】圆锥曲线与方程。
4、【点评】本题中当椭圆短轴的端点与两焦点的张角小于时，为直角的情况不存在，此时等价于椭圆的离心率小于；当椭圆短轴的端点与两焦点的张角等于时，符合要求的点有两个，即短轴的两个端点，此时等价于椭圆的离心率等于；当当椭圆短轴的端点与两焦点的张角大于时，根据椭圆关于轴对称这个的点有两个，再根据椭圆关于轴对称，可得这样的点共有四个。8将函数的图像按向量平移之后所得函数图像的解析式为（ ）A BC D【答案】A 【分析】按照向量平移，即向左平移个单位，向上平移个单位。【解析】得到的函数解析式是。【考点】基本初等函数。【点评】按照向量对函数图象进行平移在课标的考试大纲中是不作要求的，偶尔在新课标的一些模拟题中
5、出现这类问题可能是命题者没有注意到该点。实际上按照向量进行平行可以转化为左右平移和上下平移。9已知，且，则的最小值为（ ）A B C D 【答案】B 【分析】求解目标，其几何意义是坐标平面内的点到点的距离的平方，而点在平面区域内，画出区域，分析图形之间的关系即可。【解析】不等式组所表示的平面区域是如图中的，根据题意只能是点到直线的距离最小，这个最小值是，故所求的最小值是。【考点】不等式。【点评】本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域、而二元函数的几何意义和数形结合思想。这类问题解题的关键是在数形结合思想指导下，二元函数几何意义的运用，本题中点能保证是在图中的圆与直线的切点处是问题的最优解，但
6、如果目标函数是，则此时的最优解就不是直线与圆的切点，而是区域的定点。10若两个等差数列和的前项和分别是和，已知，则（ ）A B C D 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质，把转化为.【解析】.【考点】数列。【点评】如果两个等差数列和的前项和分别是和，仿照本题解析的方法一定有关系式。11已知，则与夹角的取值范围是（ ）A B C D【答案】C 【分析】，这是一个变动的向量，其终点轨迹的参数方程是其中是参数，这个方程是圆的参数方程，而向量是轴的一个方向向量，求解的问题就转化为求与轴的正半轴所成的角的范围，通过数形结合求解。【解析】，设，则其中是参数，化为普通方程即，这是一个以点为圆心、为半径的
7、圆，作出图象如图，从图中可知两向量夹角的取值范围是。【考点】平面向量。【点评】本题考查平面向量，但解答试题不是单独依靠平面向量的知识所能解决的，其中涉及到圆的参数方程、直线与圆的位置关系，最重要的是得具备这种在不同学科知识之间进行相互转化的思想意识，这才是本题考查的核心所在。12已知是椭圆上一点，两焦点为，点是的内心，连接并延长交于，则的值为（ ）A B C D【答案】A 【分析】由于三角形是内心是三个内角的平分线的交点，使用三角形内角平分线性质定理把所求的比值转化为三角形边长之间的比值关系。【解析】如图，连结。在中，是的角平分线，根据三角形内角平分线性质定理，同理可得，固有，根据等比定理。【
8、考点】圆锥曲线与方程。【点评】本题考查主要圆锥曲线的定义的应用，试题在平面几何中的三角形内角平分线性质定理、初中代数中的等比定理和圆锥曲线的定义之间进行了充分的交汇，在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口。卷（非选择题，本卷共10小题，共90分）二、填空题：（每小题5分，共54=20分）【解析】设，焦点，准线方程，根据抛物线的定义，所以，所以，即中点的横坐标是，所以中点到直线的距离是。【考点】圆锥曲线与方程。【点评】本题主要考查抛物线的定义在解决问题中的应用。如果是过抛物线焦点的弦，则。15若是直角三角形的三边的长（为斜边），则圆被直线所截得的弦长
9、为 【答案】。【分析】根据圆的弦长、弦心距、半径之间的关系可得弦长的计算公式，再根据是直角三角形的三边进行化简。【解析】圆被直线所截得的弦长，由于，所以。【考点】圆与方程。【点评】如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，在圆被直线所截得的弦长，这个公式是根据平面几何中直线与圆的位置关系和勾股定理得到的。在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用。16设是公比为的等比数列，其前项积为，并满足条件，给出下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）使成立的最小自然数等于，其中正确的编号为 【答案】（1）、（3）、（4）。【分析】首先判断数列的单调性，然后再根据等比数列的性质进行分析判断。【解析】
10、根据等比数列的性质，如果等比数列的公比是负值，在其连续两项的乘积是负值，根据，可知该等比数列的公比是正值，再根据可知，一个大于，一个小于，而，所以数列不会是单调递增的，只能单调递减，所以，而且，又，（1）（3）正确；，（2）不正确；，故（4）正确。【考点】数列。【点评】本题设置开放性的结论，综合考查等比数列的性质以及分析问题的能力，试题比较符合高考命题的趋势。在等比数列中最主要的性质之一就是。三、解答题（本大题有6道小题，其中17题10分，其余各题12分，共70分）（2）即时， （10分）【考点】基本初等函数、解三角形。【点评】本题综合考查了正弦定理、三角恒等变换、三角函数的性质，这也是高考中
11、三角函数解答题的一个常规考查方式，值得注意的是虽然高考降低了对三角恒等变换的考查，但在解决三角函数性质的试题中三角恒等变换往往是解题的工具，在复习三角函数时一定不要忽视了三角恒等变换。18（12分）已知直线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的点为极点，方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为（1）求直线的倾斜角；（2）若直线与曲线交于两点，求【分析】（1）根据直线参数方程中的意义或者把直线方程化为普通方程均可；（2）根据曲线的极坐标方程可知曲线是圆，根据圆被直线所截得的弦长公式极限计算。【解析】（1）直线参数方程可以化，根据直线参数方程的意义，这条经过点，倾斜角为的
12、直线。 （6分）（2）的直角坐标方程为，的直角坐标方程为，（9分）所以圆心到直线的距离，。 （12分）【考点】坐标系与参数方程。【点评】本题综合考查直线的参数方程、圆的极坐标方程，这两个方程是坐标系与参数方程中的重点。经过点、倾斜角为的直线的参数方程是其中为参数，直线上的点处的参数的几何意义是有限线段的数量。19（12分）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，该椭圆经过点且离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标【分析】（1）根据椭圆的方程和简单几何性质，使用待定系数法即可；（2）要证明直线系过定
13、点，就要找到其中的参数之间的关系，把双参数化为但参数问题解决，这只要根据直线与椭圆相交两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点即可，这个问题等价于椭圆的右顶点与的张角是直角。【解析】（1）椭圆的标准方程为 （4分）（2）设，得: ，, （6分）以为直径的圆过椭圆的右顶点，且均满足， （9分）当时，的方程为，则直线过定点与已知矛盾当时，的方程为，则直线过定点直线过定点，定点坐标为 （12分）【考点】圆锥曲线与方程。【点评】直线系过定点时，必需是直线系中的参数为但参数，对于含有双参数的直线系，就要找到两个参数之间的关系把直线系方程化为单参数的方程，然后把当作参数的系数把这个方程进行整理，
14、使这个方程关于参数无关的成立的条件就是一个关于的方程组，以这个方程的解为坐标的点就是直线系过的定点。20（12分）如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，且，分别是的中点。（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求二面角的正切值。【分析】（1）根据中点寻找平行线即可；（2）易证，在根据勾股定理的逆定理证明；（3）根据（2）的证明点就是点在平面的射影，只要过点作的垂线或者过点作的垂线，即可作出二面角的平面角。【解析】（1）取中点，连接平行四边形，平面，平面，平面。 （4分）（2）等腰直角三角形中为斜边的中点，又直三棱柱，面面，面，设又面。 （8分）（3）面，作于，连接，为所求，所求二面的正
15、切值为。（12分）【考点】空间点、线、面位置关系。【点评】立体几何中的中点与中点之间可以产生平行线，当问题涉及到中点时可以通过再找其中的中点作出辅助线；垂直关系的证明，关键是线线垂直的证明，基本方法是通过线面垂直证明线线垂直、计算证明线线垂直；二面角的求解，综合几何方法的关键是作出其平面角，一个重要而根本的方法就是“射影法”，这个方法是在二面角的一个半平面内找一个特殊的点，作令一个半平面的垂线，垂足为，再过点作二面角棱的垂线。垂足为，连结，则就是所求二面角的平面角，并且这个角是一个直角三角形的内角（如果二面角是钝二面角，则可以用这个方法作出其平面角的补角）。【解析】（1）。 （3分）（2）设，则直线的方程为 （4分）令，得，（5分） ，且两直线斜率存在，即，（8分）整理得，又在直线上，则与共线，得 （10分）【解析】（1），令，解得当时，在单调递增；当时，在单调递减。 （4分）（2）为偶函数，恒成立等价于对恒成立当时，令，解得（1）当，即时，在减，在增，解得，（2）当，即时，在上单调递增，符合，综上，。 （8分）（3）。 （12分）第 17 页 共 17 页
